第七章习题 1.设x=1x,为来自正态总体N(,02)的样本均值,u未知,欲检验假Ho:02=0 n (已知)。应用 检验法;检验的统计量为 2.在非参数检验中,欲检验假设H:F(x)=F(x),已知,F为已知分布函数,可 应用 检验法;检验的统计量为 3.设x=1x,和y=y分别为来自两个独立正态总体N(u,2)和N(u2,02) mi=l n= 的样本均值,参数1,从2均未知,欲检验假设H:=2,应用 检验法; 检检验的统计量为 4.设x为来自总体N(u,2)的大小为n的样本均值,S为相应的样本方差,当2已知 时,检验假设H:≤μ>0(00已知)的统计量为 ;拒绝 为为 当2未知时检验假设H:≥0;H1:μ<0的统计量 ,拒绝域为 5.某区进行数学统考,初二年级平均成绩为5.6分,标准差为7.4分,从该区某中学中抽 取50位初二学生,测得平均数学统考成绩为78分,试问该中学初二的数学成绩与全区数学 成绩有无显著差异?(a=0.05) 6.对7岁儿童作身高调查结果如下所示,能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响? (a=0.05) 性别 人数(n) 平均身高(x) 标准差 男女 384 118.64 4.53 377 117.86 4.86 7.某中学从初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验,一段时间后统一 测试结果如下: 实验甲:n1=25,x1=88,S1=6, 实验乙:n2=27,x2=82,S2m=9 在测试成绩均服从正态分布的条件下,问两种实验效果差异是否显著(a=0.1). 1
第七章 习 题 1. 设 ∑= = n i Xi n X 1 1 为来自正态总体 ( , ) 的样本均值， 2 N µ σ µ 未知，欲检验假 （ 2 0 2 0 H :σ =σ σ 0 已知）。应用 检验法；检验的统计量为 。 2. 在非参数检验中，欲检验假设 : ( ) ( ; ) H0 F x = F0 x θ ，θ 已知， 为已知分布函数，可 应用 F0 检验法；检验的统计量为 。 3. 设 ∑= = m i Xi m X 1 1 和 ∑= = n i Yi n Y 1 1 分别为来自两个独立正态总体 和 的样本均值，参数 ( , ) 2 N µ1 σ1 ( , ) 2 N µ2 σ 2 1 2 µ ,µ 均未知，欲检验假设 ，应用 2 2 2 0 1 H :σ =σ 检验法； 检检验的统计量为 。 4. 设 X 为来自总体 的大小为 的样本均值， 为相应的样本方差，当 已知 时，检验假设 ( , ) 2 N µ σ n 2 Sn 2 σ 0 0 0 H : µ ≤ µ ; µ > µ （σ 0 已知）的统计量为 ；拒绝域 为 ；当 未知时检验假设 2 σ 0 0 H : µ ≥ µ ； 1 0 H : µ < µ 的统计量 为 ，拒绝域为 。 5.某区进行数学统考，初二年级平均成绩为 75.6 分，标准差为 7.4 分，从该区某中学中抽 取 50 位初二学生，测得平均数学统考成绩为 78 分，试问该中学初二的数学成绩与全区数学 成绩有无显著差异？(α =0.05) 6.对 7 岁儿童作身高调查结果如下所示，能否说明性别对 7 岁儿童的身高有显著影响？ (α =0.05) 性 别 人数( n ) 平均身高( x ) 标准差 男 384 118.64 4.53 女 377 117.86 4.86 7.某中学从初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验，一段时间后统一 测试结果如下： 实验甲： =25, 1 n 1 x =88， S1n1 =6， 实验乙： =27, 2 n 2 x =82， S2n2 =9． 在测试成绩均服从正态分布的条件下，问两种实验效果差异是否显著(α =0.1)． 1
8.某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从 一批产品中随机的抽取15段进行测量,其结果如下: 10410.610.110410.510.310.310.2 10910.610.810.510.710.210.7 问:能否认为该机工作正常?(a=0.05) 9.某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差为5000(小时2)的正态分布, 现有一批这种电池,从它生产情况来看,寿命的波动性有所变化.现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差为9200(小时).问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性 较以往的有显著的变化(a=0.02)? 10.某砖厂制成两批机制红砖,抽样检査测量砖的抗折强度(公斤),得到结果如下: 第一批 0,x=273,s=64 第二批:n2=8,y=30.5,s2=3.8 已知砖的抗折强度服从正态分布,试检验两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (a=0.05) 某香烟厂生产两种香烟,独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本,测量尼古丁含量的 毫克数,实验室分别做了六次测定,数据记录如下 282330252127 试问:这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异?给定a=0.05,假定尼古丁含量服从正态 分布且具有公共方差 12.某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆),今在生产的一批导线中取样品 9根,测得s=0.007(欧姆),设总体为正态分布.问在水平a=005下能否认为这批导 线的标准差显著地偏大? 13.盒中有5种球,重复抽取200次(每次抽1个球)各种球出现的次数见下表。问盒中5 种球的个数是否相等?显著水平a=0.05 第七章习题解答 1.统计量为U=(x-)1+92;该统计量服从N(01)分布。 2.用统计量T X-Y mn(m +n-2 mSI + nS2 ∑(X1-X)2 3.x2检验法;检验的统计量为K2=2
