西北工业大学：《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布 主要内容 (一)、一维随机变量及其分布 1.随机变量的分布函数 2.分布函数的性质 3.离散型随机变量及其分布函数 4.常见离散型随机变量及其分布律 (1)两点分布 (2).二项分布 (3)泊松分布 (4).几何分布 连续型随机变量及其分布函数 6.常见连续型随机变量及其分布密度 (1)均匀分布 (2).正态分布;(3).指数分布 (二)、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义 2.二维随机变量的分布函数 3.二维离散型随机变量及其分布律 4.二维连续型随机变量的分布密度 5.边缘分布 6.随机变量的独立性 7.随机变量简单函数的分布 1).一维随机变量函数的分布 2).二维随机变量函数的分布 (三)、应记忆的公式 (1)分布函数的表达式:F(x)=P(X≤x) (2)计算公式 离散型F(x)=∑P(X=x) 连续型 (x)=「p(x)dr

第二章 随机变量及其分布 一、主要内容 （一）、一维随机变量及其分布 1. 随机变量的分布函数 2. 分布函数的性质 3. 离散型随机变量及其分布函数 4. 常见离散型随机变量及其分布律 (1).两点分布 (2). 二项分布 (3). 泊松分布 (4). 几何分布 5. 连续型随机变量及其分布函数 6. 常见连续型随机变量及其分布密度 (1). 均匀分布; (2). 正态分布 ; (3). 指数分布 （二）、二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的定义 2. 二维随机变量的分布函数 3. 二维离散型随机变量及其分布律 4. 二维连续型随机变量的分布密度 5. 边缘分布 6. 随机变量的独立性 7. 随机变量简单函数的分布 1). 一维随机变量函数的分布 2). 二维随机变量函数的分布 （三）、应记忆的公式 (1) 分布函数的表达式： F(x) = P(X ≤ x) (2)计算公式: 离散型 ( ) ( )i x x F x P X x i = ∑ = ≤ 连续型 F(x) p(x)dx ∫ +∞ −∞ = 1

(3)若XN(2a2),则yX-P~N(0.) (4)常见7种随机变量的分布律或分布密度 (5)正态分布概率的计算公式 若X~N(,a2)则 二、典型例题 1、设随机变量X的分布函数为 0,x1 求:(1)A的值 (2)X落在(-1)及(,2)内的概率; (3)X的概率密度函数。 解](1)由分布函数的右连续性,在x=1点处有 1)=A=F(1+0)=1,即A= (2)由分布函数的性质知, P(X∈(-1,一)=F( (-1) 8 P(X )=F(2)-F()=1 (3)X的概率密度函数为 (x)=“F(x).x1 2、设X~N(2,2),且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0) [解]因为0.3=P(2<X<4)=Φ d(0) 所以d2|=03+05=08

(3) 若 X~ N(µ,σ2 )， 则 σ − µ = X Y ～N(0,1) (4) 常见 7 种随机变量的分布律或分布密度 (5) 正态分布概率的计算公式 若 X~ N(µ,σ2 ) 则 ( ) ( ) ( ) σ µ σ µ − − Φ − ≤ ≤ ≤ = = 2 ,0 1. ( ) 0, 0 1; ( ) x x x x dx dF x p x 或 2、设 ~ (2, )，且 2 X N σ P(2 < X < 4) = 0.3，求 P(X < 0) [解] 因为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − Φ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = < < = Φ σ σ 4 2 2 2 0.3 P(2 X 4) (0) 2 ⎟ − Φ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Φ σ 所以 0.3 0.5 0.8 2 ⎟ = + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ σ 2

于是P(Xs0=-0-5508413 P(AB2)=P(X2>50)=1- 50-45 =0.1587 由全概率公式得 P(A)=P(B1)(AB)+(B2)P(AB,) =二×0.8413+-×0.1587=0.6138 (2)从中任取2个,每个蛋重大于50克的概率p=0.6138,小于50克的概率 q=1-p=1-06138 设任取2个,有y个大于50克,则y~B(2,p) 于是所求概率为 P(Y=0)=C3pq2=(1-06138)2=0.1492 4、甲、乙、丙3人进行独立射击,每人的命中率依次为0.3,0.4,0.6,设每人射击一次,试 求3人命中总数的概率分布。 【解】用X表示3人命中总数,则X的取值为0,1,2,3. 用A表示“甲命中”,B表示“乙命中”,C表示“命中”.则 P(X=0)=P(ABC)=0.7×0.6×0.4-0.168 P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.3×0.6×0.4+0.7×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6=0.436, P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

