第三章:矩阵的材等变换 本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的 秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利 用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有 非零解的充分必要条件和非齐次线性方程 组有解的充分必要条件,并介绍用初等变 换解线性方程组的方法,内容丰富,难度 MNPMWPMWPSAMPNWPNWPMWPMMPMPAWPNW
第三章：矩阵的初等变换 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的 秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利 用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有 非零解的充分必要条件和非齐次线性方程 组有解的充分必要条件，并介绍用初等变 换解线性方程组的方法．内容丰富，难度 较大
第一节矩阵的初等变换
消元法解线性方程组 分析:用消元法解下列方程组的过程 ● 引例求解线性方程组 2x1-x,-x2+x1=2, x1+x2-2x3+x4=4, 1) 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③÷2 3x1+6x2,-9x3+7x4=9,④
引例 (1) 消元法解线性方程组 求解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程． 2
解 为1+22x3+=4,① ①② ③÷2 2x1-x2-x3+x4=2,9(B1 2x1-3x,+x2 2,③ 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ x+x2-2x3+x4=4,① ③-2① 2x22x3+2x4=9 ④-30|-5x2+5x3-3x4=-6,B (B2) 3x2-3x3+4x4=-3,④
解 ( ) (1) B1 ( ) B2 2 1 3 2 + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1 − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2
x1+x2-2x3+x4=4,① 2) 2」x2-x3+x4=0, (B3) ③+52 2x 4 ④-3② x4=-3, 「x1+x2-2x3+x=4① ③分)④ x3 +XA=0 ②(B4) ④-2③ 3 0=0 ④ 用“回代”的方法求出解:
( ) B3 ( ) B4 = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1 3 4 − 3 2 2 = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3 2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：
3 +4 于是解得{x2=x3+3其中x为任意取值 3 或令x3=C,方程组的解可记作 C+4 C+3 3 即 x=c (2) 3 C 0 3 3 其中c为任意常数
于是解得 = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1 − + + = = c c c x x x x x 其中c为任意常数. − + = 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c （2）
小结: 1.上述解方程组的方法称为消元 法·始终把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换 (1)交换方程次序; (④与⑦相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程; (以⑦×k替换⑦) (3)一个方程加上另一个方程的k倍 (以⑦+k①替换⑦)
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元 法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）
3.上述三种变换都是可逆的. 若(4)>D ①<)① (B),则(B) (A); 若(A) ⑦×k (B),则(B)—(A); ①+k④ 若(4) (B),则(B) ⑦-k④ (4) 由于三种变换都是可逆的,所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换
3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). i − k j
矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ()对调两行(对调,两行记作4r); (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第行的k倍加到第i行上 记作r+ry)
矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； (2)以 数 k 0 乘以某一行的所有元素; ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + （第 i 行乘 k,记作 ri k）
同理可定义矩阵的初等列变换所用记号是 把“r”换成“c”). 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型 相同 h分逆变换F> X逆变换r×()或n÷k; +k逆变换r+(-k)或r-
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． i j r r r k i 逆变换 ; i j r r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri 或 i i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −
