第五章数理统计的基本概念与抽样分布 主要内容 1.数理统计的基本概念,总体、个体、样本、统计量 2.样本均值、样本方差和样本矩的计算,经验分布函数 3.三个重要分布,常用概率分布分位数的概念及分位数表 4.正态总体下抽样分布的有关定理。 二、典型例题 1.设总体X服从泊松分布P(x),(X1,X2,…,Xn)是总体X的一个样本 (1)试求样本(X1,X2,…,Xn)的分布律 (2)试求EX,DX,ESn,ESn2; 解立Px)-4,…2=c-2x:x=01…=1,2,…,n x (2)EX=EEX=EX=A, DX=Dx=Z ES=E-S 1=2 2.设(X1,X2…,Xn,Xn,…,Xnm)是来自正态总体N(0,a2)的一个样本,求统计量 的概率分布。 i=n+1 解:由题意,~N(0,1)i=1,…,n+m,且它们相互独立则 2(y-x2(G x (m 于是烈(a 即:
第五章 数理统计的基本概念与抽样分布 一、主要内容 1．数理统计的基本概念，总体、个体、样本、统计量； 2．样本均值、样本方差和样本矩的计算，经验分布函数； 3．三个重要分布，常用概率分布分位数的概念及分位数表； 4．正态总体下抽样分布的有关定理。 二、典型例题 1．设总体 X 服从泊松分布 P(λ) ，(X1 , X2 ,", Xn ) 是总体 X 的一个样本。 （1）试求样本(X1 , X2 ,", Xn ) 的分布律； （2）试求 2 *2 , , , EX DX ESn ESn ； 解(1) 1 1 1 ( ) / ! ! n i i i n n x x n n i i i i i i 1 P x e e x x λ λ λ λ − − = = = = ∑ ∏ ∏= = ∏ 0,1..., 1,2, , i ， x i = = " n. (2) = = = ∑ = 1 1 , n i i EX E X EX n λ = = DX DX n n λ = ⎡ ⎤ = − = − = + − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = + − − = ∑ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 n n i i 2 ES E X X EX EX DX EX DX EX n n n n λ λ λ λ λ ∗ − = = ⋅ − − 2 2 1 1 1 n n n n n ES E S n n n λ = λ 2．设( , , , , , , ) 是来自正态总体 的一个样本，求统计量 X1 X2 " Xn Xn+1 " Xn+m (0, ) 2 N σ ∑ ∑ + = + = = n m i n i n i i n X m X F 1 2 1 2 的概率分布。 解：由题意， Xi σ ～ N(0,1) i n = 1,", + m ， 且它们相互独立.则 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 2 2 1 ( ) n i i X χ n σ ∼ , + = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 2 2 1 ( ) n m i i n X χ m σ ∼ ， 于是 = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 2 1 2 ( , ) n i i n m i X n i n= +1 F n m X m σ σ ∼ , 即： = + = + ∑ ∑ 2 1 2 1 ( , ) n i i n m i i n m X F n m n X ∼ . 1
3.设(x,X,…,X,)是来自正态总体NOc)的一个样本,试求统计量4-∑x的 概率分布 解:由题意~N01i=1,…,n于是[X o/-x(n) 职:口x ∑ ∑ 则Y Z,于是,y>0时 Pr(y)=P 22r( ≤0时,P(y)=0 4.设X1和X2是来自正态总体N(Aa2)的容量为n的两个独立样本(X1,X2,…,X1n) 和(X21,X2,…,X2m)的样本均值,试确定〃,使得这两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为001 解:由题意xN(m2),X2~N(m),且他们相互独立 则 (.20)。由P{x一x> 得1-P{asxs}=01则P{asx-X2s}=0.99 0.9 0.99
