第四章中心极限定理习题 设{Xn}为独立随机变量序列, P{Xn=±2"} PIX=0 n 证明:{Xn}服从大数定律 2.在一家保险合同里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费。在一年中一个人死 亡的概率为0006,死亡时其家属可向公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率多大 (2)保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少? 3.试问对下列独立随机变量序列,李雅普洛夫定理是否成立?为什么? (1)PXA=√K=PX=√K}=,k=12, (2)P{Xk=-K}=P{Xk=K"}=P{X=0}=,a>0,k=1,2 4.根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布现随机地取16只,设它们 的寿命是相互独立的求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率 5.有一批建筑房屋用的木柱其中80%的长度不小于3米现从这批木柱中随机取出100根, 问其中至少有30根短于3米的概率是多少? 6.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3°的概率P=一,若 船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500~30500次纵摇角大于3°的概率是多少? 7.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是个随机变量,设一个学生无家长,1名 家长,2名家长来参加会议的概率分别为005,0.8,0.5。若学校共有400名学生,设 各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布。 求:(1)参加会议的家长数X超过450的概率。 (2)有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 8.某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现随机地抽取100只,设他们的寿 命相互独立,求这100只元件的平均寿命大于120h的概率 某学校有1000名住校生,每人以80%的概率去图书馆自习,问:图书馆应至少设多少 个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位? 第四章中心极限定理习题解答 1.证明:E(Xn)=2n,1 +0·(1
第四章 中心极限定理习题 1．设{Xn }为独立随机变量序列， , 1,2," 2 1 { 0} 1 2 1 { 2 } 2 1 2 = ± = = = − = + P X P X n n n n n n 证明：{Xn }服从大数定律。 2．在一家保险合同里有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费。在一年中一个人死 亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向公司领得 1000 元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？ 3．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？ （1） , 1,2," 2 1 P{X k = − K = P{X k = K} = k = （2） , 0, 1,2," 3 1 P{X = −K } = P{X = K } = P{X k = 0} = a > k = a k a k 4. 根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布,现随机地取 16 只,设它们 的寿命是相互独立的.求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率. 5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中 80%的长度不小于 3 米,现从这批木柱中随机取出 100 根, 问其中至少有 30 根短于 3 米的概率是多少? 6．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3°的概率 3 1 p = ，若 船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 29500~30500 次纵摇角大于 3°的概率是多少？ 7．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1 名 家长，2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05，0.8，0.15。若学校共有 400 名学生，设 各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。 求: （1）参加会议的家长数 X 超过 450 的概率。 （2）有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率。 8. 某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地抽取 100 只，设他们的寿 命相互独立，求这 100 只元件的平均寿命大于 120h 的概率。 9. 某学校有 1000 名住校生，每人以 80%的概率去图书馆自习，问：图书馆应至少设多少 个座位，才能以 99%的概率保证去上自习的同学都有座位？ 第四章 中心极限定理习题解答 1． 证明： ) 0 2 1 0 (1 2 1 ( 2 ) 2 1 ( ) 2 2 1 2 1 2 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = + n+ n n n n E Xn
