§15事件的独立性 事件的独立性 定义19若P(AB)=P(A)P(B) 称A,B(相互)独立 性质 1)Ω,Φ与任意A独立 2)若A,B相互独立,则 A,B;A,B;A,B均相互独立。 证明 P(B)=P心UB)=1-PUB) 1-[P(A)+P(B)-P(AB) ==1-[P(A)+P(B)-P(AP(B) (1-P(A)(1-P(B)=P(A)P(B) 定义1.10对A,B,C,若 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C)}两两独立 P(CA)=P(C)P(A P(ABC =P(A)P(B)P(C) 称A,B,C相互独立 定义1.11对A1,A2,…,An,若 1, P(AA )=P(A)P(A,) j<k,P(44A)=P(4)P(A)P(4) 取n个:P(4A2…n)=P(A4)P(A2)…P(An)Cn 则称A1,A2,…,An(相互)独立
§ 1.5 事件的独立性 一、事件的独立性 定义 1.9 若 P(AB) = P(A)P(B) ， 称 A，B （相互）独立。 性质： 1) Ω, Φ 与任意 A 独立 ； 2) 若 A, B 相互独立，则 A, B ; A, B ; A , B 均相互独立。 证明 ： P(AB) =P(A∪B) =1−P(A∪B) = 1 − [P(A) + P(B) − P(AB)] A ,B 独立 == 1−[P(A) + P(B) − P(A)P(B)] = (1 − P(A))(1 − P(B)) = P(A)P(B) 定义 1.10 对 A，B，C ，若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ABC P A P B P C P CA P C P A P BC P B P C P AB P A P B = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 两两独立 称 A，B，C 相互独立 定义 1.11 对 A1 , A2 ,", An , 若 n n n n i j k i j k n i j i j n n P A A A P A P A P A C i j k P A A A P A P A P A C i j P A A P A P A C ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 2 " " # # = ∀ < < = ∀ < = 取 个： 则称 (相互)独立. A A An , , , 1 2
Cn+C+…+Cmn=(1+1)-C0-Cn=2-1-n个等式成立 二、事件的独立性与概率计算 设A1,A2…,An相互独立,则 P(AUA2U…UA)=1-P(A1)P(A2)…P(An) 证:P(A1∪A2U…UAn)=1-P(A1UA2U…UA) =1-P(AA2…An)=1-P(A)P(A2)…P(An) 特别P(AUA2∪A3)=1-P(A)P(A2)P(A3) 例1.A1,A2,A3射击某一目标命中率分别为06,05,04 求击中目标的概率。 解:设B={击中目标},则有 B=A1∪A2∪A3 P(B)=P(A, U A2 UA3)=1-P(A)P(A2)P(A3) =1-04×0.5×0.6=0.88 若只有A,A2射击,则有 P(A1UA2)=1-04×05=0.80 例1.13.A={搏彩中头奖}的概率为e=10 试证:当购买次数充分大时,A迟早会出现的概率为1 证明:设A表示第k次出现A,则有P(A)=e P(A1∪A2U…UAn)=1-P(A1)P(A2)…P(An) =1-(1-E)”→1当n>∞时 三、独立试验序列概型 n重贝努里试验 设试验E只有两个可能的结果:A和A,每次试验 P(A)=p,P(A)=1-p=q将E独立重复进行n次 这种试验称为n重贝努里试验 定理:在n重贝努里试验中,若记
(1 1) 2 1 . Cn 2 +Cn 3 +"+Cn n = + n −Cn 0 −Cn 1 = n − −n个等式成立 二、事件的独立性与概率计算 设 A1,A2,…,An相互独立，则 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A A A P A A A P A P A P A n n n n n n = − = − = − = − = − ∪ ∪ " " ∪ ∪"∪ ∪ ∪"∪ ∪ ∪"∪ " 特别 证 例1. A1, A2, A3射击某一目标,命中率分别为 0.6, 0.5, 0.4, 求击中目标的概率。 