正交试验设计 单因子方差分析和双因子元方差分析模型可以推广到多 因子情形.但随着因子的增加,试验的次数将显著增加,以三 因子为例如果每个因子只取5个水平,并在每种水平的搭配 上只做一个试验,则需要做125次试验如果在每种水平的 搭配上做多个试验则试验次数将成倍增加.显然对大多数 试验是不可能做到的.因此,我们的想法就是通过做较少的 试验也能进行因子影响分析,这就需要进行正交试验设计. 正交试验设计就是通过正交表来安排试验的正交表 是由统计学家和数学家设计的具有一定特征的可供试验人 员直接采用的表那么正交表是怎样的一个表呢?它具有什 么样的特点呢? 我们以正交表L2(34)为例加以说明
正交试验设计 单因子方差分析和双因子元方差分析模型可以推广到多 因子情形.但随着因子的增加,试验的次数将显著增加,以三 因子为例,如果每个因子只取5个水平,并在每种水平的搭配 上只做一个试验,则需要做125次试验.如果在每种水平的 搭配上做多个试验则试验次数将成倍增加.显然对大多数 试验是不可能做到的.因此,我们的想法就是通过做较少的 试验也能进行因子影响分析,这就需要进行正交试验设计. 正交试验设计就是通过正交表来安排试验的.正交表 是由统计学家和数学家设计的具有一定特征的可供试验人 员直接采用的表.那么正交表是怎样的一个表呢?它具有什 么样的特点呢? 我们以正交表 为例加以说明: 4 9 L (3 )
表的左边的数字表试验号,为 第几次试验; l2(3)表 表的右边第12,34列用来安试验 列号 排因子,下面的数字表示各因 子取第几水平 从右边下面的数字可以看出 (1)每一列出现1,2,3的次数相 同均为3次. (2)任两列对应行构成二维数 2345 2123 组出现的次数也相同为1次 并且出现的数组就是1,2,3任 233122 取两个的排列 6789 11122233 23231312 3
表的左边的数字表试验号,为 第几次试验; 表的右边第1,2,3,4列用来安 排因子 ,下面的数字表示各因 子取第几水平. 从右边下面的数字可以看出: (1)每一列出现1,2,3的次数相 同均为3次. (2)任两列对应行构成二维数 组出现的次数也相同为1次. 并且出现的数组就是1,2,3任 取两个的排列. 4 9 L (3 ) : 表 试 验 号 列号 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1
正交表均具有下面两个特点: (1)任意一列中出现的数字重复的次数相同; (2)数字的任意排列在任意两列中重复的次数相同 一般正交表用Ln(t)表示,其中各字母的含义如下图 正交表的列数 k 水平数 试验次数 常见的正交表有 二水平表:L4(2),3(2),L2(2),L6(25) 三水平表:L(34),L3(37),L2(33) 四水平表:L1(4),L2(4) 混合表:3(4×2);L2(2×37)
正交表均具有下面两个特点: (1)任意一列中出现的数字重复的次数相同; (2)数字的任意排列在任意两列中重复的次数相同; 一般正交表用 表示,其中各字母的含义如下图 常见的正交表有 二水平表: 三水平表: 四水平表: 混合表: ( ) k L t n ( ) k L t n 正交表的列数 水平数 试验次数 3 7 11 15 4 8 12 16 L L L L (2 ); (2 ); (2 ); (2 ) 5 9 16 32 L L (4 ); (4 ) 4 7 13 9 18 27 L L L (3 ); (3 ); (3 ) 4 7 8 18 L L (4 2 ); (2 3 )
例为了提高某化工产品的转化率,选择了三个有关因素反 应温度A,反应时间B和用碱量C,各因素所选取的水平如下 表 水平 因素|A(反应温度)B(反应时间)c(用碱量) 80 90 2 85 120 567 90 150 如果选用正交表(34)且将A,BC因子分别放在第一,,三 列,依次试验得转化率%为:31,54,38,53,49,42,57,62,64 (1)试找出最佳的生产条件 (2)应温度,反应时间,用碱量对提高转化率是否有显著性 的影响?
