第一章随机事件及其概率习题及解答 习题 1.n个人随机地围一圆桌而坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率 2.从一付扑克牌(52张)中任意抽取两张,求下列各事件的概率 (1)恰好两张同一花色 (2)恰好两张都是红色牌 (3)其中恰好有一张A (4)其中至少有一张A 3.甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出 正面次数的概率 4.袋中装有1,2,…,N号的球各一只,采用(1)有放回;(2)无放回式摸球,试求在第k次 摸球时首次摸到1号球的概率。 5.有两个形状相同的罐,第一个中有球2白1黑,第二个中有球2白2黑,某人从任一罐 中任取1个球,已知取出的是白球,求是从第一个中取出的概率。 6.假设每个人的生日在任何月份内是等可能的。已知某单位中至少有一个人的生日在一月 份的概率不小于0.96,问该单位有多少人 7.某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,04,乘火车迟到的概 率为0.5,乘轮船迟到的概率为02,乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率是多少?如果他 迟到了,问他乘轮船的概率是多少? 8.10个零件中有3个次品,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求第三次才 取得合格品的概率。 9.某人投篮,命中率为0.8,现独立投五次,求最多命中两次的概率。 10.某班有N个学生,上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习,跳了10分钟后把 绳子放在一堆,进行别的练习,后来每人又随机拿了一根绳子进行练习,问至少有一个学生 拿到自己原先使用的绳子的概率 11.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为一,击伤的概率为,击不中的概率为一.并 设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率 2.甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,P≥1/2.问对甲而言,采用三局 二胜制有利,还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立 习题解答 1.解令A={甲、乙两人相邻而坐},设想圆桌周围有1,2…,n这n个位置,由于该问 题属于圆排列问题,所以不妨认为甲坐1号位置,那么A发生当且仅当乙坐2号或n号位 置,从而
第一章 随机事件及其概率习题及解答 习题 1．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 2．从一付扑克牌（52 张）中任意抽取两张，求下列各事件的概率 （1）恰好两张同一花色； （2）恰好两张都是红色牌； （3）其中恰好有一张 A； （4）其中至少有一张 A. 3．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷 n +1次，乙掷 次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出 正面次数的概率． n 4. 袋中装有 号的球各一只，采用（1）有放回；（2）无放回式摸球，试求在第k 次 摸球时首次摸到 1 号球的概率。 1,2,", N 5．有两个形状相同的罐，第一个中有球 2 白 1 黑，第二个中有球 2 白 2 黑，某人从任一罐 中任取 1 个球，已知取出的是白球，求是从第一个中取出的概率。 6．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的。已知某单位中至少有一个人的生日在一月 份的概率不小于 0.96，问该单位有多少人？ 7．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概 率为 0.5，乘轮船迟到的概率为 0.2，乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率是多少？如果他 迟到了，问他乘轮船的概率是多少？ 8．10 个零件中有 3 个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才 取得合格品的概率。 9．某人投篮，命中率为 0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。 10．某班有 个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了 10 分钟后把 绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生 拿到自己原先使用的绳子的概率． N 11．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1 3 ，击伤的概率为 1 2 ，击不中的概率为 1 6 ．并 设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率． 12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 ．问对甲而言，采用三局 二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立． p p, ≥1/ 2 习题解答 1．解 令 A = {甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1, 这 个位置，由于该问 题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐 1 号位置，那么 2,", n n A 发生当且仅当乙坐 2 号或 号位 置，从而 n
>2. 2.解(1)CCB=0235(2)C2=0245 CCs=0.145 C2=0.149 3.解令A={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数} B={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}, 由硬币的均匀性知,P(A)=P(B),容易看出,UB=S,AB=⑧,由此可知 P(A) 4.解:设A1={第次摸到号球 (1)P(AA2…A14)=P(A1)P(A2A1)…P(A-1|AA2…A2)P(A1A142… N-1N-1N-11 (2)P(A1A2…Ak-1Ak)=P(A1)P(A2|A1)…P(Ak-1|A1A2…Ak2)P(Ak|A1A2…A-1) N-1N-2N-(k-1 5.设A=“取到第i个罐中的球”,i=1,2,B=“取到白球”,则 P(A)=P(4)=1,P(B14)=2,P(B1A)=2=1 则全概率公式 P(B)=P(AP(B AP(A)P(BA,) 由 bayes公式有 P(AB) P(A)P(B|,)2 P(B 6.解:设该单位有n个人,A1=“第i个人生日在一月份”(=1,2,…n),则
1, 2, ( ) 2 , 2 1 n P A n n ⎧ = ⎪ = ⎨ > ⎪ ⎩ − . 2．解（1） 0.235 2 52 2 13 1 4 = C C C （2） 0.245 2 52 2 26 = C C （3） 0.145 2 52 1 48 1 4 = C C C （4）1 0.149 2 52 2 48 − = C C 3．解 令 A = {甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}， B = {甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}， 由硬币的均匀性知， P A( ) = P(B) ，容易看出， A B ∪ = S , AB = ∅ ，由此可知 1 ( ) 2 P A = ． 4．解：设 A {第i次摸到1号球} i = （1） ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1A2"Ak−1Ak = P A1 P A2 A1 "P Ak−1 A1A2 "Ak−2 P Ak A1A2 "Ak−1 N N N N N N N N N N k 1 1 1 1 1 1 1 ⎟ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = − − ⋅ − = − " （2） ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1A2 "Ak−1Ak = P A1 P A2 A1 "P Ak −1 A1A2 "Ak−2 P Ak A1A2 "Ak −1 N k N k N N k N N N N 1 ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1 1 2 = − − ⋅ − − − − − − ⋅ − = " 5．设 Ai =“取到第i 个罐中的球”，i = 1,2 ， B =“取到白球”，则 2 1 ( ) ( ) P A1 = P A2 = ， 3 2 ( | ) P B A1 = ， 2 1 4 2 ( | ) P B A2 = = 则全概率公式 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B = P A1 P B A1 P A2 P B A2 12 7 2 1 2 1 3 2 2 1 = × + × = 由 bayes 公式有 7 4 12 7 3 2 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 1 = × = = P B P A P B A P A B 6 ．解：设 该单位 有 n 个人， Ai = “ 第 i 个 人生日 在 一月份 ” (i = 1,2,", n) ， 则
