第三节相似矩阵
、相似矩阵与相似变换的概念 定义1设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P,使 P-AP= B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进 行运算P-1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =
二、相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 (1)反身性A与A本身相似 (2对称性若A与B相似,则B与A相似 (3)传递性若A与B相似,B与C相似, 则A与C相似 2. P-(AA)P=(P-1A PXP-1A2 P) 3若A与B相似则4m与B相似(m.正整数)
1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性
4. P-(K,A,+k2A)P=kP-A P+k2P-lA2 P 其中k1,k,是任意常数 定理1若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项 式相同从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →彐可逆阵P,使得PAP=B ∴B-AE=PAP-P(E)P =P(A-EP P-lA-hE Pl A-ZE
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
推论若n阶方阵A与对角阵 12 相似则λ1,2,,即是4的n个特征值
推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值
利用对角矩阵计算矩阵多项式 若A=PBP,则 k个 APBP- PBP-… PBP-PBPPB'p A的多项式 P(A)=aoA"+aiA+.+am-A+anE =aPB"P1+a1PBn-P1+… +am-Pbp-+a, pep P(aob+arb+.+an-B+aneP PP(B)P
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
特别地,若可逆矩阵P使PAP=A为对角矩阵, WU A=PAP-, (A)=P(A)P 对于对角矩阵,有 A 利用上 述结论可以 ) 很方便地计 算矩阵A的 q(2) q(A)= 多项式p(A 0(
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) = n 2 1 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
定理设f(4)是矩阵4的特征多项式则f(A)=O. 证明只证明4与对角矩阵相似的情形 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 PAP=A=dig(a1,…,n), 其中礼为A的特征值,f()=0.由A=PNP,有 f(a1) f(A)=Pf(A)P-l=Pl P ∫(4n POP=O
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
、利用相似变换将方阵对角化 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P+1AP=A为对角阵,这就称为把方阵A对角化 定理2n阶矩阵4与对角矩阵相似即4能对角化 的充分必要条件是4有n个线性无关的特征向量 证明假设存在可逆陴,使PAP=A为对角阵 把P用其列向量表示为P=(1,P2,…,Pn)
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 三、利用相似变换将方阵对角化 . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A
由P1AP=A,得AP=PA, 1 即4(n1,n2,,pn)=(n1 2 1,2,”5n =(1p 119229 .AnPu). A 1929 ,pn)=(4,42,…,4pn) =(41D1,2…,n) 于是有41=41P1(=1,2,…,n
( ) ( ) = n n n A p p p p p p 2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2 n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , , 1 2 = 1 2 Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i = ( ) p p pn , , , = 1 1 2 , , 1 = = − 由P AP 得AP P
