第四节线性方程组解的存在性
、线性方程组有解的判定条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解. 定理1n元齐次线 Amxnx性方程组=0有非零解 mxn 的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n 证必要性.设方程组Ax=0有非零解, 设R(A)=n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn从而 Dn所对应的n个方程只有零解(根据克拉默定理)
( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
这与原方程组有非零解相矛盾, R(4)=n不能成立.即R(4)<n 充分性.设R(A)=r<n, 则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行, 从而知其有n-r个自由未知量 任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0, 即可得方程组的一个非零解
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
例1求解齐次线性方程组 x1+2x,+x2+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x2-4x3-3x4=0 解对系数矩阵A施行初等行变换: 1221 1221 r2-2r1 A=21-2-2 0-3-6-4 1-1-4-3 0-3-6
例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解 - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -
10-2 122 r-2r 012 01,4 2÷(-3) 3 000 0000 即得与原方程组同解的方程组 x1=0 x2+2x3+=x4=0, 3
0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2 - - r r r 1 2 2 r - r - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组 + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x
2x2+=x 由此即得 =2-3x,(x,x,可任意取值 令x3=1,x4=C2,把它写成通常的参数形式 5 2c,+ 5 3 29 2 x,=-2 2 29 +c 0 =
= = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得 = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式. 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1 + - - = c c x x x x
定理2n元非齐次线性方程组Ax=b有解 的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(Ab)的秩 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设R(4)<R(B 则硝行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1, 这与方程组有解相矛盾因此R(4)=R(B)
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
例2求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵B进行初等变换, -23-1 r-2 1-23-11 B=3-15-3205-40-1 212-23 00002 显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解
例２ 求解非齐次线性方程组 + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换， - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r - - 3 2 r - r - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
充分性.设R(4)=R(B 设R(4)=R(B)=r(≤n 则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行, 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n-个作为自由未知量, 并令n-r个自由未知量全取0, 即可得方程组的一个解 证毕
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r
小结R(A)=R(B)=n台Ax=b有唯一解 R(A)=R?(B)<n分Ax=b有无穷多解 R(4)<R(B)兮Ax=b无解 定义:含有-F个参数的方程组的任解, 称为线性方程组的通解 齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解; 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解;
小结 R(A)= R(B)= n Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n Ax = b有无穷多解. 称为线性方程组的通解． 定义：含有n - r个参数的方程组的任一解 ， 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解； R(A) R(B) Ax = b无解
