§32随机变量的方差和矩 方差 定义3.3:X的方差定义为: D(X)=ELX-E(XI 称√D(X为X的标准差(均方差) 计算公式:D(X)=E(X2)-[E(X)2 EX=DX +(Ex)2 证明 D(X)=ELX-E()]=ELX2-2YE(X)+(E(X)2I =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X E(x2)-[E(X) 例312:设X~B(n,p),D(X)=np(1-p) 例3.13:设X~P(4),D(X)= 解:E(X)=∑k E(X2)=∑k2 (k-1) 2+>-he-d=2+2 D(X)=E(X2)-[E(X)2=2+-2=2 例314:设XPx=k}=qp,k=12…D(x)= 例3.15:设X~N(u,a2)
§3.2 随机变量的方差和矩 一． 方差 定义 3.3：X 的方差定义为： 2 D(X ) = E[X − E(X )] 且称 D(X ) 为 X 的标准差（均方差） 计算公式： 2 2 D(X ) = E(X ) −[E(X )] 2 （ ）2 EX = DX + EX 证明： 2 D(X ) = E[X − E(X )] = [ 2 ( ) ( ) ] 2 （ ）2 E X − XE X + E X = 2 2 E(X ) − 2E(X )E(X ) + [E(X )] = 2 2 E(X ) −[E(X )] 例 3.12： 设 X～B(n, p) , D(X ) = np(1− p) 例 3.13： 设 X～P(λ) , D(X ) = λ 解： λ λ λ = ⋅ = − ∞ = ∑ e k E X k k k 0 ! ( ) λ λ λ λ λ − ∞ = − − ∞ = ⋅ − = ∑ ⋅ = ∑ ⋅ e k e k k E X k k k k k 1 1 0 2 2 ! ( 1)! ( ) λ λ λ − ∞ = = = − ∑ + e i i i i i k 0 1 ! ( 1) = λ λ λ λ λ λ − ∞ = − ∞ = ∑ ⋅ +∑ ⋅ e i e i i i i i i 0 0 ! ! = λ + λ 2 = − = λ + λ − λ = λ 2 2 2 2 D(X ) E(X ) [E(X )] 例 3.14：设 2 1 { } , 1,2, ( ) p q X P X k q p k D X k = = = = ～ − " 例 3.15：设 2 2 X～N(µ,σ ) , D(X ) = σ 解： E(X ) = µ
D(X)=E(X-H)'=[(x-u)'p(x)dx (x-)2 (o)2 Ocdr x-A dx=odt e 2 du X-N(u,0=N(EX, DX) 例3.16:设X~Exp(2),D(X)= 例317:设X~U[a,b]D(X)= 12 方差的性质 (1)D(C)=0,C为常数。 D(C)=EC-E(C)=0 (2)D(kX)=k2D(x),k为常数 (3)设X1,X2,…,Xn独立,则 DO ∑aX)=∑aD(X) 特别,若XY独立,则 D(X +Y=D(X)+ D(r), DX-1)=D(X)+ D() (4)D(X)=0分P{X=E(X)}=1 DX)=E[X-(Ex)]=0 (5)D(X)≤E(X-C)2 证明:D(X)=EX-(EX)=E[(X-C)-(EX-C E(X-C)2-2(EX-C)2+(EX-C)
D(X ) E(X ) (x ) p(x)dx 2 2 = − µ = − µ ∫ +∞ −∞ = x e dx x 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) σ µ πσ µ − − +∞ −∞ ∫ − = t e dt t σ πσ σ 2 2 2 2 1 ( ) − +∞ −∞ ∫ dx dt x t σ σ µ = − = , = 2 2 2 2 2 2 σ π σ = − +∞ −∞ ∫ t e dt t ( , ) ( , ). 2 X～N µ σ = N EX DX 例 3.16：设 2 1 ( ) , ( ) λ X～Exp λ D X = 例 3.17：设 12 ( ) [ , ] ( ) 2 b a X U a b D X − ～ = 二． 方差的性质 (1) D(C) = 0 ,C 为常数。 ( ) [ ( )] 0 2 D C = E C − E C = (2 ) ( ) ( ) , k 为常数 2 D kX = k D X （3）设 X1, X2 ,", Xn 独立，则 ( ) ( ) 1 2 1 i n i i i n i D ∑aiX ∑a D X = = = 特别，若 X,Y 独立，则 D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ), D(X − Y ) = D(X ) + D(Y ) （4） D(X ) = 0 ⇔ P{X = E(X )} = 1 ( ) [ ( )] 0 2 D X = E X − EX = （5） 2 D(X ) ≤ E(X − C) 证明： = 2 D(X ) = E[X − (EX )] 2 E [(X − C) − (EX − C)] = 2 2 2 E(X − C) − 2(EX − C) + (EX − C)