D(Xn)=E(Xn-IE(Xn) +(-2")2·-+02·(1--2n) 令Yn=-∑Xk,(m=1,2,)则E(n)=0 n kEl DO)=D∑x)=1∑mCx) 0 6>0,0≤P{n-EVn|≥}≤ →0 由夹逼准则知,limP{n-EF|≥6=0,所以{Xn}服从大数定律。 2.解(1)根据题设条件,所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初,保险 公司总收入为10000×12=120000元) 设一年中死亡人数为X,则X~B(n,P),其中m=1000p=0.006.从而保险公司在这 年应付出1000X(元),要使保险公司亏本,则必须1000X>120000,即X>120(人) 因此由德莫佛一拉普拉斯定理, P保险公司亏本=Px>120=以X-、120-m 四(1-p)y叩p(1 p =Pr >7769}=1-4(77699)≈0 1p(1-p) (2)P(保险公司获利不少于40000元 =P{120000-1000X≥40000}=P{X≤80} np(1-p) np(1-P) dope -p) ≤259}=(2.59)=0.995 3.解(1)EXk=(-Vk)·+(√k)·=0 3+(√Vk)2.=k;B2=∑DXk=∑k=m(n+1) 2+ 2+61 ELX E EX
) 1 2 1 0 (1 2 1 ( 2 ) 2 1 (2 ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = = − + n+ n n n n D Xn E Xn E Xn 令 ∑ = = n k n Xk n Y 1 1 ，(n=1,2,…) 则 ( ) 0 E Yn = 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 n n n n k k k k D Y D X D X n n n n n →∞ = = = = ∑ ∑ = ⋅ = ⎯⎯⎯→ 0 1 0, 0 { } ∀ > ≤ − ≥ ≤ 2 = 2 ⎯⎯ →⎯ n n→∞ n n n DY P Y EY ε ε ε ε 由夹逼准则知， lim { − ≥ } = 0 →∞ ε n n n P Y EY ， 所以{Xn } 服从大数定律。 2．解 （1） 根据题设条件，所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初，保险 公司总收入为 10000×12 = 120000(元) 设一年中死亡人数为 X，则 X ~ B(n, p)，其中 n=10000, p=0.006. 从而保险公司在这 一年应付出 1000X（元），要使保险公司亏本，则必须 1000X >120000，即 X >120（人） 因此由德莫佛—拉普拉斯定理， P{保险公司亏本}=P{X >120} ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − > − − = (1 ) 120 (1 ) np p np np p X np P 7.769 1 (7.7699) 0 (1 ) X np P np p ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − = ⎨ ⎬ > = − Φ ⎪ ⎪ − ⎩ ⎭ ≈ (2) P{保险公司获利不少于 40000 元} = P{120000 − 1000X ≥ 40000} = P{X ≤ 80} ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ≤ − − = (1 ) 80 (1 ) np p np np p X np P 2.59 (2.59) 0.995 (1 ) = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − − = Φ np p X np P 3. 解 （1） 0 2 1 ( ) 2 1 EX k = (− k )⋅ + k ⋅ = DX k = − k ⋅ + k ⋅ = k 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 ； ( 1) 2 1 1 1 2 = ∑ = ∑ = + = = B DX k n n n k n k n k 2 2 2 1 2 2 1 2 1 δ δ δ δ + + + + E Xk = − k ⋅ + k ⋅ = k ∑ = + + − n k k k n E X EX B 1 2 2 1 δ δ = ∑ = + + n k k n E X B 1 2 2 1 δ δ
