第六章习题 1.设总体X的分布函数为 F(x;61,62) x≥1;其中参数B1>0已知 0,x1知 x1,x2,…,xn是来自该总体的样本值。求未知参数2的最大似然估计和矩估 计 2.已知总体X的分布列为 (1-b) (参数00 (X1,X2…,Xn)为来自总体X的样本,试求6和B2的矩估计。 5.设总体服从对数正态分布,其分布密度为 (r px) 0.>0 O (x1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数H和2的最大似然估计。 6.设总体X的分布密度为 ≥6 x) (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数6的最大似然估计 7.设O1和的2都是参数的两个独立的无偏估计量,且D61=2DO2,试求常
第六章 习 题 1．设总体 X 的分布函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ≥ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ， 未知 其中参数 已知 0 , 1 1 , ; 0 ( ; , ) 1 2 1 1 1 1 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ x x F x x n x , x , , x 1 2 " 是来自该总体的样本值。求未知参数θ 2 的最大似然估计和矩估 计。 2．已知总体 X 的分布列为 X 1 2 3 P 2 θ 2θ (1−θ ) 2 (1−θ ) （参数 未知）。 x1, x2 ,", xn 是来自该总体的样本值。求θ 的最大似 然估计。 0 − − θ θ θ θ θ p x e x x ( , , , ) X1 X2 " Xn 为来自总体 X 的样本，试求θ1和θ 2的矩估计。 5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为 (X1 , X 2 ,", X n )是来自总体 X 的一个样本，试求参数 µ 和σ2 的最大似然估计。 , 0, 0 2 (ln ) exp 2 1 ( ) 2 2 > > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − σ π σ σ x x u x p x 6．设总体 X 的分布密度为 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − − θ θ θ x e x p x x 0, , ( ) ( ) ( , , , ) X1 X2 " Xn 是来自总体 X 的一个样本，试求参数θ 的最大似然估计。 7．设θ ˆ 1和θ ˆ 2 都是参数θ 的两个独立的无偏估计量，且 Dθ ˆ 1 = 2Dθ ˆ 2 ，试求常 1
数a和β,使Q日+B62是的无偏估计,且在形如aO1+BO2的无偏估 计中方差最小 8.设总体X的分布密度为 P(x)=1 (6-x),0<x< 其它 (X,X2…,Xn)是它的一个样本,试求参数O的矩估计量6,6是否是的相 合估计? 9.设轴承内环的锻压零件的高度ξ~N(μ,0.42),现从中抽取20只内环,其平均 高度x=323mm,求p的置信度为95%的置信区间 10.某市教科所进行初中数学教学实验,实验班是从全市初一新生中抽取的一个 =50的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为84.3,标准差 为10.78,如果全市都进行这种教学实验,并实验后全市毕业生的会考成绩服从 正态分布,那么,全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为 0.95)?并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分71.9进行比较 两种机床生产同一个型号的滚珠,从甲机床生产的滚珠中抽取8个,从乙机 床生产的滚珠中抽取9个,测得这些滚珠的直径(单位:mm)如下: 甲机床:15.0,14.8,15.2,15.4,149,15.1,15.2,148 乙机床:152,15.0,14.8,15.1,146,14.8,15.1,145,15.0 设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。 (1)若a2=a2时,求1-2的置信度为95%的置信区间。 (2)求方差比σ2/σ2的置信度为95%的置信区间。 12.设0.50,1.25,0.80,200是来自总体X的样本,已知Y=lnX服从正态分 布N(,1) (1)求X的数学期望EX(记X为b), (2)求的置信度为095的置信区间, 利用上述结果求b的置信度为095的置信区间 习题解答