E(X-C)-(EX-C)0 或者 P(X-E(XKE>1 D(X) 证明:设X~p(x) 考察:x-E(X)P p(x),1<|x-E(X)P p(x) RIX-E(X2E plx)dx (x-E(X)2 E(XP(x)dx D(X) 证毕 令E=4√D(X),则有 D(X)15 PX-E(x)k4√D(x)21-16D(x)1609375 例3.18:设X~B(10000.5),估计:P{400<X<600} 50.5 k! 由X~B(1000,0.5) D(X)=mp(1-p)=250 P{400<X<600}=P{-100<X-E(X)<100} =PX-E(X)k100≥1D(X)=11000.975 100 矩 定义34:X的k阶原点矩定义为:
= 2 2 E(X − C) − (EX − C) 2 ≤ E(X − C) (6) 切比谢夫不等式： , 0 ( ) {| ( ) | } 2 − ≥ ≤ ∀ε > ε ε D X P X E X 或者 2 ( ) {| ( ) | } 1 ε ε D X P X − E X 0 ( ) | ( ) | ( ) 1 2 2 2 p x x E X p x ε − ⋅ ≤ P X E X p x dx x E X {| ( ) | } ( ) | ( )| ∫ − ≥ − ≥ = ε ε ≤ p x dx x E X x E X ( ) ( ( )) 2 2 | ( )| ε ε − ∫ − ≥ (x E(X )) p(x) dx 1 2 2 ≤ − ∫ +∞ −∞ ε = 2 ( ) ε D X 证毕。 令ε = 4 D(X ) ，则有 P{| X − E(X ) |< 4 D(X )} 0.9375 16 15 16 ( ) ( ) ≥ 1− = = D X D X 例 3.18：设 X～B(1000,0.5) ，估计： P{400 < X < 600} 解： P{400< X < 600}= = k k k k C − = ∑ 1000 599 401 10000.5 0.5 500 599 401 ! 500 − = ∑ e k k k 由 X～B(1000,0.5) E(X ) = np = 500 D(X ) = np(1− p) = 250 P{400 < X < 600} = P{−100 < X − E(X ) < 100 } = 0.975 100 250 1 100 ( ) {| ( ) | 100 1 2 2 − < ≥ − = − = D X P X E X 三． 矩 定义 3.4 ：X 的 k 阶原点矩定义为：
ak=E(X ), k X的k阶中心矩定义为 H4=E(X-EX),k=1,2…,n 显然:a1=E(X),2=D(X 原点矩与中心矩的关系 证明:从4=E(X-(EX)=E∑CX(-Ex) =∑C(-a1) 例319:设X~N(,a2),求=E(X-EX),k=1,2…,n 解:k=E(X-EX)=E(X-p) 「(my1 √2 Cra ou=(k-1 σ4(k-1)(k-3)…31,k为偶数 k为奇数 所以山4=30 Ⅹ的高阶矩用来刻画ⅹ分布的对称性和峰峭性。 定义36:称g1=(=√DX)为X的偏度(系数)。 μ4_3为X的峰度(系数)。 81描述ⅹ的分布的对称性,g2描述X的分布的峰峭性 (陡峭程度)。 以X~N(,a2)作为标准研究其他分布的对称性和峰峭性
E X k n k k α = ( ) , = 1,2,", X 的 k 阶中心矩定义为： E X EX k n k k µ = ( − ) , = 1,2,", 显然： ( ) , ( ). α1 = E X µ2 = D X 原点矩与中心矩的关系： ∑ = = − k i i k i i k Ck 0 α µ α1 i k i k i i µk Ck α α− = = ∑ (− )1 0 证明： ( ( )) [ ( ) ] 0 k i k i i i k k k E X EX E C X EX − = µ = − = ∑ − = i k i k i i Ck α α− = ∑ (− )1 0 例 3.19：设 ( , ) , 求 2 X～N µ σ E(X EX ) , k 1,2, ,n. k µk = − = " 解： k k µk = E(X − EX ) = E(X − µ) = x e dx x k 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) σ µ πσ µ − − +∞ −∞ − ∫ （ dx du x u σ σ µ = − = , ） = u e du u k σ πσ σ 2 2 2 1 ( ) − +∞ −∞ ∫ = k u e du u k k 2 2 2 2 1 ( 1) − − +∞ −∞ ∫ − π σ = ⎩ ⎨ ⎧ − − ⋅ ， 为奇数 为偶数 k k k k k 0 σ ( 1)( 3)"3 1, 所以 4 µ4 = 3σ X 的高阶矩用来刻画 X 分布的对称性和峰峭性。 定义 3.6：称 ( ) 3 3 g1 = σ = DX σ µ 为 X 的偏度（系数）。 3 4 4 2 = − σ µ g 为 X 的峰度（系数）。 1 g 描述 X 的分布的对称性， g2 描述 X 的分布的峰峭性 (陡峭程度)。 以 ( , ) 作为标准,研究其他分布的对称性和峰峭性： 2 X～N µ σ
对正态分布:42=0,故g1=0 故当g1=0时,X的分布是对称的(关于EX) g1>0时,X的分布有正偏度,即偏向E(X)右侧 g10,X的峰峭度高于正态分布 82<0,ⅹ的峰峭度低于正态分布
对正态分布： µ3 = 0 ，故 g1=0。 故当 g1=0 时，X 的分布是对称的（关于 EX） 1 g > 0 时，X 的分布有正偏度，即偏向 E(X)右侧。 1 g 0 ，X 的峰峭度高于正态分布 0 g2 < ，X 的峰峭度低于正态分布