52常用统计分布 521x2分布 定义56设随机变量x1,X2,…,Xn独立同分布,且每个X;~N(O,1),则称随机变 X (5.15) 所服从的分布为自由度为n的x2分布,记为x2~x2(m)这里自由度n是表达式(515) 中独立变量的个数。随机变量xn2亦称为x2变量 定理54自由度为n的x2变量x2的分布密度为 p(x)={2I() 0 x≤0 其中r(2)是伽玛函数r()=x“cd在a=;处的值 x2分布具有下列性质 性质53E(x2)=n;D(x2)=2n (5.20) 证明由定义5.6得 E(x2)=E(∑x2)=∑E(x2)=∑[D(X1)+(E(X)]= 由于 TS D(x2)=E(X4)-(E(x2)2= dx-1=3-1=2 所以 2)=D∑X2)=∑D(X2) 性质54设X~x2(n),Y~x2(m),且X与Y相互独立,则 X+r-x(n+ (5.21) 性质55设z2~z2(n),则对任意x,有
§5.2 常用统计分布 5.2.1 分布 2 χ 定义 5.6 设随机变量 独立同分布，且每个 ，则称随机变 量 X X X n , , , 1 2 " X ~ N(0,1) i (5.15) 2 2 2 2 1 2 χ n = X + X +"+ X n 所服从的分布为自由度为n 的 分布，记为 。这里自由度 是表达式(5.15) 2 χ ~ ( ) 2 2 n χ n χ n 中独立变量的个数。随机变量 χ n 2 亦称为 变量。 2 χ 定理 5.4 自由度为 n 的 变量 的分布密度为 2 χ 2 χ n ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = Γ − − 0 0 0 ) 2 2 ( 1 ( ) 1 2 2 2 x e x x n p x x n n (5.16) 其中 ) 2 ( n Γ 是伽玛函数 a x e dx 在 a x ∫ +∞ − − Γ = 0 1 ( ) 2 n a = 处的值。 分布具有下列性质： 2 χ 性质 5.3 E n ； (5.20) ( n ) = 2 χ D( n ) 2n 2 χ = 证明 由定义 5.6 得 E E X E X D X E X n n i i i n i n i n ∑ ∑ i i ∑ = = = = = = + = 1 2 1 1 2 2 2 (χ ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( )) ] 由于 1 3 1 2 2 ( ) ( ) ( ( )) 2 4 2 4 2 2 2 = − = − = − = +∞ − ∫−∞ e dx x D X E X E X x i i i π 所以 D D X D X n n i n i ( n ) ( i ) ( i ) 2 1 1 2 2 2 = ∑ ∑= = = = χ 性质 5.4 设 ~ ( ) ， ，且 2 X χ n ~ ( ) 2 Y χ m X 与Y 相互独立，则 ~ ( ) (5.21) 2 X + Y χ n + m 性质 5.5 设 χ n 2 ~ χ2 (n) ，则对任意 x ，有
lim Pi ≤x dt 证明由假设及定义56,x2可表示x2=∑X2,其中X,X2…X,独立且每 X1~N(0,1),因而X2,X2,…,X2独立同分布,且 u=E(X2)=1, =D(x)=2(=12,…,m) 由中心极限定理得 Xi lim ≤x}=limP dt no 该性质表明x2变量的极限分布是正态分布,即当n很大时 近似服从标准正态 分布N(0,1),进而x2近似服从正态分布N(n,2n)。 52.2t分布 定义57设X~N(O,1),y~x2(mn),且x与Y相互独立,则称随机变量 (5.22) 服从自由度为n的t分布,记为T~(m)。随机变量T亦称为t变量 分布具有下列性质: 性质56设~l(n),则当n>2时有 E(T)=0 n D(T) (5.24) 性质57设T~1(m),p()是T的分布密度,则 lim p(o) 此性质说明,当n→∞时,t分布的极限分布是标准正态分布 523F分布 定义5.8设X~x2(n1),y~x2(n2),且X与Y相互独立则称随机变量
