元方差分析 在许多问题中往往不只考虑单个因子对试验指标的影 响而要同时考虑两个因子对试验指标的影响这时需要进 行二元方差分析二元方差分析分为有交互作用与无交互 作用两种情形 交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响. 例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互 搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下 A B Al(不施氮肥)A1(施50公斤氮肥) Al(不施氮肥) 300kg 450kg A(施50公斤氮肥)400 700kg 则(700-450)(400-300150kg为交互作用的影响
二元方差分析 在许多问题中,往往不只考虑单个因子对试验指标的影 响,而要同时考虑两个因子对试验指标的影响.这时需要进 行二元方差分析.二元方差分析分为有交互作用与无交互 作用两种情形. 交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响. 例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互 搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下 则(700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响. A B A1(不施氮肥) A1(施50公斤氮肥) A1(不施氮肥) 300kg 450kg A1(施50公斤氮肥) 400kg 700kg
1无交互作用的二元方差分析 设AB为两个因子,A取r个水平A1,A2,…,A;B取s个 水平B,B2…,B在AB条件下只做一次试验,记这 次试验的结果为X:i=1,2,…,r;j=1,2,…,s 试验结果可列成如下表 B BI B2 Bs A X11 X12 XIS A2 2 X2S Xrl Xr2 Xrs
1.无交互作用的二元方差分析 A,B A A , , A ; , , . i j B B B B A B X 1 2 r 1 2 s ij 设 为两个因子,A取r个水平 , 取s个 水平 , 在 条件下只做一次试验,记这 一次试验的结果为 .i=1,2, ,r;j=1,2, ,s 试验结果可列成如下表 A B B1 B2 …… Bs A1 X11 X12 …… X1S A2 X21 X22 …… X2S …… …… …… …… …… Ar Xr1 Xr2 …… Xrs
我们假定X~N(A22),如果因子B对试验指标没有 著影响,那么Xn,X2…,X的分布相同,即 OB 1 LS 如果因子A对试验指标没有显著影响,那少xN X的分布相同,即 0A·h1=2 ·鲁 如果记 元=∑1,1=2∑1,=∑∑A 注意到没有交互作用时应满足:对∨,有
2 1 2 ~ ( , ), , , , ij ij i i is X N B X X X 我们假定 如果因子 对试验指标没有 显著影响,那么 的分布相同,即 0 1 2 : H B i i is = = = 1 2 , , , j j rj A X X X 如果因子 对试验指标没有显著影响,那么 的分布相同,即 0 1 2 : H A j j rj = = = , ij i j i j − = − 注意到没有交互作用时应满足:对 , 有 如果记 1 1 1 1 1 1 1 , , s r r s i ij j ij ij s r rs j i i j = = = = = = =
引进记号 ∑X,,=∑M,X=∑∑X S=∑∑(X1-x)S2>(X-x)=(x-X) SB=∑∑(X-X)2=r2(X-x)2 SE=∑∑(X-X-+x) 我们有 SST= SSE+ ssa+ ssB
引进记号: 1 1 1 1 1 1 1 , , s r r s i ij j ij ij j i i j X X X X X X s r rs = = = = = = = 2 1 1 ( ) r s ij i j SST X X = = = − SST SSE SSA SSB = + + 我们有 2 2 1 1 1 ( ) ( ) r s r i i i j i SSA X X s X X = = = = − = − 2 1 1 ( ) r s ij i j i j SSE X X X X = = = − − + 2 2 1 1 1 ( ) ( ) r s s j j i j i SSB X X r X X = = = = − = −
记X=1n+EnEn~N(O,a2) ∑n,,=∑,E=∑∑ 则X=2+E,R,=反+E,,X=+E SS4=∑(+E1-B)2 SB=r∑(1+81-B)2 ST=∑∑(+6-n SE=∑∑(+60-8一一E,+反+E i=1j=1 ∑∑(=n E I=I J