解: 设 B={击中目标}, 则有 1 0.4 0.5 0.6 0.88 ( ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( 3 ) 1 2 3 1 1 2 3 = − × × = = = − = P B P A A A P A P A P A B A A A ∪ ∪ ∪ ∪ 若只有A1,A2射击, 则有 P(A1 ∪ A2 ) =1− 0.4× 0.5 = 0.80 例 1.13. A={搏彩中头奖}的概率为ε=10-8 . 试证: 当购买次数充分大时,A 迟早会出现的概率为 1. 证明: 设Ak表示第k次出现A,则有P(Ak)=ε 1 (1 ) 1 . ( ) 1 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 1 2 = − − → 当 →∞时 = − n P A A A P A P A P A n n n ε ∪ ∪"∪ " 三、独立试验序列概型 n 重贝努里试验: 设试验 E 只有两个可能的结果: A和A ,每次试验 P(A) = p, P(A) =1− p =q. 将 E 独立重复进行 n 次, 这种试验称为 n 重贝努里试验. 定理: 在 n 重贝努里试验中,若记
B4={事件A恰好出现k次},则有 P(B)=Cpq,k=01…,n 且∑P(B)=1,称此为二项分布 证明:设A={第i次试验出现A},i=1,2 B=A4…4AxH…:4n+…+h… A-kA-k+…:4 P(44…44…4)=R(4)P(4)·fP4)PAk)·P(4)=p4qk f(…Ank.…4)=P(4)(Ank)P(4)…P4)=p4qnk 则有 P(B)=ChPq P(B)=∑Cmpq=(p+q) k=0 A至多出现m次的概率为 P(B)=∑Cp 2.A至少出现m次的概率为 P(B) p q 3.A至少出现1次的概率为 ∑P(B)=1-P(B)=1-Cmp2q0=1-(1-p) 定理:设B={第k次首次出现A},则有 P(B4)=qp,k=1,2 且∑P(B)=1,称此为几何分布
Bk ={事件A恰好出现k次}, 则有 P B C p q k n k k n k k n ( ) = , = 0,1,", − 且 ∑ , 称此为二项分布. = = n k P Bk 0 ( ) 1 证明: 设 ={第i 次试验出现A}, Ai i =1，2，"，n k n k n k n n k n k n n k k n k k n k k n k k n k n n k n n k k k P A A A A P A P A P A P A p q P AA A A A P A P A P A P A P A p q B AA A A A A A A A C − − + − − + − − + + − + + − = = = = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 " " " " # # " " " " " " " " " 则有 ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 = = + = = ∑ ∑= − = − n n k k k n k n n k k k k n k k n P B C p q p q P B C p q 推论： 1. A 至多出现m 次的概率为： k n k m k k n m k k P B C p q − = = ∑ =∑ 0 0 ( ) ； 2． A 至少出现 m 次的概率为： k n k n k m k n n k m k P B C p q − = = ∑ ( ) = ∑ ； 3． A 至少出现 1 次的概率为： ( ) 1 ( ) 0 1 P B P B n k ∑ k = − = n n n 1 C p q 1 (1 p) 0 0 0 = − = − − − 定理： 设 Bk ={第k 次首次出现 A }，则有 P(Bk ) = q k −1 p, k = 1,2" 且 ∑ , 称此为几何分布。 ∞ = = 0 ( ) 1 k P Bk
证明:Bk=A1A2…Ak-1Ak P(Bk=q p 利用n重贝努里试验计算概率: (1)转化为n重贝努里试验 两个要点:1.每次试验只有两个对立的结果 2.将该试验独立重复进行n次 (2)求出n,P,k,利用定理即可。 例1.14把10个球随机投入4个盒中,设每球落在每盒 中的可能性相同 、求落在第1个盒中恰有3球的概率 2、求落在第1个盒中至少有1球的概率。 设A={落在第1个盒中 n=10,p=1/4=P(A),k=3 (1)P(B3)=C1(/4)(3/4)03=0.25 (2)P(B)=C16(1/4)(3/4)0k P=∑P(B)=1-P(B)=1-C0/4)(3/4)0 1-(3/4)=0.994 例1.15甲乙每人投篮的命中率分别为0.7和0.6,每人 投篮3次,求两人进球数相等的概率。 解:甲进k个球A的概率为 P(A4)=C070.3,k=01,2,3 乙进k个球B的概率为 P(B)=C306′04,k=0,13 所求概率为