于是 0.2 2 1 2 0 2 2 ( 0) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − Φ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = Φ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − Φ 0.1587 5 50 45 ( ) ( 2 50) 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − P A B = P X > = − Φ 由全概率公式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 P A = P B1 P A B + P B P A B 0.1587 0.6138 3 1 0.8413 3 2 = × + × = （2）从中任取 2 个，每个蛋重大于 50 克的概率 p = 0.6138 ，小于 50 克的概率 q =1− p =1− 0.6138 设任取 2 个，有Y 个大于 50 克，则Y ~ B(2, p) 于是所求概率为 ( 0) (1 0.6138) 0.1492 0 0 2 2 P Y = = C2 p q = − = 4、甲、乙、丙 3 人进行独立射击, 每人的命中率依次为 0.3, 0.4, 0.6, 设每人射击一次, 试 求 3 人命中总数的概率分布。 【解】用 X 表示 3 人命中总数, 则 X 的取值为 0, 1, 2, 3. 用 A 表示 “甲命中”, B 表示 “乙命中”, C 表示 “命中”. 则 P(X=0)=P(⎯A⎯B⎯C)=0.7×0.6×0.4=0.168, P(X=1)=P(A⎯B⎯C)+P(⎯AB⎯C)+P(⎯A⎯BC) =0.3×0.6×0.4+0.7×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6=0.436, P(X=2)=P(AB⎯C)+P(A⎯BC)+P(⎯ABC) 3

0.3×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6+0.7×0.4×0.6=0.324 P(X=3)=P(ABC)=0.3×0.4×0.6=0.072 0.16804360.3240072 5、设对某批产品的验收敛方案为:从该批产品中随机地抽查5件产品,若次品数小于等于 则该批产品通过验收敛,否则不予通过,若某批产品的次品率为0.05,试求该批产品通过 验收敛的概率. 【解】用X表示5件产品中的次品数,则X~B(5,0.05).于该批产品通过验收敛的概率为 P(≤1)=P(X=0)+P(X=1) 00090909y =0.9774. 6、某份试卷有10道选择题,每题共有A,B,C,D四个答案供选择,其中只有一个答案是正 确的.设某人对每道题均随机地选择答案,试求该生10道题中恰好答对6道题的概率是多 【解】用X表示10道题中答对的题目数,则X~B(10,).于是该生10道题中恰好答对6 道题的概率是 P(X=(10 6)4 6 7、设随机变量X具有分布函数 0 (x)={x3,0≤x|X≤ 【解】P(X≤-3)=F(-3)=0, P(X≤3)=F()=(3) P(4<x≤1)=F(4)-F()=()3-()=19

=0.3×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6+0.7×0.4×0.6=0.324, P(X=3)=P(ABC)=0. 3×0. 4×0. 6=0.072. X 0 1 2 3 pk 0.168 0.436 0.324 0.072 5、设对某批产品的验收敛方案为: 从该批产品中随机地抽查 5 件产品, 若次品数小于等于 1, 则该批产品通过验收敛, 否则不予通过, 若某批产品的次品率为 0.05, 试求该批产品通过 验收敛的概率. 【解】 用 X 表示 5 件产品中的次品数, 则 X~B(5, 0.05). 于该批产品通过验收敛的概率为 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1) 0 5 1 4 (0.05) (0.95) 1 5 (0.05) (0.95) 0 5 × × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =0.9774. 6、 某份试卷有 10 道选择题, 每题共有 A, B, C, D 四个答案供选择, 其中只有一个答案是正 确的. 设某人对每道题均随机地选择答案, 试求该生 10 道题中恰好答对 6 道题的概率是多 少？ 【解】用 X 表示 10 道题中答对的题目数, 则 ) 4 1 X ~ B(10, . 于是该生 10 道题中恰好答对 6 道题的概率是 6 4 6 4 ) 4 3 ) ( 4 1 ( 6 10 ) 4 1 ) (1 4 1 ( 6 10 ( 6) × × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ P X = = . 7、设随机变量 X 具有分布函数 . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ X ≤ . 【解】 P(X≤−3)=F(−3)=0, 8 1 ) 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ( 3 P X ≤ = F = = , 216 19 ) 3 1 ) ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 3 1 ( 3 3 P < X ≤ = F − F = − = , 4

