第三章随机变量的数字特征习题解答 解:X的概率密度函数为 Pr(x) dF(x) 0<x≤4 0其它 则X服从[04区间上的均匀分布,所以 0+4 E(X) 12 2.解(1)联合分布律为 2 3 ∑ 1/9 2/9 5/9 0 1/9 2/9 3/9 1/9 1/9 3/9 5/9 (2)E(X)=1×1/9+2×3/9+3×5/9=22/9 3.解:(1)因为∫4n(x+y)h=b则/s1 (2)E(X)=sin(x+y)dxdy=-x(cos(x+5)-cos x)dx==E(Y) D(X)=D(Y) (3)cov(x, y)=E(XY)-E(XE(r) xysin(x+ y)du 16 16 coV ≈0.245 D(X)+D(r) 4.解(1)E(Z)=E(X)+E(Y)
第三章 随机变量的数字特征习题解答 1．解： X 的概率密度函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0 其它 0 4 4 1 d d ( ) ( ) x x F x p x X 则 X 服从[0,4]区间上的均匀分布，所以 2 2 0 4 ( ) = + E X = 3 4 12 (4 0) ( ) 2 = − D X = 2．解 (1)联合分布律为 Y X 1 2 3 Σ 1 2 3 1/ 9 2 / 9 2 / 9 0 1/ 9 2 / 9 0 0 1/ 9 5/ 9 3/ 9 1/ 9 Σ 1/ 9 3/ 9 5/ 9 1 (2) E(X ) = 1×1/ 9 + 2 × 3 / 9 + 3× 5 / 9 = 22 / 9 . 3．解：(1) 2 2 0 0 1 sin( ) 1 2 A x y dxdy A π π +== 因为∫∫ ，则 (2) 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) sin( ) (cos( ) cos )) ( ) 2 2 2 4 E X x x y dxdy x x x dx E Y π π π π π = + = − + − = = ∫∫ ∫ 2 ( ) ( ) 2 16 2 D X D Y π π = = + − 2 2 2 2 0 0 (3) cov( , ) ( ) ( ) ( ) 1 = sin( ) 1 2 16 2 16 x y E XY E X E Y xy x y dxdy π π π π π = − + − = − ∫∫ − cov( , ) 0.245 ( ) ( ) XY X Y D X D Y ρ = ≈ + 3 1 ( ) 2 1 ( ) 3 1 4．解（1） E(Z) = E X + E Y =
D(Z)=D 3+;)=D(x)+D(Y)+2pm1b(,)D =x×9+×42+2×(-=)×2=3 X Y X (2)COV(X,Z=COV(X, +-=COV(X,)+COV(X, 32 px√D(X)D(Y)=3-3=0 5.解(1)F(y)= 0, 2}=0 P{X1=1,x2=0}=P{Y>1,y≤2}=P{11,>2}=P{Y>2}=e (2)X服从0-1分布 X 故E(Xk) E(X1+X2) 6.解(1)E(x)=□x1exp(x)d=xexp(-xtx=(2)=1 D(x)=E(x)-(1x2=1ex--1 x2exp(-xhx-1=I(3)-1=
) 2 ) ( 3 ( ) 2 ( 4 1 ( ) 9 1 ) 3 2 ( ) ( Y D X D X D Y D X Y D Z = D + = + + ρ XY ) 2 3 2 1 4 2 ( 4 1 9 9 1 2 = × + × + × − × = （2） ) 2 ) ( , 3 ) ( , 3 2 ( , ) ( , Y COV X X COV X X Y COV X Z = COV X + = + ( ) ( ) 3 3 0 2 1 3 3 1 2 × + ρ XY D X D Y = − = 5．解 (1) ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0, 0. 1 , 0, ( ) y e y F y y , 1 { 1 0, 2 0} { 1, 2} { 1} 1 − P X = X = = P Y ≤ Y ≤ = P Y ≤ = − e X2 X1 0 1 0 1 1 1 − − e −1 −2 e − e 0 −2 e { 0, 1} { 1, 2} 0 P X1 = X2 = = P Y ≤ Y > = { 1, 0} { 1, 2} {1 2} P X1 = X2 = = P Y > Y ≤ = P Y > = P Y > = e . (2) 服从 0-1 分布 Xk Xk 0 1 p k e− 1 − k e− 故 6．解 （1） k k E X e− ( ) = , 1 2 1 2 ( ) − − E X + X = e + e E X X X dx x x dx ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ = = − 0 exp( ) exp( ) 2 1 ( ) = Γ(2) = 1 exp( ) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = − = − − ∫ +∞ −∞ D X E X E X x x dx exp( ) 1 (3) 1 1 0 2 = − − = Γ − = ∫ ∞ x x dx