数α 和 β ，使 1 2 是 ˆ ˆ αθ + βθ θ 的无偏估计，且在形如 的无偏估 计中方差最小。 1 2 ˆ ˆ αθ + βθ 8．设总体 X 的分布密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < = 0, 其它 ( ), 0 6 ( ) 3 θ θ θ x x x p x ( , , , ) X1 X 2 " X n 是它的一个样本，试求参数θ 的矩估计量θ ˆ，θ ˆ是否是θ 的相 合估计？ 9. 设轴承内环的锻压零件的高度 ，现从中抽取 20 只内环，其平均 高度 2 ξ µ ~ N( , 0.4 ) x = 32.3mm，求µ 的置信度为 95% 的置信区间． 10．某市教科所进行初中数学教学实验，实验班是从全市初一新生中抽取的一个 n=50 的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为 84.3，标准差 为 10.78，如果全市都进行这种教学实验，并实验后全市毕业生的会考成绩服从 正态分布，那么，全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为 0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分 71.9 进行比较． 11. 两种机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取 8 个，从乙机 床生产的滚珠中抽取 9 个，测得这些滚珠的直径（单位：mm）如下： 甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，14.6，14.8，15.1，14.5，15.0 设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。 （1）若σ 1 2 = σ 2 2 时，求 µ1 − µ 2 的置信度为 95%的置信区间。 （2）求方差比σ 1 2 /σ 2 2 的置信度为 95%的置信区间。 12. 设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体 X 的样本，已知Y = ln X 服从正态分 布 N(µ,1) . （1） 求 X 的数学期望 EX （记 X 为b ）， （2） 求µ 的置信度为 0.95 的置信区间， 利用上述结果求b 的置信度为 0.95 的置信区间。 习 题 解 答 2
1总体X的分布密度函数为 0.022x x≥61 f(x:B1,2)=F(x;B1,2) (1)似然函数为 f(x92)=∏ex份=e∏x), x,≥61 又hnL=nlnB2+mO2ln-(1+2)∑mnx 得似然方程 dIn n +m61-)Inx=0 d262 解得 ∑mnx-nlna∑(nx-lna) 是唯一驻点。又为21nL_一”<0,所以2是B2最大似然估计。 (d6 (2)第一步E(X)=x2Bx+x ∫ 0,0x-dx=2→a.=E(x) E(X)-6 第二步E(X)=x 第三步将E(X)=x代入B2的公式, 得到= 是62的矩估计量 2X的分布律为:P(X=x+1)=C2(1-6)6-2,x=0,12 X的分布律为 P(X1=x1+1) C2(1-0)02x,x,=0,2i=1,2,…,n
1 总体 X 的分布密度函数为 2 2 ( 1) 2 1 1; 1 2 1 2 1 , ( ; , ) '( ; , ) 0, x x f x F x x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + ⎧⎪ ≥ = = ⎨ ⎪⎩ < （1）似然函数为 2 2 2 2 ( 1) (1 ) 1 2 2 1 2 1 1; 1 1 1 ( ; , ) , n n n n n i i i i i i L f x x x x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i − + − + = = = = = ∏ ∏ = ∏ ≥ θ 又 2 2 1 2 1 ln ln ln (1 ) ln n i i L n n θ θ θ θ = = + − + ∑ x 得似然方程 1 2 2 1 ln ln 0 n i i d L n n x d θ θ θ = = + −∑ = 解得 2 1 1 1 1 ˆ ln ln (ln ln ) n n i i i i n n x n x θ θ θ = = = = ∑ ∑ − − 是唯一驻点。又因为 0 ( ) ln 2 2 2 2 2 = − < θ θ n d d L ，所以 2 是ˆθ θ 2 最大似然估计。 （2）第一步 E X x x dx ( 1) 2 1 2 1 2 ( ) − + +∞ ∫ = θ θ θ θ θ 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 1 ( ) E X x dx E X θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ +∞ − = = ⇒ = − − ∫ 第二步 ˆ E( ) X x = 第三步 将 E(X ) = x ˆ 代入θ 2 的公式， 得到 1 2 ˆ θ θ − = x x 是θ 2 的矩估计量。 2. X 的分布律为： ( 1) (1 ) , 0,1,2 2 = + = 2 − = − P X x C x x x x θ θ Xi 的分布律为 C x i n P X x i x x x i i i i i (1 ) , 0,1,2. 1,2, , ( 1) 2 = 2 − = = " = + − θ θ 3