P(X>, X P(|X≤=) P(X≤=) P(X≤=) F(=)-F()()-() 37 8、设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从正态分布,X~N50,25) (1)求从该批鸡蛋中任取一只,其重量不足45克的概率; (2)从该批鸡蛋中任取一只,其重量介于40克到60克之间的概率;(3若从该批鸡蛋中任 取五只,试求恰有2只鸡蛋不足45克的概率; (4.从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率 【解】(1)P(X60)=1-P(X≤60)= 5 =1-④(2)=1-9.9772=0.0228 9、设随机变量X具有概率分布律: 10 Pk0.080.020.030.170.15|0050.200.160.14 试求=X的概率分布律 【解】Y的取值为0,1,2,3,4,5,其概率分布律为 P(Y=0=P(x=0)=0.17, P(￥=l)=P(X=-1)+P(X=1)=003+0.15=0.18

) 3 2 ( ) 3 2 2 1 ( ) 3 2 ( ) 3 2 , 2 1 ( ) 3 2 | 2 1 ( ≤ ≤ > ≤ = P X P X P X P X X P X X 64 37 ) 3 2 ( ) 2 1 ) ( 3 2 ( ) 3 2 ( ) 2 1 ) ( 3 2 ( 3 3 3 = − = − = F F F . 8、设某批鸡蛋每只的重量 X(以克计)服从正态分布, X ~N(50, 25). (1).求从该批鸡蛋中任取一只, 其重量不足 45 克的概率; (2).从该批鸡蛋中任取一只, 其重量介于 40 克到 60 克之间的概率; (3).若从该批鸡蛋中任 取五只, 试求恰有 2 只鸡蛋不足 45 克的概率; (4).从该批鸡蛋中任取一只其重量超过 60 克的概率; 【解】(1). ) ( 1) 5 45 50 ( 45) ( = − − P X = − P X ≤ =Φ . =1−Φ (2) =1− 9.9772 = 0.0228 9、设随机变量 X 具有概率分布律: X −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pk 0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14 试求Y=X2 的概率分布律. 【解】 Y 的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 其概率分布律为 P(Y=0)=P(X=0)=0.17, P(Y=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0.03+0.15=0.18, 5

P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=0.02+0.05=007, P(=9)=P(X=-3)+P(X=3)=008+0.20=0.28, P(Y=16=P(X=4)=0.16 P(Y=25)=P(X=5)=0.14 pk0170.1810.070280.16014 10、设(X,H)的联合密度函数为 ,x≥0,y≥0; f(r,y) 0,其他 求:(1)系数A: (2)联合分布函数F(x,y) (3)P(X>1): (4)P(X,Y)∈D),其中D={(x,y):x≥0,y≥0,x+y≤1} (5)fx(x),f(y) 解](1)由[匚f(x,y)=ay=1,即 4-b14=1 (2)当x≥0,y≥0时 F(x,y) f(x, y)dxdy [ed=(1-e”)-e”) 当x,y为其他值时,F(x,y)=0 所以F(x,y)= (1-e-)(l-ey),x>0,y>0; 0其他 (3)P(X>1)=1-P(X≤1)=1-Fx(1) 1-F(1,+∞)=e=0.3679

