第五章数理统计的基本概念与抽样分布习题 1.设(X1,X2,…,Xn)是来自总体B(N,P)的样本,则样本(X1,X2…,Xn)的分布律 2.设(X1X2,…,Xn)是来自总体P(4)的样本,则样本(X1X2,…,Xn)的分布律 为 DX= 3.设(46,4,3,545.4,7)是来自总体X的一个样本值,则样本均值x= 样本方差 修正样本方差S0= 4.设(X1,X2…,Xn)是来自正态总体N(0,1)的样本,则统计量 Y=-∑Xn|+ ∑X|服从的分布是 5.设(X1,x2…,X6)是来自正态总体N(0,1)的样本,统计量 Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,则当常数 时,CY服从自由度为 的x2分布。 6.设1.5,2,2.5,3,3.5,1.5为来自正态总体X的样本,求样本均值,样本方差的观 察值。 7.设总体X服从泊松分布P(4),(X1,X2…,Xn)是总体X的一个样本。 (1)试求样本(X1,x2,…,Xn)的分布律; (2)试求EX,D,ESn,ESn2 8.设(X1X2…,Xn,xn1…,Xnm)是来自正态总体N(0.a2)的一个样本,求统计量 F 的概率分布。 9.设X1和2是来自正态总体N(A,a2)的容量为n的两个独立样本(X1,x12…,X1n) 和(x21,X2…,X2n)的样本均值,试确定n,使得这两个样本均值之差的绝对值超过σ的 概率大约为0.01。 10.设(X1,X2…,Xn)是来自正态总体N(A,a2)的样本,X和S2是样本均值和样本方
第五章 数理统计的基本概念与抽样分布习题 1. 设 是来自总体 的样本，则样本 的分布律 为 ( , , , ) X1 X 2 " Xn B(N, p) ( , , , ) X1 X 2 " Xn ； EX = ； DX = ； = 2 ESn ； = *2 ESn 。 2. 设 (X1 , X 2 ,", Xn ) 是 来自总体 P(λ) 的 样本，则样 本 的分布律 为 ( , , , ) X1 X2 " X n ； EX = ； DX = ； = 2 ESn ； = *2 ESn 。 3. 设（4,6,4,3,5,4,5,8,4,7）是来自总体 X 的一个样本值，则样本均值 x = ；样本方差 = 2 S10 ；修正样本方差 = *2 S10 。 4. 设 (X1 , X2 ,", X n ) 是来自正 态总体 N(0,1) 的样本 ，则统 计 量 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑= m i Xi m Y 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∑= + n i m Xi n m 服从的分布是 。 5. 设 是来自正 态总体 的样本 ，统计量 ，则当常数 ( , , , ) X1 X2 " X6 N(0,1) 2 4 5 6 2 1 2 3 Y = (X + X + X ) + (X + X + X ) C = 时，CY 服从自由度为 的 分布。 2 χ 6. 设 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 1.5 为来自正态总体 X 的样本，求样本均值，样本方差的观 察值。 7. 设总体 X 服从泊松分布 P(λ) ，(X1 , X 2 ,", X n ) 是总体 X 的一个样本。 （1）试求样本 (X1, X2 ,", Xn ) 的分布律； （2）试求 2 *2 , , , EX DX ESn ESn ； 8. 设 ( , , , , , , ) 是来自正态总体 的一个样本，求统计量 X1 X 2 " X n Xn+1 " X n+m (0, ) 2 N σ ∑ ∑ + = + = = n m i n i n i i n X m X F 1 2 1 2 的概率分布。 9. 设 X1 和 X2 是来自正态总体 的容量为 的两个独立样本 和 的样本均值，试确定 n，使得这两个样本均值之差的绝对值超过 ( , ) 2 N µ σ n ( , , , ) X11 X12 " X1n ( , , , ) X 21 X 22 " X 2n σ 的 概率大约为 0.01。 10. 设 (X1 , X 2 ,", X n ) 是来自正态总体 ( , ) 的样本， 2 N µ σ X 和 Sn 2 是样本均值和样本方 1
差,又设Xn1服从N(,2)分布,且与X1,X2…,X,独立,试求统计量 X-X T SVn1的概率分布 11(Xx1,X2,…,X10)是来自正态总体N(0,a2)的一个样本,记 X1+X2+X3+X 选择常数a,使Y服从t分布。 第五章数理统计的基本概念与抽样分布习题解答 nN-∑x 1.(x,x2,,x)的分布律为∏CP(1-p) DX=Np(I-P): ES2=n-INp(l-p): ES"=Np(l-p) 2样木Xx,x的分布律为x“,E=A,D=2 ES 元;ESn= 3.均值x=5;样本方差S0=22;修正样本方差S"=22 4x2(2) 5.C=1/3 6.样木,b分+,=1(1.5+2+2.5+3+35+1.5)=14/6 样本方差 ∑(x-x)2=[(15-7/3)2+(2.5-7/3)2+(2.5-7/3) 6 +(3-7/3)2+(3.5-7/3)2+(.5-7/3)2] 0r(x)-2=c"xx,x,=0,1…,i=1,2,…,n (2)EX=E SX,EX=A, DF DX_2