8.某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为 10.5cm, 标准差是 0.15cm, 今从 一批产品中随机的抽取 15 段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 问：能否认为该机工作正常？(α =0.05) 9.某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差为 5000 (小时 ) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取 26 只电池, 测出其寿命的样本方差为 9200(小时 )．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性 较以往的有显著的变化 2 2 (α = 0.02) ？ 10.某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖的抗折强度(公斤), 得到结果如下： * 1 1 * 2 2 : 10, 27.3, 6.4; : 8, 30.5, 3.8; n x s n y s = = = = = = 第一批 第二批 已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (α =0.05) 11.某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本，测量尼古丁含量的 毫克数，实验室分别做了六次测定，数据记录如下： 甲 25 28 23 26 29 22 乙 28 23 30 25 21 27 试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？给定α = 0.05，假定尼古丁含量服从正态 分布且具有公共方差． 12.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 （欧姆），今在生产的一批导线中取样品 9 根，测得 （欧姆），设总体为正态分布．问在水平 0.005 s = 0.007 α = 0.05下能否认为这批导 线的标准差显著地偏大？ 13.盒中有 5 种球，重复抽取 200 次（每次抽 1 个球）各种球出现的次数见下表。问盒中 5 种球的个数是否相等？显著水平α=0.05。 第七章 习 题 解 答 1. 统计量为 m n U X Y 2 2 2 1 ( )/ σ σ = − + ；该统计量服从 N(0,1) 分布。 2. 用统计量 m n mn m n mS nS X Y T + + − + − = ( 2) 2 2 2 1 3. 检验法；检验的统计量为 2 χ 2 0 1 2 2 ( ) σ ∑= − = n i Xi X K . 2
4.用F检验法;检验的统计量为F、S皿~F(mn) 5.取a=.05时,由P{≥n2=0.05,查表得ng=1.96 由于41=756,0=74,n=50,x=78,故n=8=75650=229 因=229196,故应拒绝H6:=,即认为该中学初二数学成绩与全区成绩有显著 差异. 6.检验步骤 1=2 ≠ 由P{2n}=a=005,查表得m=196.拒绝域为C=:2196小 118.64-11786 l 2.29>1.96 384377 所以在a=0.05下,拒绝H0,接受H1,即认为性别对7岁儿童的身高有显著影响 7.1、首先作方差齐性检验 (1)提出假设 (2)定临界值 由F=S/n-1(点 F(24,26),查表得 f2(24,26)=f69(24,26)=1.95,f(24,26)=。1,970.508, fsf(26,24) 于是拒绝域为C={f≥1.95}U{∫≤0.508 (3)计算f值 25×62/2425×62×2625×13 0.446≤0.508 27×92/2627×92×2492×9 (4)作出判决,因f∈C故拒绝,认为两子样取自方差有显著差异的总体 8.X~M(,σ2),σ=0.15.现需检验假设H6:H=10.5,H1:H≠10.5
