第节实对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说 明,均指实对称矩阵 定理1对称矩阵的特征值为实数 定理1的意义 由于对称矩阵A的特征值x;为实数,所以齐次 线性方程组 (4-a;E)x=0 是实系数方程组由4-1E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设λ,2是对称矩阵4的两个特征值,D1, P2是对应的特征向量若λ1≠42,则1与2正交 证明λD1=4,2P2=A2,≠2, ∵A对称,A=A1, A1n1=(11)=(4)=n1A=n1A, 于是An1n2=n42=n1(λ2n2)=2n1n2, (1-x2)nn2=0 ≠2,∴n12=0.即n1与2正交
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
定理3设A为n阶对称矩阵A是4的特征方程的r 重根则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值九恰有r个线性无关的特征向量 定理4设4为n阶对称矩阵则必有正交矩陶P,使 PAP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设的互不相等的特征值为礼1,42,…, 它们的重数依次为,2,…,r(r+2+…+r,=n 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得:
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值(=12,…,s),恰有r个线性无 关的实特征向量,把它们正交化并单位化即得r个 单位正交的特征向量由+n2+…+r=m知, 这样的特征向量共可得n个 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 P= PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含r个A,…,个A,恰 是A的n个特征值
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵,并求正交矩阵P,其具体步骤为: 1.求4的特征值; 2.由(A-2E)x=0,求出4的特征向量; 3.将特征向量正交化;单位化. 4.将3所得两两正交的单位向量,作为列 向量排成一个矩阵就是所求的P
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，并求正交矩阵P，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 3. 将特征向量正交化;单位化. 将3所得两两正交的单位向量，作为列 向量排成一个矩阵就是所求的P。 4. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值;
例对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵P, 使PP为对角阵 2-20 400 (1)A=-21-2,(2)A=031 0-20 013 解(1)第一步求4的特征值 2-元-20 A-E=-21-2-2=(4-xX-12+2)=0 0 2- 得A1=4,22=1,43=-2
解 − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (4 − )( −1)( + 2) = 0 4, 1, 2. 得 1 = 2 = 3 = − , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 (1) − − − − A = = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 (2) A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 P AP 为对角阵. −1 P (1)第一步 求 A 的特征值
第二步由A-E)x=0,求出4的特征向量 对1=4,(4-4E)x=0,得 2x1+2x2=0 2 2x1+3x2+2x3=0解之得基础解系51=2 2x,+4x2=0 对2=1,由(A-E)x=0,得 x1+2x2=0 2 2x1+2x3=0解之得基础解系与2=1 2x2+x3=0 2
第二步 由(A− iE)x = 0,求出A的特征向量 对 1 = 4,由(A− 4E)x = 0,得 + = + + = + = 2 4 0 2 3 2 0 2 2 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 2 2 1 − − = 对 2 = 1,由(A− E)x = 0,得 + = + = − + = 2 0 2 2 0 2 0 2 3 1 3 1 2 x x x x x x 解之得基础解系 . 2 1 2 2 − =
对a3=-2由(4+2E)x=0得 -4x1+2x,=0 2x-3x2+2x3=0解之得基础解系5=2 2x,-2x2=0 第三步将特征向量正交化单位化 由于ξ2,是属于A的3个不同特征值λ1,2, 的特征向量,故它们必两两正交 令m=21,i=12
对 3 = −2,由(A+ 2E)x = 0,得 − = − + = − + = 2 2 0 2 3 2 0 4 2 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 解之得基础解系 . 2 2 1 3 = 第三步 将特征向量正交化单位化 , . , , 3 , , 3 1 2 3 1 2 的特征向量 故它们必两两正交 由于 是属于 的 个不同特征值 A = , i = 1,2,3. i i i 令
2/3 3 得n=23m=13n2=|23 (-1/3 2/3 2/3 第四步 -221 作P=(n,n,n)=1212 1-22 400 则 P-AP=010 00-2
, 1 3 2 3 2 3 1 − − 得 = , 2 3 1 3 2 3 2 − = . 2 3 2 3 1 3 3 = ( ) , 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 , , 1 2 3 − − − 作 P = = . 0 0 2 0 1 0 4 0 0 1 − = − 则 P AP 第四步