似然函数为 L=f(x:0)=∏C2(-0)e23x (2-x 又lnL=∑mnC+∑xlm(1-0)+∑(2-x)n 得似然方程dm∠之x d1-b6 x)=0 解得θ=—=1-x是唯一驻点 所以是O的最大似然估计 且 3.(1)EX=0,而EX1=ne=a 所以G的矩估计为G=1x (2)似然函数为L(a)=()"e= nL(a)=-nh2a∑ 对应的似然方程为 lnL()=-+1∑刚=0 所以Gk=∑|X 4.EX= a2dx=-62 de a e 2 dx=0+e
似然函数为 ∏ ∏ = = − = = − n i n i x x x i C i i i L f x 1 1 2 2 ( ;θ ) (1 θ ) θ 1 1 (2 ) 2 1 (1 ) n n i i i i i n x x x i C θ θ = = − = ∑ ∑ = − ∏ 又 2 1 1 1 ln ln ln(1 ) (2 )ln i n n n x i i i i i L C x θ x θ = = = = + ∑ ∑ − +∑ − 得似然方程 1 1 ln 1 (2 ) 0 1 n i n i i i x d L n x dθ θ θ = = = + − = − ∑ ∑ 解得 1 2 1 ˆ 1 2 2 n i i n x x n θ = − = = ∑ − 是唯一驻点 所以 θ ˆ 是θ 的最大似然估计 3．（1） EX = 0 ，而 1 2 x E X x e dx σ σ σ +∞ − −∞ = = ∫ 所以σ 的矩估计为 1 1 ˆ n i i X n σ = = ∑ （2）似然函数为 1 1 ( ) ( ) 2 n i i x n L e σ σ σ = −∑ = ， 1 ln ( ) ln 2 n i i x L n σ σ = σ = − −∑ 对应的似然方程为 2 1 ln ( ) 1 0 n i i L n x σ σ σ σ = ∂ = − + = ∂ ∑ ； 所以 1 1 ˆ n MLE i i X n σ = = ∑ 4． 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x EX e dx de θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − +∞ − − +∞ = = − ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 1 x x xe e dx θ θ θ θ θ θ θ θ2 − − − − +∞ +∞ = − + = + ∫ 4
(t+)2 6, 62 G2+202+2e DX=EX2-(EX)2=2,B2=S2, 02=Sn,所以B=x-Sn 5.总体X的分布密度为 L(u,02) tOX (x)=1 (nx-u) 2r2},x>0,a>0,则似然函数为 In L(u,0) n2x)nlna∑hx-∑(nx-) 似然方程为nL(u2)=1 (nx-4=0 a ohn4n)=-n2+1∑(mx-)2=0解似然方程, 得最大似然估计为分1 ∑加x,G2=(mx- 6.设(X1,X2,…,Xn)的观测值为(x1,x2,…,xn),由似然函数的表达式, 当0≤min{x…,x,}时,DO)= 当6>min{x1…,x}时,D(O)=0。 因此当6=x=min{x1…,Xxn}时,LO)取得最大值,即O的最大似然 估计为O=X0)=mn{x1…,Xn}。 7.由题知 E(a0+B02)=aEe+BEB2=(a+B)0=8 即a+B=1又 D(a61+B2)=aD+BD02=(2a2+B)D2 =(3a2-2a+1)DB2
