第四节向量空间
第四节 向 量 空 间
向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合,如果集合非空, 且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合V为向量空间 说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,∈R,则a∈V 2.n维向量的集合是一个向量空间,记作R M
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数 λ乘3维向量仍然是3维向量,它们都属于R3 类似地,n维向量的全体R",也是一个向量空
3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空
例2判别下列集合是否为向量空间. {x=(,x2,…,x,yx2 9 ∈R 解V是向量空间 因为对于v的任意两个元素 a=(0,a2,…,an),B=(0,b2,…,b,)∈V1, 有a+B=(0,a2+b2,,an+bn)y∈V aa=(0,an2,…,an)∈V1
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间. 2={=(,x2,…,x) 25 ∈R n 解V不是向量空间 因为若a=(1,a2,…,an)∈V2, 则2a=(2,2a2,…2an)gV2
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n
例4设a,b为两个已知的n维向量,集合 ={x=M+pba,∈R 试判断集合是否为向量空间 解V是一个向量空间因为若x1=41a+1b x2=a2a+2b,则有 x1+x2=(x1+2)+(H1+H2)b∈V, kx1=(k九1)a+(k1)b∈ 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间
例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空
一般地向量组a1,a2,…,am所生成的向量空 间为 ={x=4a1+42n2+…+nan1,42,…,n∈R} 例5设向量组a1,…,an与向量组b1,…,b等价, 记 v={x=1a1+l2a2+…+namA1,2,…,m∈R V2={x=m1b1+2b2+…+p,b,A1,2,…pH,∈R} 试证:V1=V2
V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 记 设向量组 与向量组 等价， 例 5
证设x∈V,则可由a1,…,an线性表示 因a1,…,an可由b1,…,b线性表示,故x可由b…, b线性表示,所以x∈V2 这就是说,若x∈V,则x∈V2, 因此vcV2 类似地可证:若x∈V2,则x∈V1, 因此v2cV1 因为V1cV2,V2cV所以V=V2
, , . 证 设xV1，则x可由a1 am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1 1 1 . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1 V2 . 因此V2 V1
二、子空间 定义2设有向量空间v及V2,若向量空间1cV, 就说V1是V2的子空间 实例 设V是由n维向量所组成的向量空间, 显然VcR 所以总是R的子空间
定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1 V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然 所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间
三、向量空间的基与维数 定义3设V是向量空间,如果r个向量a1,a2, ,an∈且满足 (1)a1,a2,…,a,线性无关 (2)中任一向量都可由x1,a2,…,a,线性表示 那末,向量组a1,a2,…,a,就称为向量V的一个 基,r称为向量空间的维数,并称V为r维向量 空间
(1) , , , ; 1 2 r线性无关 (2) , , , . V中任一向量都可由1 2 r线性表示 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． r V V r 三、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 r , , V 1 2 , r V