§14条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 条件概率 例18考虑有两个孩子家庭(假定男女出生率一样)。 Ω={(男,男),(男,女),(女,女),(女,男)} A={一男一女}={(男,女),(女,男) B={至少有一女}={(女,女),(男,女),(女,男)} P(A) P(B) P(4B)、2 现在考虑:已知B发生条件下,A发生的概率 P(AIB)= P(AB) P(B) P(AIB)= P(AB) P(B) 定义18(条件概率) P(AIB)=P(AB) P(B) P(B) 性质:条件概率仍具有概率的性质 1)0≤P(A|B)≤1 2)P(Ω|B)=1 3)P∑A|B)=∑P(A|B) 4)P(A|B)=1-P(A|B); 5)P((A, UA2)IB)=P(A I B)+P(A, IB)-P(AA,I B) 6)P(A1-A2)B)=P(A1B)-P(A1A2|B) 证明:P(41-42)16s3(A1A2B)P(A1B-A) P(B) P(B)
§1.4 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 一、 条件概率 例 1.8 考虑有两个孩子家庭（假定男女出生率一样）。 Ω = （男， { 男）（男，女） , （女， , 女） （女，男） , } A = {一男一女 } = {(男，女 )，(女，男 )} ； B = {至少有一女 } = {(女，女 )，(男，女 ), (女，男 )} ； 4 2 ( ) 4 3 ( ) 2 1 P(A) = P B = P AB = 现在考虑：已知 B 发生条件下，A 发生的概率： ( ) ( ) 4 3 4 2 3 2 ( | ) P B P AB P A B = = = ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 定义 1.8（条件概率）： ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = ， P(B) >0. 性质 ：条件概率仍具有概率的性质. 1) 0 ≤ P(A| B) ≤1 ； 2) P(Ω | B) =1 ； 3) ( | ) ( | ) 1 1 P A B P A B i i ∑i i ∑∞ = ∞ = = ； 4) P(A| B) =1 − P(A| B) ； 5) (( )| ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1 ∪ A2 B = P A1 B + P A2 B − P A1A2 B ； 6) (( )| ) ( | ) ( | ) P A1 − A2 B = P A1 B − P A1A2 B ； 证明 ： ( ) ( ) (( ) | ) 1 2 1 2 P B P A A B P A − A B = = ( ) ( ) 1 2 P B P A B − A
P(A,B)-P(AA,B =P(A1|B)-P(A1A2|B) P(B) 乘法公式:P(AB=P(AP(BA=P(BF(AB) 推广:P(ABO=P(AP(B|AP(C|AB) P(AA…42)=P(A)P(AA)f(A4|AA)…PA|AA4..) 例1,9.某人忘记了电话号码的最后一位数,随意拨,求概率 (1)恰好第三次拨通 (2)三次内拨通。 解:设A1表示第i次拨通 (1)P(AA2A43)=P(41)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 109810 2)P(A+A12+A124)=P(A4)+P(AA2)+P(AA243 101091010 如果已知最后一位是奇数 4311 ()P(A424)=5×435 (2)P(A+A142+A1A243)= 、全概率公式和贝叶斯公式 设A1,A2,…,A2是样本空间g的一个分割 即A1,A2,…,An两两互斥且A1+A2+…Aa=9;则有 全概率公式:对任意事件B,有: P(B)=∑P(A)P(B|A) 推广:P(B)=∑P(A)P(B|A) 贝叶斯公式
= ( ) ( ) ( ) 1 1 2 P B P A B − P A A B = ( | ) ( | ) P A1 B − P A1A2 B ； 乘法公式： P(AB) =P(A)P(B| A) =P(B)P(A| B) 推广： P(ABC) = P(A)P(B| A)P(C| AB) ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1A2"An =P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 "P An A1A2…An−1 例 1.9. 某人忘记了电话号码的最后一位数, 随意拨, 求概率： （1）恰好第三次拨通； （2）三次内拨通。 解： 设 Ai 表示第i 次拨通 （1） ( ) ( ) ( | ) ( | ) P A1A2 A3 = P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 10 1 8 1 9 8 10 9 = × × = ； （2） ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 + A1A2 + A1A2A3 = P A1 + P A1A2 + P A1A2A3 10 3 10 1 9 1 10 9 10 1 = + × + = 如果已知最后一位是奇数： (1) 5 1 3 1 4 3 5 4 ( ) P A1A2A3 = × × = (2) 5 3 ( ) P A1 + A1A2 + A1A2A3 = 二、全概率公式和贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是样本空间Ω 的一个分割， 即 A1 , A2 ,…，An 两两互斥且A1+A2+…An=Ω ；则有 全概率公式：对任意事件 B ，有： ∑= = n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( | ) 推广： ∑ ∞ = = 1 ( ) ( ) ( | ) i P B P Ai P B Ai 贝叶斯公式：
P(4|B)=(AB)=P(4)P(B|4) P(B)∑P(A)P(B14) 推广: P(AB) P(A)P(B A) ∑P(A)P(B|A) 证明 A1+A2 +A B=A,B+A,B+…+AB P(B)=P(AB)+P(A,B)+.+P(A, B) =P(A)P(B A)+(A)(B1A,)+.+P(A)P(BA) 例1.10.设有10支枪: 支数 命中率 精确校正过 初步校正过 532 0.6 未校正过 0.2 从10支枪中任取一支射击,求概率: 、射击中靶; 2、若已知射击中靶,所取的枪是初步校正过的。 解:B={射击中靶}; A1={所取的枪是精确校正过的} A2={所取的枪是初步校正过的} A3={所取的枪是未校正过的} P(A)= DP(A)=10P42 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) 09×06+二×0.2=0.6′