3．设(X1 , X2 ,", Xn ) 是来自正态总体 (0, )的一个样本，试求统计量 2 N σ ∑= = n i Xi n A 1 2 2 1 的 概率分布 解：由题意 Xi σ ～N(0,1), i n = 1,", 于是 i=1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 2 2 ( ) n Xi χ n σ ∼ , 即： = ∑ 2 2 2 1 1 ( ) n i i X χ n σ ∼ 设 = = ∑ 2 1 1 n i i Y X n , = = ∑ 2 2 1 1 n i i Z X σ ， 则 = 1 2 Y n σ Z , 于是, y>0 时 − − ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Γ 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) 2 n n ny Y Z n ⋅ = y ny ny n P y P e n σ σ σ σ σ − ⎛ ⎞ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Γ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 n n n ny n e y n σ σ y ≤ 0 时， ( ) = 0. P y Y 4．设 X1 和 X2 是来自正态总体 的容量为 n 的两个独立样本 和 的样本均值，试确定 ，使得这两个样本均值之差的绝对值超过 ( , ) 2 N µ σ ( , , , ) X11 X12 " X1n ( , , , ) X21 X22 " X2n n σ 的概率大约为 0.01。 解：由题意, X1 ～N 2 ( , ) n σ µ , X2 ～ 2 N( , ) n σ µ ,且他们相互独立 则 X1 2 − X ～ 2 2 N(0, ) n σ 。由 P X{ 1 2 − > X σ } = 0.01 得1− − P X { } σ ≤ 1 2 − X ≤ σ = 0.01， 则 P X {− ≤ σ σ 1 2 − X ≤ } = 0.99 于是 1 2 2 2 2 { } 2 2 2 X X P nnn σ σ σσσ − − − ≤ ≤ = 0.99， 1 2 2 { } 2 2 2 n n X X P n σ − − ≤ ≤ = 0.99 2
于是: m|=0.9,2 √2 2 V2=099 V2=2.57求得n=132 5.设(X1,X2…,Xn)是来自正态总体N(Aa2)的样本,X和S2是样本均值和样本方差, 又设Xn服从N(pσ)分布,且与X1,X2,…,Xn独立,试求统计量 n-1的概率分布 S 解:由题意X~N(,),Xn+1~N(a 所以Xn+1-X~N(0,a2+), x2(n-1) 所以 nS n+1 σ(n X-X S n+1 X10)是来自正态总体N(0,a2)的一个样本,记 X,+X,+X1+X 选择常数a,使Y服从t分布。 解:由于X1+X2+X3+X4~N(0,4a2) (0,1) X2+X2+…+X 又 x(6),由1分布的定义 r(6) 得到
于是： ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Φ − ⎜ ⎟ Φ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0.99 2 2 n n ， ⎛ ⎞ Φ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 0.99 2 n ， = 2.57 2 n ,求得 n = 13.2 5．设(X1 , X2 ,", Xn ) 是来自正态总体 ( , ) 的样本， 2 N µ σ X 和 是样本均值和样本方差， 又 设 服 从 分布，且 与 独立， 试求统计 量 2 Sn Xn+1 ( , ) 2 N µ σ X X Xn , , , 1 2 " 1 1 1 + − − = + n n S X X T n n 的概率分布。 解：由题意 X ～ 2 N( , ) n σ µ , Xn+1 ～ 2 N( , µ σ ) 所以 Xn+1 − X ～ + 2 2 N(0, ) n σ σ , − 2 2 2 ( 1 nSn χ n σ ∼ ) 所以 2 1 1 2 2 [ 1 ( 1) X X n nS n n n σ σ ] + − n − + − ～t (n-1), 即： + − − + 1 1 1 n n X X n S n ～t (n-1) 6．(X1 , X2 ,", X10 ) 是来自正态总体 (0, )的一个样本，记 2 N σ Y= ( ) 2 10 2 6 2 5 1 2 3 4 X X X X X X X a + + + + + + " 选择常数a ，使 Y 服从 t 分布。 解：由于 +++ 2 1 2 3 4 X XXX ∼ N(0,4σ ) , 则 1 2 +++3 4 2 ( ) (0,1) 4 X XXX N σ ∼ 又 + + + 2 2 2 5 6 10 2 2 (6) X X X χ σ " ∼ ，由 T 分布的定义 2 2 1 2 3 4 5 10 2 2 [ ]/ 4 6 X X X X X X t σ σ +++ +"+ ∼ (6)， 得到 = = 6 3 4 2 a . 3