x e dt n n P t x n n 2 2 2 2 1 } 2 lim { − →∞ ∫−∞ ≤ = − π χ 证明 由假设及定义 5.6， 可表示 ，其中 独立且每 ，因而 ， ，…， 独立同分布，且 2 χ n ∑= = n i n Xi 1 2 2 χ X X X n , , , 1 2 " X ~ N(0,1) i 2 X1 2 X2 2 X n ( ) 1， 2 = i = def µ E X ( ) 2 2 = i = def σ D X (i = 1,2,", n) 由中心极限定理得 x e dt n X n x P n n P t x n i i n n n 1 2 2 2 2 2 1 lim 2 lim − −∞ = →∞ →∞ ∫ ∑ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − σ π µ χ 该性质表明 变量的极限分布是正态分布，即当 n 很大时， 2 χ n n n 2 2 χ − 近似服从标准正态 分布 N(0,1) ，进而 χ n 2 近似服从正态分布 N(n,2n) 。 5.2.2 t 分布 定义 5.7 设 X ~ N(0,1) ， ~ ( ) ，且 2 Y χ n X 与Y 相互独立，则称随机变量 Y n X T = (5.22) 服从自由度为 n 的t 分布，记为T ~ t(n) 。随机变量T 亦称为t 变量。 t 分布具有下列性质： 性质 5.6 设T ~ t(n) ，则当 n > 2 时有 E(T ) = 0 2 ( ) − = n n D T (5.24) 性质 5.7 设T ~ t(n) ， p(t) 是T 的分布密度，则 2 2 2 1 lim ( ) t n p t e − →∞ = π 此性质说明，当 n → ∞ 时，t 分布的极限分布是标准正态分布。 5.2.3 F 分布 定义 5.8 设 2 2 ~ ( 1 ), ~ ( ) 2 X χ n Y χ n , 且 X 与 Y 相互独立,则称随机变量
服从自由度为(n2n2)的F分布记为F~F(n1,n2)其中n1称为第一自由度,2称为第二自由 定理56自由度为(n,n2)F分布的分布密度为 TO n1+n2 0 p(x)={r(1 TO 2 0.x2)(528) D(F) n,(n,+n (n2>4) (529) 性质510设F~F(n1,n2),则当n2>4时,对任意x,有
1 2 X F= Y n n 服从自由度为( )的F分布,记为 其中 称为第一自由度, 称为第二自由 度. 1 2 n ,n ~ ( 1 2 F F n ,n ). 1 n 2 n 定理 5.6 自由度为( n1,n2 )的 F 分布的分布密度为 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) (1 ) , 0 ( ) . ( ) ( ) 2 2 0, 0 n n n n n n n n x x x p x n n n n n x − + − ⎧ + Γ ⎪ ⎪ + > = ⎨Γ Γ ⎪ ⎪ ⎩ ≤ i 例 5.7 已知T t ~ (n), 试证 2 T F ~ (1,n). 证明:因为T t ~ (n), 由定义 5.7 有 Y n X T = 其中 2 X ~ ( N Y 0,1), ~ χ (n)且 X 与 Y 独立,那么 2 2 X T Y n = 由于 2 2 X ~ ( χ χ 1),Y n ~ ( ) 且 2 X 与 Y 独立,则由定义 5.8 有 2 T F ~ (1,n). F 分布具有下列性质： 性质 5.8 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则 ~ ( , ) 1 F n2 n1 F (5.27) 性质 5.9 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则 2 ( ) 2 2 − = n n E F ( 2) (5.28) n2 > ( 2) ( 4) 2 ( 2) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 − − + − = n n n n n n D F ( 4) (5.29) n2 > 性质 5.10 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则当 n2 > 4时，对任意 x ，有