k B [n(1+n 取δ=2,则 EXL-EX 2+6 n(1+m)2 (n+1)(2n+1) n>>0 即李雅普诺夫定理的条件成立,故对于{Xk}李雅普诺夫定理成 DXk=EX2=(-k)2·+(ka)2 2,2a ∑DX 2+6 2+61 +612 a(2+5) 2 ElX,-EX ∑EX 3k=1 因为lim lim(a+1) 呈1.(=(x+1x=1 n→ana+1m→o a+1 +B:2x,m2a2+6)+1 所以lim 2a+1 2a+ lim -2,(2a+1) a(2+δ)+1 4=0:故对于所给的{x李雅普诺夫定理成 4.解以x(k=12.16)表示第k只电器的使用寿命则E(x)=100D(x)=100x=x 即x表示这16只电器的使用寿命之和据独立同分布的中心极限定理有 >1920=￥-16×1001920-16×10011-(08)=1-0.7881=0219 5.解:以表示100根木柱中长度小于3米的根树,则X是一个随机变量,由题
1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 [ (1 )] n n n k k k k B n n δ δ δ δ δ + + + + + = = = = + ∑ ∑ 取δ = 2 ，则 ∑ = + + − n k k k n E X EX B 1 2 2 1 δ δ ∑ + = = n k k n n 1 2 2 [ (1 )] 4 ( 1)(2 1) 0 [ (1 )] 6 4 2 ⋅ + + ⎯⎯ →⎯ + = n→∞ n n n n n 即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于{Xk }李雅普诺夫定理成立。 （2） 0 3 1 ( ) 3 1 = (− )⋅ + ⋅ = α α EX k k k 2 α 2 α 2 2α 3 2 3 1 ( ) 3 1 DX k = EX k = (−k ) ⋅ + k ⋅ = k ∑ ∑ = = = = n k n k n k B DX k 1 2 1 2 3 2 α , (2 ) 2 2 2 3 2 3 1 3 1 α δ δ α δ δ α + + + + E Xk = − k ⋅ + k ⋅ = k ∑ = + + − n k k k n E X EX B 1 2 2 1 δ δ = ∑ = + + n k k n E X B 1 2 2 1 δ δ 2 1 1 2 1 (2 ) ] 3 2 [ ) 3 2 ( δ α α δ + = = + ∑ ∑ = n k n k k k 因为 x dx n k n n k n n k n k n ∑ ∫ ∑ = + ⋅ = + + →∞ = + = →∞ 1 0 1 1 1 ( ) ( 1) 1 lim ( 1) 1 lim α α α α α α α = 1 所以 ∑ = + →∞ + − n k k k n n E X EX B 1 2 2 1 lim δ δ 2 1 2 1 (2 ) 1 2 ) 2 1 ( (2 ) 1 ) 3 2 lim ( δ α α δ δ α α δ + + + + − →∞ + + + = n n n 0 1 (2 ) 1 (2 1) ) 3 2 lim ( 2 2 1 2 ⋅ = + + + = ⋅ + − →∞ δ δ δ α δ α n n ；故对于所给的{Xk }李雅普诺夫定理成立。 4. 解:以 Xk (k = 1,2,...,16) 表示第 k 只电器的使用寿命,则 ( ) = 100, ( ) = 10000, E Xk D Xk 记 , 即 ∑ = = 16 k 1 X Xk X 表示这 16 只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限定理有: } 1 (0.8) 1 0.7881 0.2119 16 10000 1920 16 100 16 10000 16 100 { 1920} { ≈ − Φ = − = × − × × − × ; = ; X P X P 5. 解:以 X 表示 100 根木柱中长度小于 3 米的根树,则 X 是一个随机变量,由题
意:x~b(100,1/3),据棣莫弗-拉普拉斯定理: X-100 30-100 P{X≥30}=P ≈1-(2.5)=010062 6.解将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验,并假定:各次试验是独立的。 记随机变量X={在90000次波浪冲击中,纵摇角大于3°的次数} 1 则x-8900gy.0n=90p=3由德莫佛一拉普拉斯定理,得 P(29500≤X≤30500=P129500 X-吗≤ 30500 ≤ 1-p)√mp(-p)√m1-p) φ( m-)-29500-即 √mp(1-p √2 5√2 5√2 =如()-(--)=20( 2 )-1≈0.9995 7.解(1)记Xk=对于第k个学生,来参加家长会的家长人数}(k=1,2,…,400) 则Xk分布律为 Xxi 2 0.80.15 易知E(Xk)=1,D(Xk)=0.19(k=1,2 且随机变量序列{X}(k=1,2,…,400独立同分布,故由林德贝格-列维中心极限定知 X=∑Xk的标准化随机变量 X-E(X)_k=1 ∑Xk-400×1.1 D(X) 400·√0.19 近似地服从标准正态分布N10),于是 P{X>450}=1-P{X≤450}=1-P 400 19 00·√0.19 X-400×1.1 1-P l.147}≈1-(.147)≈0.1357 400·√0.19 (2)记Y={有1名家长来参加会议的学生数},则Y~B(400,0.8) 由德莫佛-拉普拉斯定理,得 P{Y≤340}=P F-400×0.8340-400×0.8 400×0.8×0.2√400×08×0.2 =P1y=400X08 ≤2.5}≈d(25)=0.9938 400×08×0.2