第六章参数估计 、主要内容 1.参数点估计的概念,求参数点估计的两种方法:矩估计和最大似然估计方法 2.估计量的优良性准则(无偏性、有效性、一致性),验证估计量的无偏性,一致性的方法; 3.区间估计的概念,一个正态总体的均值与方差的置 信区间和两个正态总体均值差与方差比的置信区间 二、典型例题 1.设总体X的分布函数为 1 F(x;1,2) ,x≥;其中参数B1>0已知 0,x1知 x1,x2,…,xn是来自该总体的样本值。求未知参数62的最大似然估计和矩估 「解]总体X的分布密度函数为 x≥ f(xB1,62)=F(x:1,62) 0.x<b (1)似然函数为 L=∏f(x:202)= 040n2 又lnL=nlna2+n2n-(1+a2)∑hnx 得似然方程 dIn n d0,, n-∑lnx 解得 nx-nlne∑(lnx-lne) 是唯一驻点。又之2lnL_n<0,所以的2是B2最大似然估计。 (dO2)22 第一步E(X) O,2
第六章 参数估计 一、主要内容 1．参数点估计的概念，求参数点估计的两种方法：矩估计和最大似然估计方法； 2．估计量的优良性准则（无偏性、有效性、一致性），验证估计量的无偏性，一致性的方法； 3．区间估计的概念，一个正态总体的均值与方差的置 信区间和两个正态总体均值差与方差比的置信区间。 二、典型例题 1．设总体 X 的分布函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ≥ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ， 未知 其中参数 已知 0 , 1 1 , ; 0 ( ; , ) 1 2 1 1 1 1 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ x x F x x x x xn , , , 1 2 " 是来自该总体的样本值。求未知参数θ 2 的最大似然估计和矩估计。 [解] 总体 X 的分布密度函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = = − + 1 1; ( 1) 2 1 1 2 1 2 0, , ( ; , ) '( ; , ) 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ x x x f x F x （1）似然函数为 1; 1 (1 ) 2 1 ( 1) 1 1 2 1 1 2 ( ; , ) , 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = ∏ = ∏ = ∏ ≥ = − + − + = = i n i i n n i n i n i i L f x x x x 又 ∑= = + − + n i i L n n x 1 2 2 1 2 ln lnθ θ lnθ (1 θ ) ln 得似然方程 ln 0 ln 1 1 2 2 = + −∑ = = n i i n x n d d L θ θ θ 解得 ∑ ∑ = = − = − = n i i n i i x n x n n 1 1 1 1 2 ln ln (ln ln ) ˆ θ θ θ 是唯一驻点。又因为 0 ( ) ln 2 2 2 2 2 = − < θ θ n d d L ，所以 2 是ˆθ θ2 最大似然估计。 （2）第一步 E X x x dx ( 1) 2 1 2 1 2 ( ) − + +∞ ∫ = θ θ θ θ θ 4
62 62 62 E(X-8 第二步E(x)=x 第三步将E(X)=x代入2的公式, 得到2=是2的矩估计量 2.已知总体X的分布列为 26(-)|(1-0) (参数0<6<1未知)。x1,x2,…xn是来自该总体的样本值。求O的最大似然估计。 解]X的分布律为:P(X=x+1)=C2(1-0)02,x=0,12 X的分布律为 P(x=x1+1) =C2(1-0)0-,x=012i= 似然函数为 ∏ f(x;)=∏c2(-0)3e (2-x) =∏c2(1-0)=e2 又hnL=∑mnCx+∑xlm(1-0)+∑(2-x)hn dInL x 得似然方程 ∑x)=0 解得B=—=1-x是唯一驻点 所以6是O的最大似然估计 3.设总体X的分布密度为 P(x; o)=exp(-),-00<x< +o