P(A)=,(i=1,2,…,n)。由题设知 P(A1∪A2∪…UAn)=1-P(41A2…An) =1-P(A1)P(A2)…P(An) 1-(-)≥0.96 解此不等式,得 lg0.04 々,=3699735 所以,该单位至少有37人。 7.解:设某人乘火车、轮船、飞机的事件分别为A,B,C,D=“迟到乙地” 由全概率公式 P(D)=P(A)P(D A)+P(B)P(D B)+P(C)P(DIC) 2×0.5+04×0.2+04×0 0.18 由 bayes公式 P(B|DP(B)P(D|B)_0.4×0.24 P(D) 0.189 8.解;3.2.7=0038 1098 9.解:n=5,P=08,k≤2.∑P(B)=005792 10.解:令A1={第i个学生拿到自己原先使用的绳子}(i=1,2…,N), A={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子 P(A)=P(U4)=∑P(4)-∑P(A4)+ ∑P(4)-…+(-1)P(442…4) (N-1)N(N-1)(N 11.解令A={第n枚炸弹击沉潜水艇},Bn={第n枚炸弹击伤潜水艇},Cn={第n
12 1 P(Ai) = (i = 1,2,", n) 。由题设知 ( ) 1 ( ) P A1 ∪ A2 ∪"∪ An = − P A1 A2 "An 1 ( ) ( ) ( ) = − P A1 P A2 "P An ) 0.96 12 11 = 1− ( ≥ 解此不等式，得 36.993735 12 11 lg lg 0.04 n ≥ = 所以，该单位至少有 37 人。 7．解：设某人乘火车、轮船、飞机的事件分别为 A, B, C , D =“迟到乙地”。 由全概率公式 P(D) = P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C) = 0.2× 0.5 + 0.4× 0.2 + 0.4× 0 = 0.18 由 bayes 公式 9 4 0.18 0.4 0.2 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = × = = P D P B P D B P B D 8．解： 0.058 8 7 9 2 10 3 ⋅ ⋅ = 9．解： 5, 0.8, 2. ( ) 0.05792 2 0 = = ≤ ∑ = k = P Bk n p k 10．解 ： 令 Ai = {第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}（i N = 1, 2,", ）， A = {至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}， 则 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N N i i i i i i j N P A P A P A P A A = = ≤ < ≤ = = ∪ ∑ ∑ − j + ) 1 1 2 1 ( ) ( 1) ( N i j k N i j k N P A A A P A A A − ≤ < < ≤ ∑ − + " " − 1 2 1 1 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 2) N N C C N N CN CN N N N N N N − = − + − + − − − − " 1 N! 1 1 1 1 1 ( 1) 2! 3! ! N N − = − + −"+ − ． 11．解 令 An =｛第 n 枚炸弹击沉潜水艇｝，Bn =｛第n 枚炸弹击伤潜水艇｝，Cn =｛第n
枚炸弹击不中潜水艇},(n=1,2,3,4),A={潜水艇被击沉,则 A=CC2C3 C4 UC,BC3C4UCC2B BA 于是 P(A)=P(CC2C3C4)+P(BC2C3C4)+P(C1B2C3C4)+P(CC2B3C4)+P(C1C2C3B4) =(1/6)4+4×(1/2)×(1/6)=001, 所以P(A)=0.99 12.解采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙 甲”.而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为 P2=p2+2p2(1-p) 采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局,也可能赛4局或5局) 且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局.例如,共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲乙 甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.由独立性得在五局三胜制下甲 最终获胜的概率为 =p2+2|p(-p)+{2)lp(-p) 而 P2-p1=p2(6p3-15p2+12p-3)=3p2(p-1)(2p-1) 当P>1/2时P2>n1;当P=12时P2=P1=1/2.故当p>12时,对甲来说采用五 局三胜制为有利.当P=1/2时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的,都是50%
枚炸弹击不中潜水艇｝，（ n = 1, 2,3, 4 ）， A = ｛潜水艇被击沉｝，则 A = C1C234 C C ∪∪∪ B1C234 C C C1B234 C C C1C2B3C4 ∪C1C2 3 C B4 ， 于是 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 P(A) = + P C( C C C ) P(B C C C ) + P C( ) B C C + P( ) C C B C + P C( ) C C B 4 3 = + (1/ 6) 4×(1/ 2)×(1/ 6) = 0.01， 所以 P A( ) = 0.99 12．解 采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙 甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为 2 2 1 p p = + 2 ( p 1− p) ． 采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3 局（可能赛 3 局，也可能赛 4 局或 5 局）， 且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛 4 局，则甲的胜局情况是：“甲乙 甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容．由独立性得在五局三胜制下甲 最终获胜的概率为 3 3 3 2 3 4 (1 ) (1 ) 2 2 2 p p p p p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p 1 ， 而 ． 2 3 2 2 2 2 1 p p − = p (6 p −15 p +12 p − 3) =−− 3p ( p 1) (2 p 1) 当 p >1/ 2时 2 p > p ；当 p =1/ 2时 2 1 p p = =1/ 2 ．故当 时，对甲来说采用五 局三胜制为有利．当 时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是 50%． p >1/ 2 p =1/ 2