∑= = = n i i i i i i i P A P B A P A P B A P B P A B P A B 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 推广： ∑ ∞ = = 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) i i i i i i P A P B A P A P B A P A B 证明： Ω = A1 + A2 + " + An B = A1B + A2B + " + An B ( ) ( ) ( ) ( ) P B = P A1B + P A2B +"+ P AnB = ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A1 P B A1 + P A2 P B A2 +"+ P An P B An 例 1.10 . 设有 10 支枪： 支数 命中率 精确校正过 5 0.9 初步校正过 3 0.6 未校正过 2 0.2 从 10 支枪中任取一支射击，求概率： 1、射击中靶； 2、若已知射击中靶，所取的枪是初步校正过的。 解： B ={射击中靶}； A1={所取的枪是精确校正过的}； A2 ={所取的枪是初步校正过的}； A3 ={所取的枪是未校正过的}； 10 2 , ( ) 10 3 , ( ) 10 5 ( ) P A! = P A2 = P A3 = ； 由全概率公式： P(B) = ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A1 P B A1 + P A2 P B A2 + P A3 P B A3 0.2 0.67 10 2 0.6 10 3 0.9 10 5 = × + × + × =
由贝叶斯公式 P(2|B)=P(4B)P(A2)P(B|A)3/10×0=027 P(B) P(B) 0.67 P(A2|B)=0.27≠P(A2)=0.3 例1.11.盒中有12个球,其中9个新球。第一次比赛从中 任取3球,用后放回,第二次比赛从中再取3球。求概率 (1)第二次取出的球都是新球 (2)若第二次取出的都是新球,第一次取出的都是新球 解:B={第二次取出的都是新球}; A={第一次取出i个新球};i=0,1,2,3 由全概率公式 P(B)=∑P(A)P(B|A) C3C3CC2C3C。CCC3C 0.086 (C2)2 由贝叶斯公式: P(A B)=P(A, B)P(A,)P(BI A3) P(B) P(B) CC。/C2 0.238 7056C122 例5.已知男女的出生率分别为52%和48%,由医学统计 5%的男性和0.25%的女性为色盲者,现随机取一人,此人 恰为色盲,问此人是男性的概率是多少? 解:A={此人是男性 B={此人是色盲} A={此人为女性} P(A|B)=(4B)=P(4)P(B|A P(B) P(A)P(B A)+ P(A)P(B A)
由贝叶斯公式： 0.67 3 /10 0.6 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 2 2 2 2 × = = = P B P A P B A P B P A B P A B =0.27 ； ( | ) 0.27 ( ) 0.3 P A2 B = ≠ P A2 = 例 1.11. 盒中有 12 个球，其中 9 个新球。第一次比赛从中 任取 3 球，用后放回，第二次比赛从中再取 3 球。求概率： （1） 第二次取出的球都是新球； （2） 若第二次取出的都是新球，第一次取出的都是新球。 解： B={ 第二次取出的都是新球 }； Ai ={第一次取出i 个新球} ； i = 0 ,1, 2 ,3 ； 由全概率公式： ∑= = 3 0 ( ) ( ) ( | ) i P B P Ai P B Ai = 3 12 3 6 3 12 3 9 3 12 3 7 3 12 1 3 2 9 3 12 3 8 3 12 2 3 1 9 3 12 3 9 3 12 3 3 C C C C C C C C C C C C C C C C C C × + × + × + × = 0.086 ( ) 7056 3 2 12 = C 由贝叶斯公式 ： ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 3 3 3 3 P B P A P B A P B P A B P A B = = = 3 2 12 3 2 12 3 6 3 9 7056 /[ ] /[ ] C C C C = 0.238 例5. 已知男女的出生率分别为 52%和 48%，由医学统计， 5%的男性和 0.25%的女性为色盲者，现随机取一人，此人 恰为色盲，问此人是男性的概率是多少？ 解：A = { 此人是男性 } ； B = { 此人是色盲 } ； A = { 此人为女性 } ； ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B + = =
52%×5% 0.956 52%×5%+48%×0.25% 若去掉男女出生率的条件 1/2×5% P(112×5%+1/2×0.25% 0.952 例1.12.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设 每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。一顾客 欲购一箱,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看 4只,若无次品则买下,否则退回。试求 1、顾客买下该箱的概率 2、在顾客买下的箱中确实没有次品的概率。 解:设B={顾客买下该箱}={4只中无次品}; A1={取的一箱有i个次品},i=0,1,2 (1)P(B)=P(A)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 0.8×1+0.1 +0.1 0.943 ()P(4|B)=P4B)=P(4)P(B4) 0.848 P(B P(B) 0.943
= 0.956 52% 5% 48% 0.25% 52% 5% = × + × × 若去掉男女出生率的条件； 0.952 1/ 2 5% 1/ 2 0.25% 1/ 2 5% ( | ) = × + × × P A B = 例 1.12. 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设 每箱含 0，1，2 只次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1。一顾客 欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机察看 4 只，若无次品则买下，否则退回。试求 ： 1、顾客买下该箱的概率 ； 2、在顾客买下的箱中确实没有次品的概率 。 解：设 B = { 顾客买下该箱 } = { 4 只中无次品 }； = { 取的一箱有 个次品 }， =0，1，2 Ai i i (1) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B = P A0 P B A0 + P A1 P B A1 + P A2 P B A2 = 0.8 1 0.1 0.1 0.943 4 20 4 18 4 20 4 19 × + × + × = C C C C (2) 0.848 0.943 0.8 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0 0 0 0 = × = = = P B P A P B A P B P A B P A B