1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 1 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − ⇒ = − = = ∫ +∞ − E X E X x dx 第二步 E(X ) = x ˆ 第三步 将 E(X ) = x ˆ 代入θ 2 的公式， 得到 1 2 ˆ θ θ − = x x 是θ 2 的矩估计量。 2．已知总体 X 的分布列为 X 1 2 3 P 2 θ 2θ(1−θ ) 2 (1−θ ) （参数 0 <θ <1未知）。 x1, x2 ,", xn 是来自该总体的样本值。求θ 的最大似然估计。 [解] X 的分布律为： ( 1) (1 ) , 0,1,2 2 = + = 2 − = − P X x C x x x x θ θ Xi 的分布律为 C x i n P X x i x x x i i i i i (1 ) , 0,1,2. 1,2, , ( 1) 2 = 2 − = = " = + − θ θ 似然函数为 ∏ ∏ = = − = = − n i n i x x x i C i i i L f x 1 1 2 2 ( ;θ ) (1 θ ) θ ∑ ∑ = − = = − = ∏ n i i n i i i n x i x x C 1 1 (2 ) 1 2 (1 θ ) θ 又 ∑ ∑ ∑ = = = = + − + − n i n i n i i i x L C x x i 1 1 1 2 ln ln ln(1 θ ) (2 )lnθ 得似然方程 (2 ) 0 1 1 ln 1 1 + − = − = ∑ ∑ = = n i i n i i n x x d d L θ θ θ 解得 x n n x n i i 2 1 1 2 2 ˆ 1 = − − = ∑= θ 是唯一驻点 所以 θ 是ˆ θ 的最大似然估计 3．设总体 X 的分布密度为 = − − ∞ < x < +∞ x p x ), | | exp( 2 1 ( ; ) σ σ σ 5
X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,试求σ的矩估计和最大似然估计。 解(1)EX=0,而EN,9 所以a的矩估计为a=∑X (2)似然函数为L(a)=()"ea, In l(o)=-nIn 2o 对应的似然方程为 d-2+2=0 所以Gg=∑x 4.设总体X的分布密度为 P(x) 640 62 (X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本,试求日和2的矩估计。 解:EX=4 x de -a1 te e (+a)"t =2+2002+202 DX=EX2-(EX)2=B2,62=Sn2, a2=Sn,所以日=X一Sn 5.设总体服从对数正态分布,其分布密度为 X-l P(r) x>0,>0 2丌cx (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数和a2的最大似然估计 解:总体X的分布密度为 L(,G) ()”e
X X Xn , , , 1 2 " 是来自总体 X 的样本，试求σ 的矩估计和最大似然估计。 [解]（1） EX = 0 ，而 1 2 x E X x e dx σ σ σ +∞ − −∞ = = ∫ 所以σ 的矩估计为 1 1 ˆ n i i X n σ = = ∑ （2）似然函数为 1 1 ( ) ( ) 2 n i i x n L e σ σ σ = −∑ = ， 1 ln ( ) ln 2 n i i x L n σ σ = σ = − −∑ 对应的似然方程为 2 1 ln ( ) 1 0 n i i L n x σ σ σ σ = ∂ = − + = ∂ ∑ ； 所以 1 1 ˆ n MLE i i X n σ = = ∑ 4．设总体 X 的分布密度为 , , 0 1 ( ) 1 2 2 2 1 = − − θ θ θ θ θ p x e x x ( , , , ) X1 X2 " Xn 为来自总体 X 的样本，试求θ 1 和θ 2 的矩估计。 