差，又设 Xn+1 服 从 ( , ) 分布，且与 独立，试求统计量 2 N µ σ X X X n , , , 1 2 " 1 1 1 + − − = + n n S X X T n n 的概率分布。 11. (X1 , X 2 ,", X10 ) 是来自正态总体 (0, )的一个样本，记 2 N σ Y= ( ) 2 10 2 6 2 5 1 2 3 4 X X X X X X X a + + + + + + " 选择常数a ，使 Y 服从 t 分布。 第五章 数理统计的基本概念与抽样分布习题解答 1. (X1, X2 , …, Xn）的分布律为 1 1 1 (1 ) n n xi i nN x i i i n x N i C p p ∑ ∑− = = = Π − ;ΕX = Np ; DX = Np(1 p) n − ; 2 n Ε = S 1 (1 ) n Np p n − − ; 2 n S∗ Ε = Np(1− p) . 2. 样本(X1, X2, …, Xn)的分布律为 1 1 [ / !] ; λ ; DX = n λ ; n i i x n n i i x e λ λ = − = ∑ ∏ ΕX = 2 n Ε = S n 1 n λ − ; 2 n S∗ Ε = λ . 3. 均值 x = 5；样本方差 S10 2 = 2.2；修正样本方差 2 10 S∗ = 22 9 4. 2 χ (2) 5. C= 1/3, 2 6. 样本均值： (1.5 2 2.5 3 3.5 1.5) 14 / 6 6 1 6 1 6 1 = ∑ = + + + + + = i = i x x 样本方差： (3 7 / 3) (3.5 7 / 3) (1.5 7 / 3) ] [(1.5 7 / 3) (2.5 7 / 3) (2.5 7 / 3) 6 1 ( ) 6 1 2 2 2 2 2 2 2 6 1 2 + − + − + − = ∑ − = − + − + − i= i s x x 7. (1) 1 1 1 ( ) / ! ! n i i i n n x x n n i i i i i i 1 P x e e x x λ λ λ λ − − = = = = ∑ ∏ ∏= = ∏ 0,1..., 1,2, , i ， x i = = " n . (2) 1 1 , n i i EX E X EX n λ = = = ∑ = DX DX n n λ = = 2
ES-EEX2-X=EX2-EX2=DX+(EX)-DX-(EX n-1 2+42-2-A E-S 9.由题意,X1~N(4,0),X2~N(山,),且他们相互独立 则x-x2~N(O.2)。由P{x-x1>}=001 P{-≤x-x2≤以}=001,则P(a≤X1-x2≤}=099 于是P{ X-X 0.99 于是:oJ 0.99,2d 22.57求得n=13.2 10.由题意X~N(4,),Xn~a=1, 所以Xn1-~N(0,a2+) x2(n-1) X-X. nS2 所以x6 a2(n-1) ~t(n-1), X,-X|n-1 即: t(n-1
2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 n n i i 2 ES E X X EX EX DX EX DX EX n n n n λ λ λ λ λ = ⎡ ⎤ = − = − = + − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = + − − = ∑ 2 2 1 1 1 n n n n n ES E S n n n λ λ ∗ − = = ⋅ − − = 8. F(n, m) 9. 由题意, X1 ～N 2 ( , ) n σ µ , X2 ～ 2 N( , ) n σ µ ,且他们相互独立 则 X1 2 − X ～ 2 2 N(0, ) n σ 。由 P X{ 1 2 − > X σ } = 0.01 得1 0 − − P X { σ ≤ 1 2 − X ≤ σ } = .01， 则 P X {− ≤ σ σ 1 2 − X ≤ } = 0.99 于是 1 2 222 { } 222 X X P nnn σ σ σσσ − − − ≤ ≤ = 0.99 ， 1 2 2 { } 2 2 2 n n X X P n σ − − ≤ ≤ = 0.99 于是： 0.99 2 2 ⎛ ⎞ n n ⎛ ⎞ Φ − ⎜ ⎟ Φ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 2 1 0.99 2 ⎛ ⎞ n Φ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 2.57 2 n = ,求得 n =13.2 10. 由题意 X ～ 2 N( , ) n σ µ , Xn+1～ 1 , 3 α = 所以 Xn+1 − X ～ 2 2 N(0, ) n σ σ + , 2 2 2 ( 1 n nS χ n σ ∼ − ) 所以 2 1 1 2 2 [ 1 ( 1) X X n nS n n n σ σ ] + − n − + − ～t (n-1), 即： 1 1 1 n n X X n S n + − − + ～t (n-1) 3
由于X1+X2+X3+X4~N0,4σ 则(x+x+X+x)M0),又+X+…+X 由T分布的定义 X3+X4) +x2+…:+x) 得到a= 4V2
11. 由于 ( ) 2 1 2 3 4 X + X + X + X ~ N 0,4σ 则 ( ) ~ (0,1 4 2 1 2 3 4 N X X X X σ + + + ) ,又 ( ) ~ (6) 2 2 2 10 2 6 2 5 χ σ X + X +"+ X ， 由 T 分布的定义 ( ) ( ) ~ (6) 4 6 2 2 10 2 6 2 5 2 1 2 3 4 t X X X X X X X σ σ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + " 得到 6 3 4 2 a = = . 4