lim p F-E(F n→ D(F) 其中E(F),D(F)由式(528)式(529)所确定 524概率分布的分位数 定义59对于总体X和给定的a(0x,=a 则称x为X的分布的上侧分位数 如果X~N(0,1),将标准正态分布的上侧分位数记为pn,它满足 P(X>H=1-P(tn(n)}=a 给定a和n,由附表3可查得t(n)值。如t0o(10)=1812,1025(20)=2.0860。由于t分 布的对称性,同样有 tn(n)=-t1-(n) (534) 如果x2~x2(m),将自由度为n的x2分布的上侧分位数记为x2(n),它满足 >xa(n) 给定a和n,当n≤60时可由附表4查出x2(n)值,如x205(10)=183,x2a5(10)=342 当n>60时可由下列近似公式计算: xa(m)≈n+√2n*0 (535) 例如,当n=120,a=0.05时 x2(120)≈120+√2*120*05=120+√2*120*164=1455
x e dt D F F E F P t x n 2 2 1 2 1 ( ) ( ) lim − →∞ ∫−∞ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − π (5.30) 其中 E(F) ， D(F) 由式(5.28),式(5.29)所确定。 5.2.4 概率分布的分位数 定义 5.9 对于总体 X 和给定的a (0 xa } = a (5.31) 则称 xa 为 X 的分布的上侧分位数。 如果 X ~ N(0,1) ，将标准正态分布的上侧分位数记为 µ a ，它满足 P{ } X > µ a = 1− P{X ≤ µ a } = 1− Φ(µ a ) = a 即 Φ(µ a ) = 1− a (5.32) 给定 a ，由附表 2 可查得 µ a 的值，如 µ 0.05 = 1.64 ，µ 0.025 = 1.96 。由于标准正态分布的对 称性，显然有 µ a = −µ1−a (5.33) 如果T ~ t(n) ，将自由度为 n 的t 分布的上侧分位数记为ta (n) ，它满足 P{ } T > ta (n) = a 给定 a 和 n ，由附表 3 可查得ta (n) 值。如t0.05 (10) = 1.812 ，t0.025 (20) = 2.0860 。由于 分 布的对称性，同样有 t ( ) ( ) ta n = −t1−a n (5.34) 如果 χ n 2 ~ χ2 (n) ，将自由度为 n 的 分布的上侧分位数记为 ，它满足 2 χ ( ) 2 n χ a P{ n > a (n)}= a 2 2 χ χ 给定 和 ，当 时可由附表 4 查出 值，如 ， ， 当 时可由下列近似公式计算： a n n ≤ 60 ( ) 2 χ a n (10) 18.3 2 χ 0.05 = (10) 34.2 2 χ 0.025 = n > 60 χ a n n 2n *µ a ( ) 2 ≈ + (5.35) 例如，当 n =120， a = 0.05时 (120) 120 2*120 * 0.05 120 2*120 *1.64 145.5 2 χ 0.05 ≈ + µ = + =
如果F~F(n1,m2),将自由度为(n1,n2)的F分布的上侧分位数记为F(n1,n2),它 满足 PF>F(n, n2))=a 对a=0.05,0.01,0.10,0.025的F(n1,n2)的值,可由附表5查出。如Fo5(5,10)=3.33 F05(10,20)=277。而对F1a(m1,n2)的值可由下列公式计算: F-a(m1,n2) F(m2,m1) 式(536)的证明留作练习
如果 ，将自由度为 的 分布的上侧分位数记为 ，它 满足 ~ ( , ) 1 2 F F n n ( , ) 1 2 n n F ( , ) Fa n1 n2 P{ } F > Fa (n1 , n2 ) = a 对 a = 0.05, 0.01，0.10 ，0.025的 Fa (n1 ,n2 ) 的值，可由附表 5 查出。如 F0.05 (5,10) = 3.33， F0.025 (10,20) = 2.77。而对 F1−a (n1 ,n2 ) 的值可由下列公式计算： ( , ) 1 ( , ) 2 1 1 1 2 F n n F n n a −a = (5.36) 式(5.36)的证明留作练习