证明： . Bk = A1 A2 "Ak−1Ak P B q p . k k 1 ( ) − = 利用 n 重贝努里试验计算概率： (1)转化为n 重贝努里试验； 两个要点：1.每次试验只有两个对立的结果; 2.将该试验独立重复进行 n 次. (2)求出n, p, k ,利用定理即可。 例 1.14 把 10 个球随机投入 4 个盒中，设每球落在每盒 中的可能性相同； 1、求落在第 1 个盒中恰有 3 球的概率； 2、求落在第 1 个盒中至少有 1 球的概率。 解： 设 A = {落在第 1 个盒中} n = 10, p = 1/ 4 = P(A), k = 3 （1） ( ) (1/ 4) (3/ 4) 0.25 3 3 10 3 3 = 10 = − P B C （2） k k k P Bk C − = 10 10 ( ) (1/ 4) (3/ 4) 0 0 10 0 0 10 10 1 ( ) 1 ( ) 1 (1/ 4) (3/ 4) − = p = ∑ P B = − P B = −C k k =1 (3/ 4) 0.994 10 − = 例 1.15 甲乙每人投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6，每人 投篮 3 次，求两人进球数相等的概率。 解： 甲进k 个球 的概率为： Ak ( ) 0.7 0.3 0,1,2,3 3 = 3 = − P A C k k k k k ， 乙进k 个球 的概率为： Bk ( ) 0.6 0.4 , 0,1,2,3 3 = 3 = − P B C k k k k k 所求概率为：
p=∑P(AB)=∑P(4)P(B) ∑C070.3-×C0603=0 例1.16某实验室在器皿中繁殖成k个细菌的概率为 k=0,1,2,…,元>0 设所繁殖的每个细菌变为甲类菌或乙类菌的概率相等, 求所繁殖的细菌有i个成为甲类菌的概率。 解:B={繁殖的细菌中有i个成为甲类菌} A={繁殖了k个细菌} P(AK= ,k=0,1,2 P(B|4)=C(/2)(-1/2),i≤k,\C?i>k ,i≤k 所求概率为 P(B)=∑P(A)P(B|A)=∑PA)P(B|4) k!1 k!!(k-i) l=k-j o-d l2(k-)!2 =0 2 2() 0,1,2
( ) ( ) ( ) 3 0 3 0 k k k k k k p ∑ P A B ∑ P A P B = = = = 0.7 0.3 0.6 0.3 0.321 3 3 3 3 0 = 3 × = − − ∑ = k k k k k k k C C 例 1.16 某实验室在器皿中繁殖成 k 个细菌的概率为 , 0,1,2, , 0. ! = = > − λ λ e λ k " k P k k 设所繁殖的每个细菌变为甲类菌或乙类菌的概率相等， 求所繁殖的细菌有i 个成为甲类菌的概率。 解： B = {繁殖的细菌中有i 个成为甲类菌}； ={繁殖了k 个细菌} Ak , 0,1,2," ! ( ) = = − e k k P A k k λ λ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = ⎩ ⎨ ⎧ > − ≤ = − i k C i k i k C i k P B A k i k i i k i k k 0, , 2 1 0 , ; (1/ 2) (1 1/ 2) , ; ( | ) 所求概率为： ( ) ( ) ( | ) = 0 k k P B ∑P Ak P B A ∞ = = ( ) ( | ) k k i ∑P Ak P B A ∞ = = k i k k i k e C k 2 1 ! λ −λ ∞ = ∑ = k k i k i k i k k e 2 1 !( )! ! ! ⋅ − ∑ ⋅ ∞ = −λ λ = l k i k i k i i i k i e = − − ∞ = − = − ∑ ) 2 ( ( )! 1 ) 2 ( ! λ λ λ l l i i l e ) 2 ( ! 1 ) 2 ( ! 0 λ λ λ ∑ ∞ = − = 2 ) 2 ( ! λ λ λ e i e i − = 2 ! ) 2 ( λ λ − e i i ，i = 0,1,2