例:为了提高某化工产品的转化率,选择了三个有关因素:反 应温度A,反应时间B和用碱量C,各因素所选取的水平如下 表 如果选用正交表 且将A,B,C因子分别放在第一,二,三 列,依次试验得转化率(%)为:31,54,38,53,49,42,57,62,64. (1)试找出最佳的生产条件. (2)反应温度,反应时间, 用碱量对提高转化率是否有显著性 的影响? 水平 因素 A(反应温度) B(反应时间) C(用碱量) 1 80 90 5 2 85 120 6 3 90 150 7 4 9 L (3 )
解:先列直观分析表如下: 试验号 列号 转化 率 2 34 31 54 38 23456789 233 1222333 23123123 2323131 53 49 1223 42 57 62 2 64 Klj 123141135 Kaj 144165171 kR 183144144 20 8 12
解:先列直观分析表如下: 试验号 列号 转化 率 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 31 54 38 53 49 42 57 62 64 K1j K2j k3j 123 141 135 144 165 171 183 144 144 R 20 8 12
从上表中可以看出 (1)极差反映了各水平之间的差异,极差越大,说明此 因子对试验结果影响就越大.此例中影响转化率的 程度依次是反应温度一·用碱量一·反应时间 (2)从所做的9次试验来看,第九号试验转化率最高 对应的条件是4B2C2 (3)各因子中的各水平下转化率的平均值反映了这 水平对转化率的影响因此A的第三水平最优,B 的第二水平最优,C的第二水平最优如果将所有的 最优水平搭配在一起,即可认为是最佳条件这里是 AB2C2,而这一次试验没有做,需要补做此次试验通 常,为了慎重起见,重做4BC2,A3BC2,再进行比较
从上表中可以看出: (1)极差反映了各水平之间的差异,极差越大,说明此 因子对试验结果影响就越大.此例中影响转化率的 程度依次是反应温度 用碱量 反应时间. (2)从所做的9次试验来看,第九号试验转化率最高. 对应的条件是 . (3)各因子中的各水平下转化率的平均值反映了这 一水平对转化率的影响.因此,A的第三水平最优,B 的第二水平最优,C的第二水平最优.如果将所有的 最优水平搭配在一起,即可认为是最佳条件.这里是 ,而这一次试验没有做,需要补做此次试验.通 常,为了慎重起见,重做 , ,再进行比较. A B C 3 3 2 A B C 3 2 2 A B C 3 3 2 A B C 3 2 2
方差分析法:以上例为例加以说明 记第次试验指标为Y,且x-M(A2假定没有交互作用令H=∑ 则我们可以写成下列模型 + B1+y1+ 1+a +B2+y2+E2 13=+ax1+B3+y3+E3 B1+y2+ μμ 十++ a2+B2+y3+ B3+y1+ 7=H+a3+B+y3+E7 + +B2+y1+ +B3+y2+ 其中 B+B2+B3 +y2+y3=0
方差分析法:以上例为例加以说明 记第i次试验指标为Yi ,且 ,假定没有交互作用,令 则我们可以写成下列模型 其中 2 ( , ) Y N i i 9 1 1 9 i i = = 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 4 5 2 2 3 5 6 2 3 1 6 7 3 1 3 7 8 3 2 1 8 9 3 3 2 9 Y Y Y Y Y Y Y Y Y = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 + + = + + = + + =
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是 +2+y3)B=(x++Y7)元=(x+y5+3) (Y4+y3+6)12=( 321+Y)元2=(+Y4+Y) (2+x2+y)度2=1(x2+y2+) +Y+ 其中 ∑ Y=Y-y 我们可得到 SST=SSA+ ssb+ ssc+ sse 其中 ST=∑(x),SSA=3>(a)2,SB=32()2SC=3>()2 i=1
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是 其中 我们可得到 其中 1 1 2 3 1 1 4 7 1 1 6 8 2 4 5 6 2 2 5 8 2 2 4 9 3 7 8 9 3 3 6 9 3 3 5 7 ˆ , 1 1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ 3 3 3 1 1 1 ˆ ˆ ( ), ( ), ( ) ˆ 3 3 3 1 1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ 3 3 3 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y = = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + 9 1 1 , 9 i i i i Y Y Y Y Y = = = − SST SSA SSB SSC SSE = + + + 2 2 2 2 ( ) , 3 ( ) , 3 ( ) , 3 ( ) i i i i SST Y SSA SSB SSC = = = = 9 3 3 3 i=1 i=1 i=1 i=1
如果A因子对试验指标影响不大,则SSA应比较小 同理,如果B因子对试验指标影响不大,则SSB应比 较小如果C因子对试验指标影响不大,则SSC应比 较小,可以证明:如果A因子对试验指标无影响,则 SSA/2 ~F(2,2) SSE/2 因此,若FA>F(2,2),则认为A因子对试验指标有显 著性的影响,否则A因子对试验指标无影响.同理可 得到B,C因子对试验指标E有无影响的检验
如果A因子对试验指标影响不大,则SSA应比较小. 同理,如果B因子对试验指标影响不大,则SSB应比 较小如果C因子对试验指标影响不大,则SSC应比 较小,可以证明:如果A因子对试验指标无影响,则 因此,若 ,则认为A因子对试验指标有显 著性的影响,否则A因子对试验指标无影响.同理可 得到B,C因子对试验指标E有无影响的检验. 2 (2, 2) 2 A SSA F F SSE = (2, 2) F F A
例:在上例的A,B,C对转化率有没显著性的影响作 假设检验 解:见教材P103
例:在上例的A,B ,C对转化率有没显著性的影响作 假设检验. 解:见教材P103
