第五节二次型与线性变换
二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amnx2 +2a12x1x2+2a1 x2+…+2 13~13 n-1,n-n-1n 称为二次型 当a1是复数时,称为复二次型; 当a1是实数时,f称为实二次型 1/21
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 1/21
只含有平方项的二次型 2 f∫=k1ny+k2,y +…+kny 2 no n 称为二次型的标准形(或法式) 例如 f(x1,x2,x3)=2x2+4x2+5x3-4x1x3 ∫(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 都为二次型; f(x1,x2,x3)=x2+4x2+4x3 为二次型的标准形 2/21
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x 2/21
二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(x x2n=m1x+a,2x2+…+am +2a12x1x2+213x1x3+…+2an1mxn-1xn 取an=a,则2axx=axx+anxx,于是 f=auxf +aurxx2+.+aunX,x 2 +a212X1+a22x2+……+a2m2xn +…+ a..1+an2xnx2+…+anx2 ∑ax;x· i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法
2.用矩阵表示 f 2 ax +ax. 2 +……+a1ny1Xn a212X1+a22X2+…+a2m℃2 …+I x1十anny 2 2 n 2 十∴+a…X 1 =x1(1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a2x2+…+a2mxn) +…+xn(mnx1+an2x2+…+ and) 1x1+ 1x,+…+a 2 Inn 211 x十∷+a,X 22~2 2 n出n =(x1’x2,…xn anll 十anX 2 2 nn出n
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )
11 a 12 In 21 22 2n 2 =(x1,x2,…yCn n2 n l 12 In x 记A= 21 22 n n2 n 则二次型可记作∫=x7Ax,其中A为对称矩阵
则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A 记 ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样, 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵 ∫叫做对称矩阵4的二次型 对称矩阵4的秩叫做二次型∫的秩
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩
例1写出二次型 ∫=x1+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解a1=1,a2=2,a3=-3, = 21 =2, ,=a,=0 13 =-3. 32 120 A=22-3 0-3-3
解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0 − − A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１
四、化二次型为标准形 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形 设 +C1y2 2 十∴+c Inng =C 2 211 22y2 十∴+C nong n y1+c, n2 +…+Cmy n n 记C=(c,则上述可逆线性变换可记作 8/21
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy 8/21
将其代入∫=x7Ax,有 f=xTAx=(Cy)A(cy)=y(CTAc)y 定理1任给可逆矩阵C,令B=CAC,如果A为对称 矩阵则B也为对称矩阵且R(B)=R(4) 证明A为对称矩阵即有A=A,于是 BT=CTAC=CTATC=C/AC=B 即B为对称矩阵 B=C7AC,∴R(B)≤R(AC)≤R(4 又∵A=(C)BC1,,R(4)≤R(BC)≤R(B) R(A=R(B 9|
f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T = R(B) R(AC) R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又 T ( ) ( ) ( ). 1 R A R BC R B − R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵. 9/21