第二章随机变量及其分布习题 1.设连续型随机变量X的分布函数为 0,x0) l,x≥a, 求:(1)A和B;(2)概率密度∫(x) 2.设连续型随机变量X的密度函数为 0.x<0. f(x= 2x2ex2,x≥0 求:(1)Y=2X+3;(2)Y=X2的密度函数 3随机变量x与Y相互独立,且都服从正态分布N0.),求z=√x2+y2的概率密度 4.已知随机变量X服从(-1)区间上的均匀分布,求随机变量Y=2X2+1的概率密度函 数 5.设随机变量X的概率密度为 Pr(x) 0<x<∞ r(1+x2) 求随机变量F≈1 的分布密度函数。 X 6.袋中有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,令X表示取 出的球的最大号码,求X的分布律和分布函数 7、已知随机变量X1和X2的概率分布为 X, 1/41/21/4 而且P{X1X2=0}=1 (1)求X和X2的联合分布 (2)问X和X2是否独立?为什么? 8.某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分 布,密度函数为
第二章 随机变量及其分布习题 1．设连续型随机变量 X 的分布函数为 0, , ( ) arcsin , , ( 0). 1, , x a x F x A B a x a a a x a ⎧ ⎪ ⎪ ≥ ⎩ 求：（1） A 和 B ；（2）概率密度 f (x) ． 2．设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) X 2 3 0, 0, 2 , x x x e x − ⎧ < ⎪ = ⎨ ⎪⎩ ≥ 0. 求：（1）Y = 2X + 3；（2） 2 Y = X 的密度函数． 3．随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 ) 2 1 N(0, ，求 2 2 Z = X + Y 的概率密度。 4．已知随机变量 X 服从(−1,1) 区间上的均匀分布，求随机变量 2 1 2 Y = X + 的概率密度函 数。 5．设随机变量 X 的概率密度为 < < ∞ + = x x p x X , 0 (1 ) 2 ( ) 2 π 求随机变量 X Y 1 = 的分布密度函数。 6．袋中有 5 只同样大小的球，编号为 1，2，3，4，5，从中同时取出 3 只球，令 X 表示取 出的球的最大号码，求 X 的分布律和分布函数。 7、已知随机变量 和 的概率分布为 X1 X2 , , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1 0 1 X1 ~ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 1/ 2 1/ 2 0 1 X 2 ~ 而且 { 0} 1 P X1X2 = = . (1) 求 和 的联合分布. X1 X2 (2) 问 和 是否独立?为什么? X1 X2 8．某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分 布，密度函数为 1
f(x)=lexp_r >0 600 0 试求在仪器使用的最初200h内,至少有一个电子元件损坏的概率a 9.某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车,即在7:00,7:15,7:30,…有汽车发 出。如果乘客到达此汽车站的时间X是在7:00~7:30的均匀随机变量,试求乘客在 车站等候 (1)不超过5分钟的概率 (2)超过10分钟的概率 10.假设电路中装有三个同种电器元件,它们的工作状态相互独立,且无故障工作时间都服 从参数为A>0的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,求电路正常工作 时间T的概率分布 11.设(XY)的联合密度函数为p(x,y)= ≤x0<x<1 0 其它 (1)问X与Y是否独立?为什么? (2)求Z=X+Y的密度函数 12.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x, y) 0<x<1,0<y<2 其它 求P(X+Y<1) 第二章随机变量及其分布习题解答 1.解(1)X为连续型随机变量,故分布函数F(x)连续,于是 F(-a-0)=F(-a),F(a-0)=F(a). 即--B=0,A+B=1→A=-,B a<x<a (2)f(x)=F(x)={x√a2-x 0,其他 2.解(1)由}=2x+3有y=2x+3,x、y-3,2’所以 f1(y)=