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x EX e dx de θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − +∞ − − +∞ = = − ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 1 x x xe e dx θ θ θ θ θ θ 2 θ θ − − − − +∞ +∞ = − + = + ∫ 1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 2 x t x t EX e dx e θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − +∞ − − +∞ + = = = + + ∫ ∫ dt 2 DX EX ( ) EX 2 2 2 = − = θ ，θ 2 2 2 = Sn ， 2 Sn θ = ，所以 1 X Sn θ = − 5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为 (X1 , X2 ,", Xn ) 是来自总体 X 的一个样本，试求参数 µ 和σ2的最大似然估计。 , 0, 0 2 (ln ) exp 2 1 ( ) 2 2 > > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − σ π σ σ x x u x p x 解：总体 X 的分布密度为 2 2 2 2 1 (ln ) (ln ) 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) 2 2 n i i i x x n n n i i i i L e e x x µ µ σ σ µ σ πσ πσ = − − − − = = ∑ = = ∏ ∏ 6
P(x) x>0,a>0,则似然函数为 2丌x uxn lLAd)=-2m2-mlmg-∑m-∑mx-y 似然方程为lmL(口2)1 aIn L(u,o +1∑mx-)2=0.解似然方程 得最大似然估计为乒=∑mX,G=∑mx-l。 6.设总体X的分布密度为 x≥6 p(x)= 0, (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数6的最大似然估计。 解:设(X1,X2,…,Xn)的观测值为(x1,x2,…,xn),由似然函数的表达式, x1=6) 当6smin{x…,x1}时,L()=e 当>min{x…,xn}时,L(6)=0 因此当6=X12=mn{x,…,Xx2}时,L()取得最大值,即6的最大似然 估计为6=Xa=min{X,…,xn} 8.设6和O2都是参数日的两个独立的无偏估计量,且D6=2DB2,试求常数a和B 使a日+β62是O的无偏估计,且在形如a6+B2的无偏估计中方差最 解:由题知 E(a61+B02)=aE61+BE62=(a+B)6=0 即a+B=1又 D(aa1+B2)=a2D1+B2DB2=(2a2+B2)D2 =(3ax2-2a+1)DO2 2 所以当a=3,B=3时上式取得最小值 9.设总体X的分布密度为 「6x P(x)=63 (6-x),0<x<6 其它
2 2 1 (ln ) ( ) exp , 0, 0 2 2 x p x x x µ σ πσ σ ⎧ ⎫ − = −⎨ ⎬ > ⎩ ⎭ > ,则似然函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − x … x 时, L( ) θ = 0 。 因此当θ = = X(1) min{X1 ,…, Xn} 时， L(θ)取得最大值，即θ 的最大似然 估计为θ = = X(1) min{ } X1 ,…, Xn 。 8．设θ ˆ 1 和 2 都是参数 ˆθ θ 的两个独立的无偏估计量，且 Dθ ˆ 1 = 2Dθ ˆ 2 ，试求常数α 和 β ， 使 1 2 是 ˆ ˆ αθ + βθ θ 的无偏估计，且在形如αθ ˆ 1 + βθ ˆ 2 的无偏估计中方差最小。 解：由题知 1 2 1 2 E E ( ) αθ β + = θ α θ β + Eθ = (α + β )θ = θ 即 α + β = 1 又 2 2 2 2 1 2 1 2 D D ( ) D (2 ) α D 2 θ β + = θ α θ β + θ = α + β θ 2 2 = − (3α 2α θ + 1)D ； 所以当 1 , 3 α = 2 3 β = 时上式取得最小值。 9．设总体 X 的分布密度为 7
(X,x2…,X)是它的一个样本,试求参数日的矩估计量,O是否是的相合估计? 解:EX=p(x)d 60 则参数6的矩估计量为 又E=2EX=2.=6 D0= 4DY 4DX →0( 所以6是6的相合估计
( , , , ) X1 X2 " Xn 是它的一个样本，试求参数θ 的矩估计量 ，θ θ ˆ是否是 ˆ θ 的相合估计？ 解： 0 ( ) 2 EX xp x dx θ θ = = ∫ ，令 ˆ 2 X θ = ， 则参数θ 的矩估计量为 又 ˆ 2 2 2 E EX θ θ = = ⋅ = θ ， 4 ˆ 4 0 ( DX D DX n n θ = = → → ∞)， 所以 ˆ θ 是θ 的相合估计。 8