1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 2 x t x t EX e dx e dt θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − +∞ − − +∞ + = = = + + ∫ ∫ 2 2 2 DX = − EX ( ) EX = θ 2 ， ， 2 2 2 n θ = S 2 n θ = S ，所以 θ1 = − X Sn 5．总体 X 的分布密度为 2 2 2 2 1 (ln ) (ln ) 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( ) 2 2 n i i i x x n n n i i i i L e e x x µ µ σ σ µ σ πσ πσ = − − − − = = ∑ = = ∏ ∏ 1 2 2 1 (ln ) ( ) exp , 0, 0 2 2 x p x x x µ σ πσ σ ⎧ ⎫ − = −⎨ ⎬ > > ⎩ ⎭ ,则似然函数为 2 2 2 1 1 1 ln ( , ) ln(2 ) ln ln (ln ) 2 2 n n i i i i n L n µ σ π σ x x = = σ = − − −∑ ∑ − − µ 似然方程为 2 2 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 n i i L x µ σ µ µ σ = ∂ = − ∂ ∑ = 2 2 2 2 4 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 2 2 n i i L n x µ σ µ σ σ σ = ∂ = − + − = ∂ ∑ ,解似然方程， 得最大似然估计为 1 1 ln n i i X n µ = = ∑ ， 2 2 1 1 (ln ) n i i X n σ µ = = − ∑ 。 6．设 1 2 ( , , , n X X " X ) 的观测值为( , x x 1 2 ,", xn ) ，由似然函数的表达式， 当θ ≤ min{ } x1 ,…, xn 时， 1 ( ) ( ) n i i x L e θ θ = −∑ − = ； 当 { } 时, min 1 , , n θ > x … x L( ) θ = 0。 因此当θ = = X(1) min{X1, , Xn} … 时， L(θ)取得最大值，即θ 的最大似然 估计为θ = = X(1) min{ } X1,…, Xn 。 7．由题知 1 2 1 2 E E ( ) αθ β + = θ α θ β + Eθ = (α + β)θ = θ 即 α + β =1又 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) (2 ) D αθ β + = θ α D D θ β + θ = α + β Dθ 2 2 2 = − (3α 2α θ +1)D ； 5
所以当as1 2 =3时上式取得最小值 8. EX=L xp(x)di 令B=又 则参数O的矩估计量为 6 又E6=2EX=2.=b DO=4DF4DX、0(n→∞) 所以O是的相合估计。 9.仿假设检验的分析,这里a2=0.42已知,构造一个含未知参数的子样的函数 由已知1-a=0.95,即水平a=0.05,根据P|Ukaa=1-a=0.95, 查M0,1)分布表得分位点u=10s5=1.96,代入上式得P{5-|V<196} 上式括号内作恒等变形,得P{2-196<<+19671=0.95 即的置信度为0.95的置信区间为(2-196.3+1967) 将观察数据x=32.3及σ=0.4,l20代入计算得 0.4 =32.12,=32.3+1 0.4 b=32.3-1.96 于是的一个95%的置信区间为(32.12,32.48). 10.此处已知总体服从正态分布,且a2未知,由表7.1的估计的公式,查t(50-1) 分布表得t9(49)=2.0141, 于是μ的0.95的置信区间下限、上限分别为 e=843-2014108 =84.3-20141×1.54÷84.3-3.10≈812 √49
所以当 1 , 3 α = 2 3 β = 时上式取得最小值。 8． 0 ( ) 2 EX xp x dx θ θ = = ∫ ，令 ˆ 2 X θ = ， 则参数θ 的矩估计量为 又 ˆ 2 2 2 E EX θ θ = = ⋅ = θ ， 4 ˆ 4 0 ( DX D DX n n θ = = → → ∞) ， 所以 ˆθ 是θ 的相合估计。 9. 仿假设检验的分析，这里 2 σ =0.42 已知，构造一个含未知参数µ 的子样的函数 U n σ ξ − µ = ～ N(0,1) 由已知1−α =0.95，即水平α =0.05，根据 P { 1 2 | | U u α − < }=1−α = 0.95， 查 N(0,1)分布表得分位点 1.96 0.95 2 1 = = − u u α ，代入上式得 P {| | n 1.96 ξ µ σ − < }． 上式括号内作恒等变形，得 P { 1.96 1.96 n n σ σ ξ µ − < < ξ + }=0.95． 即µ 的置信度为 0.95 的置信区间为( n n σ ξ σ ξ −1.96 , +1.96 ) 将观察数据 x = 32.3及σ = 0.4,n=20 代入计算得 0.4 32.3 1.96 32.12 20 θ = − = ， 32.48 20 0.4 θ = 32.3 +1.96 = ． 于是µ 的一个 95%的置信区间为(32.12, 32.48)． 10.此处已知总体服从正态分布，且 2 σ 未知，由表7.1的估计µ 的公式，查t(50-1) 分布表得t0.975(49)=2.0141, 于是µ 的 0.95 的置信区间下限、上限分别为： 84.3 2.0141 1.54 84.3 3.10 81.2 49 10.78 θ = 84.3 − 2.0141 = − × = − ≈ 6