2 1 1 1 1 (0, 1 1 1 , , ij ij ij ij s r r s i ij j ij ij j i i j X N s r rs = = = = = + = = = 记 ) X X X i i i j j j 则 , , = + = + = + 2 1 1 ( ) r s ij ij i j SST = = = + − − 2 1 ( ) r i i i SSA s = = + − − 2 1 1 ( ) r s ij ij i i j j i j SSE = = = + − − − − + + 2 1 1 ( ) r s ij i j i j = = = − − + 2 1 ( ) s j j j SSB r = = + − −
并且 E(S9)=E∑∑(5-E-E1-6)=(-1-1m2 E(S9)=E∑(+8一元-B)2] S∑(1m)2+E∑(E=E)2] 2 2 +(r 同理 E(S)r∑(1m)2+(-12
并且 2 2 1 1 ( ) ( ) ) ( 1)( 1) r s ij i j i j E SSE E s r = = = − − − = − − 2 1 ( ) [ ( ) ] r i i i E SSA E s = = + − − 2 2 1 1 ( ) [ ( ) ] r r i i i i s sE = = = − + − 2 2 1 ( ) ( 1) r i i s r = = − + − 2 2 1 ( ) ( ) ( 1) s j i E SSB s = − + − 同理 =r
从这个结果我们可以看出 (1)SSE只与随机误差有关我们称之为误差平方和 且2 SSE 为σ2的无偏估计 (r-1)(S-1) (2)SSA不仅与随机误差有关,而且与A的各水平的差异有关我们称 之为由A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大, 因此,可用它来检验HA是否成立在HoA成立的条件下 E(SS4)=(r-1)a2 (3)SSB不仅与随机误差有关,而且与B的各水平的差异有关我们称 之为由B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大, 因此可用它来检验HB是否成立在HoB成立的条件下 E(SSB=(S-1)02 (4我们还可以证明
从这个结果,我们可以看出 (1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和 (2) SSA不仅与随机误差有关,而且与A的各水平的差异有关,我们称 之为由A因子引起的离差平方和, SSA越大, A的各水平的差异也越大, 因此,可用它来检验H0A是否成立.在H0A成立的条件下, (3)SSB不仅与随机误差有关,而且与B的各水平的差异有关,我们称 之为由B因子引起的离差平方和, SSB越大, B的各水平的差异也越大, 因此,可用它来检验H0B是否成立.在H0B成立的条件下, (4)我们还可以证明 2 2 ˆ ( 1)( 1) SSE r s = − − 且 为 的无偏估计 E SSA ( ) 2 =(r-1) E SSB ( ) 2 =(s-1)
h=。SS4(-1)-在H为真时 SSE/(r-1)(s-1) F4~F(r-1,(r-1)(s-1) SSB/(S-1) 在H为真时 SSE/(r-1)(s-1) FB~F(S-1(r-1)(s-1)
0 ( 1) ( 1)( 1) ( 1,( 1)( 1)) A A A SSA r F H SSE r s F F r r s − = − − − − − 在 为真时 0 ( 1) ( 1)( 1) ( 1,( 1)( 1)) B B B SSB s F H SSE r s F F s r s − = − − − − − 在 为真时
由上面讨论我们找到了一种检验H和HB方法 选取统计量 SS4/(r-1) SSB/(5-1) SSE/(r-1)(S-1 SSE/(r-1)(S-1) HA拒绝域为 W={F4>F2(P-1,(-1)(s-1) HoB拒绝域为 W={FB>F2(S-1,(r-1)(s-1)
由上面讨论,我们找到了一种检验H0A和H0B方法: 选取统计量 H0A拒绝域为 H0B拒绝域为 { ( 1,( 1)( 1))} W F F r r s = − − − A ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) A B SSA r SSB s F F SSE r s SSE r s − − = = − − − − { ( 1,( 1)( 1))} W F F s r s = − − − B
例:见P96例54
例:见P96 例5.4