(2)E(X1x)= x exp(-x x exp(x )dx 2Jo x exp(-x)dr r(3)+I(3)=0 E(X)=5xexp(dr=0 cov(X, X=E( X)-E(X)E(X)=0-1x0=0 所以,X与X不相关 解:令Z=x-y,则Z~N(01) D(X-y)=D(Z)=E(Z2)-E( E(z2)=D(Z)+E2(Z)=1+0=1 E(12= √2z xp(一 所以D(X-y) 8. A: DXY= E(XY)-(EYY)2 EX EY-(EX)2(EY)2 IDX +(EX[DY +(EY-(EX(EY) DXDY DX(EY)+DY(EX+(EX(EY'-(EX(EY) DXDY +(EX) DY +DX(EY) 由于X~B(10,), E(X)=∑KCm(4)(-4=2 D(X)=E(x2)-E2(X)=∑k2C6()(1-)-(2.5)=1.875
（2） E(X X x x dx x exp( x)dx 2 1 exp( ) 2 1 0 2 0 2 = − + − ∫ ∫ +∞ −∞ x x dx x exp( ) 2 ) = − ∫ +∞ −∞ (3) 0 2 1 (3) 2 1 = − Γ + Γ = exp( ) 0 2 1 ( ) = − = ∫ +∞ −∞ E X x x dx cov(X, ) (X X ) − ( ) ( ) 0 1 0 0 X X = E E X E X = − × = 所以， X 关。 Z = X − Y ，则 Z ~ N(0,1) 与 不相 7．解：令 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D X −Y = D Z = E Z − E Z ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 2 E Z = D Z + E Z = + = dz z dz z z E Z Z ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ = − = − 0 2 2 ) 2 exp( 2 2 ) 2 exp( 2 1 ( ) π π π π 2 ) 2 exp( 2 2 0 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − z +∞ 所以 2 2 E(XY) (EXY) π π 2 ) 1 2 ( ) 1 ( 2 D X −Y = − = − 8．解： DX 2 2 2 2 = EX EY − (EX ) (EY) Y = − 2 = DXDY + DX (EY) + DY(EX ) + (EX ) (EY) − (EX ) (EY) DY + 9．解: 由于 2 2 2 2 = [DX + (EX ) ][DY + (EY) ] − (EX ) (EY) 2 2 2 2 2 2 2 = DX (EX ) DY + DX (EY) ) 4 1 X ~ B(10, ，则 10 10 10 0 10 2 2 2 10 2 10 0 1 1 ( ) ( ) (1 ) 2.5, 4 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (2.5) 1.875 4 4 k k k k k k k k E X kC D X E X E X k C − = − = = − = =−= − − = ∑ ∑
10.解:(1)pPx=「4={z Kxks1 其他 同理Py y2 0 其他 因为P,Py≠Pxy,所以二者不独立。 (2)cov(, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=xdx y=dy 因而,X与Y不相关 1.解:由于X~B(1000,0.5),EX=500,DX=250,因而 P{400<X<600}=P{X-EXk100)2139=0.975 100
10．解：（1） 2 2 2 1 1 2 1 1 | | 1 0 x X x x x p dy π π − − − ⎧ − ⎪ ≤ = = ⎨ ⎪ ⎩ ∫ 其他 同理 2 2 2 1 1 2 1 1 |y | 1 0 y Y y y p dy π π − − − ⎧ − ⎪ ≤ = = ⎨ ⎪ ⎩ ∫ 其他 因为 ，所以二者不独立。 X Y X p p ≠ p Y （2） 2 2 1 1 1 1 1 cov( , ) ( ) ( ) ( ) x x X Y E XY E X E Y xdx y dy π − − − − = − = ∫ ∫ − 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ] [ x y x y x dy dx y dx]dy π π − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ i =0 因而， X Y 与 不相关。 11．解： X B ∼ (1000,0.5), EX = 500, DX = 250, 2 250 {400 600} {| | 100} 1 0.975 100 P X < < = P X − EX < ≥ − ≈ 由于 因而