意: X ~ b(100,1/ 3) ,据棣莫弗-拉普拉斯定理: 1 (2.5) 0. 0062 5 4 5 1 100 5 1 30 100 5 4 5 1 100 5 1 100 { 30} { l X P X P ≈ − Φ = × × − × × × − × ≥ = ; 6．解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定：各次试验是独立的。 记随机变量 X = {在 90000 次波浪冲击中，纵摇角大于 3°的次数} 则 ) 3 1 X ~ B(90000, , 3 1 n = 9000, p = . 由德莫佛–拉普拉斯定理，得 P{29500 ≤X ≤30500} } (1 ) 30500 (1 ) (1 ) 29500 { np p np np p X np np p np P − − ≤ − − ≤ − − = ) (1 ) 29500 ) ( (1 ) 30500 ( np p np np p np − − − − − ≈Φ Φ ) 1 0.9995 2 5 2 ) 2 ( 2 5 2 ) ( 2 5 2 =Φ( −Φ − = Φ − ≈ 7. 解 (1) 记 X = { k } (k = 1,2,",400) k 对于第 个学生，来参加家长会 的家长人数 则 Xk 分布律为 Xk 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知 E(X ) = 1.1, D(X ) = 0.19 (k = 1,2,",400) k k ， 且随机变量序列{Xk } (k =1,2,",400)独立同分布，故由林德贝格-列维中心极限定知 ∑ = = 400 k 1 X Xk 的标准化随机变量 400 0.19 400 1.1 ( ) ( ) 400 1 ⋅ − × = − ∑ k= Xk D X X E X 近似地服从标准正态分布 N(1,0), 于是 } 400 0.19 450 400 1.1 400 0.19 400 1.1 { 450} 1 { 450} 1 { ⋅ − × ≤ ⋅ − × > = − ≤ = − X P X P X P 1.147} 1 (1.147) 0.1357 400 0.19 400 1.1 1 { ≤ ≈ − ≈ ⋅ − × = − Φ X P (2) 记 Y = {有 1 名家长来参加会议的学生数}，则 Y ~ B(400, 0.8) . 由德莫佛–拉普拉斯定理，得 } 400 0.8 0.2 340 400 0.8 400 0.8 0.2 400 0.8 { 340} { × × − × ≤ × × − × ≤ = Y P Y P 2.5} (2.5) 0.9938. 400 0.8 0.2 400 0.8 { ≤ ≈ Φ = × × − × = Y P
8.解:设X1=第只元件的寿命}(=12,…100 则X=∑X(n=100) 所以Px>120}=P 1∑x-nm,10n 120-、n=02275 9.解:设X={同时去图书馆上自习的人数},并设图书馆至少应设n个座位,才能以99%的 概率保证去上自习的同学都有座位,即n满足 P{0<X≤m}≥0.99 因为X-B(10000.8) 所以,由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理,得 P{0<X≤m}=P 0-1000×0.8X-1000×08≤-1-1000×08 1000×0.8×0.2√1000×08×0.2√1000×0.8×02 n-800 1265 Φ(-6324) 800 1265~0≥099 查表得Φ2.33)=0.9,从而 n-800 1265 n≥8295 因此,图书馆至少应设830个座位
8. 解：设 Xi = {第i只元件的寿命} (i = 1,2,",100) 则 ∑= = 100 1 1 i Xi n X (n = 100) 所以 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > − > = ∑= n n X n P X P n i i σ µ σ ϖ 120 { 120} 1 0.02275 120 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − Φ n σ µ 9. 解：设 X={同时去图书馆上自习的人数}，并设图书馆至少应设 n 个座位，才能以 99%的 概率保证去上自习的同学都有座位，即 n 满足 P{0 < X ≤ n} ≥ 0.99 因为 X~B(1000,0.8) 所以，由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理，得 } 1000 0.8 0.2 1000 0.8 1000 0.8 0.2 1000 0.8 1000 0.8 0.2 0 1000 0.8 {0 } { × × − × ≤ × × − × ≤ × × − × < ≤ = X n P X n P ( ) 63.24 12.65 800 ⎟ − Φ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ Φ n 0 0.99 12.65 800 ⎟ − ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ Φ n 查表得Φ( ) 2.33 = 0.99，从而 2.33 12.65 800 ≥ n − n ≥ 829.5 因此，图书馆至少应设 830 个座位