P(Y=4)=P(X=−2)+P(X=2)=0.02+0.05=0.07, P(Y=9)=P(X=−3)+P(X=3)=0.08+0.20=0.28, P(Y=16)=P(X=4)=0.16, P(Y=25)=P(X=5)=0.14. 即 Y 0 1 4 9 16 25 pk 0.17 0.18 0.07 0.28 0.16 0.14 10、设(X,Y) 的联合密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≥ = − + 0,其他 , 0, 0; ( , ) ( ) Ae x y f x y x y 求：（1）系数 A ； （2）联合分布函数 F(x, y) ； （3） P(X >1) ； （4） P((X ,Y )∈ D) ，其中 D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}； （5） f X (x), fY ( y)； [解] （1）由 ∫ ∫ ，即 +∞ −∞ +∞ −∞ f (x, y) = dxdy = 1 ∫ ∫ +∞ +∞ − + = ⇒ = 0 0 ( ) Ae dxdy 1 A 1 x y （2）当 x ≥ 0, y ≥ 0 时， (1 )(1 ) ( , ) ( , ) 0 0 ( ) x y x y x y x y e dxdy e e F x y f x y dxdy − + − − − ∞ ∞ − = = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ 当 x, y 为其他值时， F(x, y) = 0 所以 ⎩ ⎨ ⎧ − − > > = − − 0,其他 (1 )(1 ), 0, 0; ( , ) e e x y F x y x y （3） ( 1) 1 ( 1) 1 (1) P X > = − P X ≤ = − FX 1 (1, ) 0.3679 1 = − +∞ = = − F e 6

(4)P(X, Y)ED)=[f(x,y)drdy e[le-yl]dy=1-2e=0.2642 I+I (5)f()=(xy)= d,x≥0 0, 0,x<0 同理∫(y) ,y≥0 0,y<0 11、设二维离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律 6 1215|18 0.010.030.020.010.050.06 0.020.020.010.050.030.07 0.050.040.030.010.020.03 0.030.090.060.150.090.02 (1)求X的边缘分布律和F的边缘分布律; 【解】 x3691211518Pc=i 10.010.030.020.01 0.060.18 0.020.020.010.05 0.070.20 30.050.040.030.010.020.030.18 40.030.090.060.150.090.020.44 P(Y=j)0.110.180.120.220.190.181 p0.180.200.180.44 9 12 p0.110.180.120.22|0.190.18 12、设X的概率密度为

（4） { } ∫∫ ∈ = D P（X,Y) D f (x, y)dxdy ∫ ∫ = = − = − − − 1 0 1 0 1 [e [ e ]]dy 1 2e 0.2642 x ydy (5) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = = ∫ ∫ +∞ − + +∞ −∞ 0, 0 , 0; ( ) ( , ) 0 ( ) x e dy x f x f x y dy x y X ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0. , 0; x e x x 同理 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0 , 0; ( ) y e y f y y Y 11、设二维离散型随机变量(X, Y)具有概率分布律 X Y 3 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 (1)求 X 的边缘分布律和 Y 的边缘分布律; 【解】 X Y 3 6 9 12 15 18 P(X=i) 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 0.18 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 0.20 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 0.18 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 0.44 P(Y=j) 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 1 X 1 2 3 4 pk 0.18 0.20 0.18 0.44 Y 3 6 9 12 15 18 pk 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 12、设 X 的概率密度为 7

>0 f(x)= 0.x≤0 Y在(0,X)上服从均匀分布 求:(1),Y的条件概率密度fx(Oyx) (2).(X,y)的联合概率密度; (3).Y的概率密度。 [解](1)由已知,Y在(0,X)上服从均匀分布,故所求的y的条件概率密度 ,0 0时,()=edx=e 即Y的概率密度函数为 >0 f1(y)= 0y≤0

⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0, 0. , 0; ( ) 2 x xe x f x x x λ λ Y 在(0, X ) 上服从均匀分布， 求：（1）.Y 的条件概率密度 f ( y x) Y X ； （2）. (X,Y) 的联合概率密度； （3）.Y 的概率密度。 [解] （1）由已知，Y 在(0, X ) 上服从均匀分布，故所求的Y 的条件概率密度 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0时， y y x Yf y e dx e λ λ λ λ − +∞ − = = ∫ 2 ( ) 即Y 的概率密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0, 0. , 0; ( ) y e y f y y Y λ λ 8