《高等数学——函数》PPT课件教案_第一章 极限存在准则

极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式: sInd li 1lim(1+-)2=e x→>0x 为此先介绍判定极限存在的准则

极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式： 1 sin lim 0   x x x e x x x    ) 1 lim(1 为此先介绍判定极限存在的准则

、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及n满足下列条件 (1)Vn≤xn≤n(n=1,2,3…) n→0 n→0o 那末数列x的极限存在,且imxn=a 证 yn→a,死n→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得

一 、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n         那末数列 n x 的极限存在, 且 x a n n   lim . 证 y a, z a,  n  n     0, N1  0, N2  0, 使得

当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-8<yn≤xn≤zn<a+, 即xn-a<E成立 limx a n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

, 1 n  N y  a   当 时恒有 n , 2 n  N z  a   当 时恒有 n max{ , }, 取 N  N1 N2 上两式同时成立, a    y  a  , 即 n a    z  a  , n 当 n  N时, 恒有 a    y  x  z  a   , n n n 即 x  a   成立, n lim x a. n n    上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则′如果当x∈U(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)s∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(r=A, x→. x→x x→0 x→0) 那末lim∫(x)存在,且等于A x→x 0 x→0 A+al y=h(x) y=f(x) y=g(x) 0 6

准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x   (或 x  M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x         那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x   存在, 且等于A. y  h( x) y  f ( x) y  g(x) A  A  0 x x0   x0   （（ 1 ））   2 A

准则I和准则I'称为夹逼准则 注意:(1)利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与z,的极限是容易求的 (2).此准则对于x→∞时的情形也成立 夹逼定理示意图 g(x)≤f(x)≤h(x)

准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 注意: . (1). , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 与 n n n n y z y z (2).此准则对于x  时的情形也成立 g(x)  f (x)  h(x) 夹逼定理示意图 A

例1求lm( n→∞√n2+1√n2+2 √n+n 解 < < 2 n+n nn n-十 又lm n+n h 1+ 1,由夹逼定理得 n2+1 十 lim( 十 十∴十 n→√n2+1√n2+2 n +n

例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n  n       求  解 , 1 1 1 1 2 2 2 2         n n n n n n n n   n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim      又  1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n       1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2       n n  n n n 

2单调有界准则 如果数列x满足条件 ≤x2…≤xn≤xn+1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 准则1单调有界数列必有极限 几何解释: 2 xirnxn+I A M x

2.单调有界准则 如果数列 x n满足条件 , x1  x2 xn  xn1   单调增加 , x1  x2 xn  xn1   单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n1 x A M

例2证明数列 3+、3+√…+√3(n重根 式)极限存在 证显然xn1>xn,∴{x}是单调递增的; 又:x1=3<3,假定xk<3,xk+1=3+x<3+3<3 {xn}是有界的;imxn存在 3+ n+1 3+x n 9 H+1 n n+1 lim(3+xu). n→0 A=3+A,解得A 1+、13 1-√13 2(舍去) 1+√13 ∴Iimy 2

例2 ) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 x n     n重根 证 , 显然 xn1  xn  是单调递增的 ;  x n 3 3, 又 x1    3, 假定 xk xk 1  3  xk 3  3 3,  是有界的;  x n lim 存在. n n x   3 ,  xn1   xn 3 , 2 xn1   xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x   x    3 , 2 A   A 2 1 13 , 2 1 13    解得 A  A (舍去) . 2 1 13 lim     n n x

、两个重要极限 lim sinr x→>0 首先注意到函数x对一切x≠0都有定义 设法构造一个“夹逼不等式”,使函数x 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数g(x),h(x)之间,以便应用准则I

二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0   x x x 首先注意到 函数 对一切 0都有定义 sin x  x x 设法构造一个“夹逼不等式” ，使函数 x sin x 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ

作如图所示的单位圆 设单位圆O,圆心角∠A4OB=x,(0<x∠y 作单位圆的切线,得△ACO 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC sinx<x<tanx,即cosx< sIn <1, 上式对于-<x<0也成立.当0<x<时, 2

作如图所示的单位圆 A C ) 2 , , (0  设单位圆 O 圆心角AOB  x  x  于是有sin x  BD, x  弧 AB, tan x  AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为BD, sin x  x  tan x, 1, sin cos   x x 即 x 0 . 2 上式对于   也成立   x , 2 当 0 时   x 