=843+2.014.078 84.3+3.10=8740 √49 所以的置信度为0.95的置信区间为(81.2,87.4),即当全市都进行这项教学 实验时,全市初中毕业会考成绩有95%的把握其最低平均成绩为81.2,比现在的 71.9高9.3分 11.用X表示甲机床生产的滚珠直径,Y表示乙机床生产的滚珠直径。由题设 n1=8,n2=9,X-Y=1505-149=0.15,S:2=00457, S2=0.0575,ta21(15)=21315,所以 S.=,(n-1S+(n-1S2=、(8-00057+(9-1:0075=028 n1+n2-2 8+9-2 故A-n2的置信上限:X-F+t(mn+n2-2)S+=038614 n, n, 置信下限:x-F-(mn+n2-2)n,+-=-00814 n, n2 -2的置信度为95%的置信区间为[008614,038614 (2)F9(87)=~1 1 =0.221,F0a5(8,7)=49 °o025(7,8)453 σ/a:的置信度为95%的置信区间为 [Fa(n2-1,n1-1)22F(n2-1,n1-1)2] 0.0457 0.0457 [0.221 ]=[0.1756,3894 0.0575 0.0575 12.(1)b=EX=Ee']= (2)a=005时,的1-a置信区间为-F+% y=:(n0.5+ln125+ln0.8+ln20)=0 所以的置信度为095的置信区间为(-196×1196×1=090981 (3)由∫(x)=e的单调递增性得 0.95=P(-0.985450.98)=P(-048≤4+≤148)=Pe4≤e2≤e4) 所以b的置信度为095的置信区间为[e048,e4]。 7
84.3 3.10 87.40 49 10.78 θ = 84.3 + 2.0141. = + = 所以µ 的置信度为 0.95 的置信区间为(81.2, 87.4)，即当全市都进行这项教学 实验时，全市初中毕业会考成绩有 95%的把握其最低平均成绩为 81.2，比现在的 71.9 高 9.3 分． 11. 用 X 表示甲机床生产的滚珠直径，Y 表示乙机床生产的滚珠直径。由题设 1 n = 8，n2 = 9， X Y− =15.05 −14.9 = 0.15，S1 *2 = 0.0457， *2 2 S = 0.0575，t0.025 (15) = 2.1315，所以 *2 *2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) (8 1) 0.0457 (9 1) 0.0575 0.228 2 8 9 2 w n S n S S n n − + − − ⋅ + − ⋅ = = + − + − = 故µ1 − µ2 的置信上限： 1 2 2 1 2 1 1 ( 2) 0.38614 X Y w t n n S n n − + α + − + = 置信下限： 1 2 2 1 2 1 1 ( 2) 0.08614 X Y w t n n S n n − − α + − + = − 1 2 的置信度为 95%的置信区间为[−0.08614,0.38614]。 （2） ， 0.025 F (8,7) = 4.9 µ − µ 0.975 0.025 1 1 (8,7) 0.221 (7,8) 4.53 F F = = = 2 1 / 2 σ σ 2 的置信度为 95%的置信区间为 2 *2 *2 1 1 2 1 *2 2 1 *2 1 2 2 2 [ ( 1, 1) ( 1, 1) ] 0.0457 0.0457 [0.221 4.9 ] [0.1756,3.8944] 0.0575 0.0575 S S F n n F n n S S α α − − − − − = × × = 12.（1） 2 ( ) 1 2 2 1 [ ] 2 y Y y b EX E e e e dy e µ µ π − +∞ − + −∞ = = = = ∫ （2）α = 0.05时， µ 的1−α 置信区间为 2 2 1 1 [ ] 4 4 y u y u − + α α 1 (ln 0.5 ln1.25 ln 0.8 ln 2.0) 0 4 y = + + + = 所以 µ 的置信度为 0.95 的置信区间为 1 1 [ 1.96 1.96 ] [ 0.98,0.98] 2 2 − × × = − （3）由 ( ) x f x = e 的单调递增性得 1 1 0.48 2 1.48 0.95 ( 0.98 0.98) ( 0.48 1.48) ( ) 2 P P P e e µ µ µ + − = − ≤ ≤ = − ≤ + ≤ = ≤ ≤ e 所以b 的置信度为 0.95 的置信区间为 [ , e−0.48 e 1.48 ]。 7