估计量的优良性 不同的估计方法可能得到不同的估计量,到 底采用哪一个估计量比较好呢?这就要有一个 评价一个估计量“好坏”的标准.在数理统计 中有一些标准,我们介绍其中三种:无偏性标 准,相合性标准,有效性标准
• 估计量的优良性 不同的估计方法可能得到不同的估计量，到 底采用哪一个估计量比较好呢？这就要有一个 评价一个估计量“好坏”的标准．在数理统计 中有一些标准，我们介绍其中三种：无偏性标 准，相合性标准，有效性标准．
无偏性 定义设O=X1,2,…X为6的一个估 计量,若对任意的n及日,都有 E(0)=6 成立,则称O=6(X1,X2,…,Xn)为b的一个无 偏估计,否则称之为有偏估计 如果b=0(X1,X2…,Xn)为0的一个无偏估计, 且为X12xX2…Xn的一个线性函数,则称 0=b(X1,X2…,Xn)为θ的一个线性无偏估计
• 无偏性 定义:设 为 的一个估 计量,若对任意的 ,都有 成立,则称 为 的一个无 偏估计,否则称之为有偏估计. 如果 的一个无偏估计, 且为 的一个线性函数,则称 的一个线性无偏估计. n及 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n ˆ E( ) = 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n 为 1 2 , , , X X X n 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n 为
无偏估计是估计量最基本的要求,一般说来, 个估计量如果不满足无偏性的要求,则它不会是 个好的估计量不满足无偏性则应该满足渐近 无偏性
• 无偏估计是估计量最基本的要求,一般说来,一 个估计量如果不满足无偏性的要求,则它不会是 一个好的估计量,不满足无偏性则应该满足渐近 无偏性
定义设0=(X1,X2…,Xn)为O的一个有 偏估计量,若对任意的θ,都有 lim E(0=6 n-o 成立,则称6=6(Ⅺ1,X2,…,Xn)为O的一个 渐近无偏估计
定义:设 为 的一个有 偏估计量,若对任意的 ,都有 成立,则称 为 的一个 渐近无偏估计. 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n ˆ lim ( ) n E → = 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n
例设总体X~U(a2b),其中ab为未知参数, 由前面例子ab的极大似然估计为 (1)=min x maX 试判别a与b的无偏性
• 例 设总体 ，其中a,b为未知参数， 由前面例子a,b的极大似然估计为 试判别 的无偏性． X U a b ~ ( , ) ( ) ˆ min , ˆ max i n i a X X b X X = = = (1) = ˆ a ˆ与b
解:容易得到a与b的密度函数为 6-x f1(x)=n(7-) <xsb b b X-a fm(x=n( b nya、Q<x<b 我们来求它们的数学期望
解：容易得到 的密度函数为 我们来求它们的数学期望 ˆ a ˆ与b 1 (1) 1 ( ) 1 ( ) ( ) , 1 ( ) ( ) , n n n b x f x n a x b b a b a x a f x n a x b b a b a − − − = − − − = − −
b-x E(a=xfo(x)dx=nx(s) xJ(1) b b nx(b (b-a) xr) x na+6 n+1 C-d E(b)=xfm(x)dx=|nx(,) n-1 x b b nr(x-a y"ldx= a+ nb (b-a) n+1
1 (1) 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ˆ 1 ( ) ( ) 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 b b n a a b n n a b b n n a a b n n a b x E a x f x dx nx dx b a b a na b nx b x dx b a n x a E b x f x dx nx dx b a b a a nb nx x a dx b a n − − − − − = = − − + = − = − + − = = − − + = − = − +
说明a与b不是a与b无偏估计,而是a与b渐近 无偏估计
说明 不是a与b无偏估计，而是a与b渐近 无偏估计 ˆ a ˆ与b
例:设总体X的数学期望与方差均存在且有限, E(X)=∠,D(X)=o2,试判别a=X,G2=S2是否为 p与σ2的无偏估计.其中,X与S2为样本均值与 样本方差
2 2 2 , ˆ ˆ S S = 2 2 例:设总体X的数学期望与方差均存在且有限, E(X)= ,D(X)= 试判别 =X, 是否为 与 的无偏估计.其中, X与 为样本均值与 样本方差
解:由于E(X)=,故E(x)=∑E(X)= n2(x1-x)=n2x-x2 又E(X12)=a2+2,E(x2)=+2 所以 E(B2)=∑E(X2)-E(X2)=(a2+2) n i=1 O 2 L
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) X X X B X X X X E X E X n E B E X E X n n n = = − = − = + = + = − = + − − + = n i i=1 n n i i i=1 i=1 i n i i=1 1 解:由于E( )= ,故E( )= E( n 1 1 而 ( n n 又 所以 1 n