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − > = 0 0 ) 0 600 exp( 600 1 ( ) x x x f x . 试求在仪器使用的最初 200h 内，至少有一个电子元件损坏的概率α 9．某公共汽车站从上午 7 时起每 15 分钟发一班车，即在 7：00，7：15，7:30,…有汽车发 出。如果乘客到达此汽车站的时间 X 是在 7：00~7：30 的均匀随机变量，试求乘客在 车站等候 （1）不超过 5 分钟的概率； （2）超过 10 分钟的概率 10．假设电路中装有三个同种电器元件，它们的工作状态相互独立，且无故障工作时间都服 从参数为λ > 0 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，求电路正常工作 时间T 的概率分布。 11．设(X,Y)的联合密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ < < = 0 其它 1 ,0 1 ( , ) y x x p x y （1） 问 X 与 Y 是否独立? 为什么? （2）求 Z=X+Y 的密度函数. 12．设二维随机变量 的密度函数为 (X ,Y ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + < < < < = 0 其它 0 1,0 2 ( , ) 3 2 x y xy x f x y 求 1．解 （1） P(X + Y < 1) 第二章 随机变量及其分布习题解答 X 为连续型随机变量，故分布函数 F(x) 连续，于是 F(−a − 0) = F(−a), F(a − 0) = F(a) ． 即 A + . (x) = F′(x) = 2 2 1 , , 0, a x a π a x ⎧ − < < ⎪ − 0, 2 − B = 1 1 1 , π 2 2 A B A B π π = ⇒ = = （2） f ⎨ ⎪ ⎩ 其他. 2．解 （1）由Y = 2X + 3有 2 1 , 2 3 2 3, ′ = − = + = x y y x x ，所以 f ( y) Y 3 2 ( ) 3 2 0, 3, 3 ( ) , 2 y y y e y − − ⎧ < ⎪ = ⎨ − ⎪ ≥ ⎩ 3. 2
(2)用分布函数法 0,y<0 F(y)=Psy=PXy=P(、 Apre dx, y≥0 0,y<0 0,y<0 f1(y)=F'(y)= 2ye-1 y≥01y2,y20 3.由题设知 fr(x)=exp(-x2), fr()=exp(-y2)(-00<x, y<oo) 由于X与Y相互独立,所以有 f(x,y)=fx(x)fr()=exp(-(x'+y2)(-00<x, y<oo) 显然,当2<0时, F2(=)=P(Z≤=)=0 当z≥0时, F2()=P(√x2+y2≤Z)=,「f(x,y)dd [-exp(-r2)rdr=2[ rexp =1-ex 所以 f2(二)=F2(-)= xp(-2)二≥0 4.解:由题意,X的概率密度为 fx(x)=12 1<x<1 0其它 Y的取值区间为(1,3),显然y≤1或y≥3时,f(y)=0 当1<y<3时 Fr()=P(Y sy)=P(2X+1sy)=P(rsy-I d
（2）用分布函数法 2 2 3 0 0, 0, ( ) { } { } { } 2 , y x y F y P Y y P X y P y X y x e dx y − ⎧ < ⎪ = ≤ = ≤ = − ≤ ≤ = ⎨ ⎪ ≥ ⎩∫ 0. f ( y) ∴ Y 3 2 0, 0, 0, 0, ( ) 1 2 , 0 , 0 2 y y y y F y y e y ye y y − − ⎧ < ⎪ ⎧ < = = ′ ⎨ ⎨ = ≥ ⎩ ≥ ⎪ ⎩ . 3．由题设知 exp( ) 1 ( ) 2 f x x X = − π ， exp( ) ( , ) 1 ( ) 2 fY y = −y −∞ < x y < ∞ π 由于 exp( ( )) ( , ) 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2 f x y = f x ⋅ fY y = − x + y −∞ < x y < ∞ X 与 相互独立，所以有 Y X z < 0 π 时， 时， 显然，当 F (z) = P(Z ≤ z) = 0 Z 当 z ≥ 0 F z P X Y Z f x y dxdy x y z Z ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 + ≤ = + ≤ = ∫ ∫ d r rdr r r dr z z ∫o ∫ ∫ = − = − 0 2 2 0 2 exp( ) 2 exp( ) 1 π θ π 所以 4．解：由题意， 1 exp( ) 2 = − −z ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = = 0 0 2 exp( ) 0 ( ) ( ) 2 ' z z z z f z F z Z Z X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < = 0 其它 1 1 2 1 ( ) x f x X Y 的取值区间为(1,3) ，显然 y ≤ 1或 y ≥ 3时， f ( y) = 0 Y 。 当 时， ) 2 1 ( ) ( ) (2 1 ) ( 2 2 − = ≤ = + ≤ = ≤ y F y P Y y P X y P X 1 < y < 3 Y dx y X y P y ∫ y − − − = − ≤ ≤ − = − 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 2 1 ( 3
f1(y)=F(y)= 所以,Y的概率密度函数为 21 15 7.解(1)由P{X1X2=0}=1,可知P{X1=-1,X2=1}=P{X1=1,X2=1}=0.从 而 P{-1,0}=P{X1=-1}=1/4 P{0,1}=P{X2=1}=1/2 P{10}=P{X1=1}=1/4
2 −1 = y 1 2 1 4 ( ) ( ) ' − = = y f y F y Y Y 所以，Y 的概率密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ( ) = ⎨ 4 y y Y ⎧ ≤ x < { 0} 1 P X1X2 = = { 1, 1} { 1, 1} 0 X1 2 1 2 { 1,0} { 1} 1/ 4 P − = P X1 = − = P = − X = = P X = X .从 而 , , P{ = , {0,1} { 1} 1/ 2 P = P X2 = = 1,0} { 1} 1 P X1 = = / 4 4
P{00}=1-1/4-1/2-1/4=0 于是X1和X2的联合分布为 XI 0 0 1/4 0 1/4 1/2 1/2 1/4 1/2 1/4 (2)根据联合分布和边缘分布验证P=PxP·取Po0=0,但PxP0=112 1/2=1/4,不满足要求,故X1与X2不独立 8.解:设A表示“在仪器使用最初20h内,第i个元件损坏”(=12,3),X1表示第i个 乇件使用寿命,则 P4)=Px32002=1-px P(A)=exp( 所以 a=P(A1+A2+A3)=1-P(A1A2A3) 1-(exp(--)3=1 9.(1)P(10D)=P(71>t,72>1,73>1) =P(71>D)P(72>D)P(73>1) [-P(T sOP=exp(-321),t>0 则T的分布函数为
{0,0} = − −1/ 2 − 1/ 4 = 0 于是 和 的联合分布为 0 1 P X2 X1 − 1 Σ 1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Σ 1/ 4 1/ 2 1/ 1 1/ 4 X1 X2 0 0 p 0 1 1 0 0 4 X1 X2 1 (2)根据联合分布和边缘分布验证 pij = pi⋅ × ⋅ j .取 p00 = 0 ,但 ⋅0 = / 2 × 1/ 2 = 1/ 4 Ai i (i = 1,2,3) ， 表示第 个 ≤ Xi i p ⋅ × p ,不满足要求,故 与 不独立. 8．解：设 表示“在仪器使用最初 200h 内，第 个元件损坏” 元件使用寿命，则 ) 3 1 ) exp( P(Ai) = P Xi 1 ( ) 1 ( ) α = P A1 + A2 + A3 = − P A1 A2 A3 { 200} ) 3 1 ) exp( 600 exp( 600 200 1 0 = − = − − ∫ dx x ( P Ai e 1 )) 1 3 1 1 (exp( 3 = − − = − = − 所以 P(0 0 ( ) ( , , ) 1 2 3 P T > t = P T > t T > t T > t ( ) ( ) ( ) 1 2 3 = P T > t P T > t P T > t 3 = − P T = − λt 1 ≤ t ， 则T 的分布函数为 5
1-exp(-310) t>0 F(D)=P(T≤1) t≤0 即T服从参数为3的指数分布 (1)P2(x)=1d=2x,0<x<1其它情形Px(x)=0 0≤y<1 Pr()=dy 1<y≤0 其它 2)P(x,=-x) 0<x<1且0≤z≤ 其它 P2()=P( (1)当2<0时,P2(=)=0 (2)当0≤二<2时,P( d=1- 当Z≥2时,P(=)=0 设区域D:0<x<1,0<y<2 +<1 则P(x+y<1)=(x f(x,y)txdy=‖(x dx =〔
⎩ ⎨ ⎧ ≤ − − > = ≤ = 0 0 1 exp( 3 ) 0 ( ) ( ) t t t F t P T t λ 即 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − < ≤ = − ≤ < = ∫ ∫ − 0 其它 1 , 1 0 1 , 0 1 ( ) 1 1 dy y y dy y y P y y y Y T 服从参数为3λ 的指数分布。 11．(1) ∫ ， − = ⋅ = x x X P (x) 1 dy 2x 0 < x < 1 其它情形 P (x) = 0 X (2) ， 1 ⎪ ⎪ z < 0 P (z) = 0. 时， Z ⎩ ⎨ ⎧ < < ≤ ≤ − = 其它 且 0 1 0 1 0 2 ( , ) x z x P x z x ∫ +∞ −∞ P z = P z z − x dx Z ( ) ( , ) （ ）当 1,0 2 （2）当 2 G x + y < 1 ∫ ≤ < = ⋅ = − 1 2 2 0 ( ) 1 1 z z z P z dx 时， Z （3）当 Z ≥ 2 P (z) = 0 时， Z 12．设区域 D ：0 < < < ∫∫ ∫∫ = = + G D G D dxdy xy f x y dxdy x I I ) 3 ( , ) ( 2 < x y ： 则 ∫∫ + < = G P(X Y 1) f (x, y)dxdy dy xy dx x x ∫ ∫ − = + 1 0 1 0 2 ) 3 ( dx x x x ∫ = − + + 1 0 3 2 ) 3 6 2 6 5 ( 72 7 = 6