4. 用 F 检验法；检验的统计量为 ~ ( , ) 2 2 2 1 F m n S S F n m = 5. 取α =0.05 时，由 P { 2 1 α − U ≥ u }=0.05，查表得 1.96 2 1 = − α u ． 由于 0 0 u n = = 75.6,σ 7.4, = 50, x = 78，故 50 2.29 7.4 78 75.6 ≅ − u = ， 因 u = 2.29 > 1.96，故应拒绝 0 H : µ = µ0，即认为该中学初二数学成绩与全区成绩有显著 差异． 6. 检验步骤： 0 1 2 1 1 2 H : µ = µ ↔ H : µ ≠ µ 由 1 2 P U u 0.05 α α − ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ≥ = = ⎩ ⎭ ，查表得u.0.975 = 1.96．拒绝域为C = {u : u ≥ 1.96}． 2 2 118.64 117.86 2.29 1.96 4.53 4.86 384 377 u − = = + > ． 所以在α =0.05 下，拒绝 H0 ，接受 H1，即认为性别对 7 岁儿童的身高有显著影响． 7. 1、首先作方差齐性检验 （1）提出假设 H0 ： ； 2 2 2 σ 1 = σ H1： ． 2 2 2 σ 1 ≠ σ （2）定临界值 由 0 1 2 2 ( 1 1 1 2 2 2 2 1 ~ (24,26) 1 H n n n S n F F n S n − = − 真时) ，查表得 0.95 1 2 2 0.95 1 1 (24,26) (24,26) 1.95, (24,26) 0.508 (26,24) 1.97 f f f f α α − = = = = = ， 于是拒绝域为C f = ≥ { 1.95}∪{ f ≤ 0.508}． （3）计算 f 值 0.446 0.508 9 9 25 13 27 9 24 25 6 26 27 9 / 26 25 6 / 24 2 2 2 2 2 = ≤ × × = × × × × = × × f = ． （4）作出判决，因f∈C故拒绝H0，认为两子样取自方差有显著差异的总体． 8. ．现需检验假设 2 ~ X N(µ σ, ), σ = 0.15 0 1 H : µ µ =10.5, H : ≠10.5． 3
因为n=15x=1048,a=0.05,所以x=1_10.48-10.5 0.516 a/Vn05/15 于是|x二上=051644314, 所以拒绝H0 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化. 解假设检验H6:a=a2,H1:a12≠a2 用F检验法,当H0为真时,统计量F=。2-F(x-1n2-1D F≥Fn2(n-1,n2-1)或F≤F(n1-1,n2-1) 由n1=10,n2=8,s12=4096,52=1444 Fa02(9,7)=4832,5x(97=1 0.283 F0a25(7,9) 得F 2837,显然0.283<2837<48 14.4 所以接受H0,认为抗折强度的方差没有显著差异 11.要检验的假设是H0:1=42,H1:H≠山2 选取统计 ~(n1+n2 x=25.5,y=2567s2=7552=1107, 1)s2+(n2-1)s=305 n+n2-2
因为 n =15, x =10.48, α = 0.05，所以 0 10.48 10.5 0.516 / 0.15/ 15 x n µ σ − − = = − ， 于是 0 0.05 | | 0.516 1.645 / x u n µ σ − = 解 要检验假设 拒绝域为： 或 因为 0 4.314 , 所以拒绝 , H = 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化． 10. 2 2 2 2 0 1 2 1 1 2 *2 1 0 1 *2 2 / 2 1 2 1 / 2 1 2 *2 *2 1 2 1 2 0.025 0.975 0.025 : , : , , ~ ( 1, 1 ( 1, 1) ( 1, 1), 10, 8, 40.96, 14.44, 1 (9,7) 4.82, (9,7) 0.283, (7,9) 40.9 H H S F H F F n S F F n n F F n n n n s s F F F F α α σ σ σ σ − = ≠ 2 = − − n ), ≥ − − ≤ − − = = = = = = = = 解 假设检验 用 检验法 当 为真时 统计量 或 由 得 0 6 2.837, 0.283 2.837 4.82, 14.44 , H . = < 显然 < 所以接受 认为抗折强度的方差没有显著差异 11.要检验的假设是 0 1 2 1 1 H : ;H : µ µ = ≠ µ µ2 ． 选取统计量 1 2 1 2 ~ ( 2) 1 1 w X Y t t n S n n − = + + n − ， 2 2 1 2 x y = = 25.5, 25.67,s s = 7.5, = 11.07 ， 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 3.05 2 w n s n s s n n − + − = = + − ， 4
样本观测值-235357-009 3.05 =0099×22281=1(n+n2-2), 故接受原假设,即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异. 12.H0:a=σ0=0.005,H1 0.005 选用统计量x2=(n-1)S2/a2(H0为真时)~x2(m-1), 2(n-1)=x0o02(9-1)=15507 故拒绝域为x215507, x2=(n-1)S2/a2=8×0072/00052=1568>15.507, 因而κ的观察值落入拒绝域之中,有理由拒绝H,认为在水平a=0.05下,这批导线的 标准差显著地偏大 13.H:“5种球的个数相等”,H1:“5种球的个数不等”。 由已知π=200,m=5,如果H正确。则每次抽得第i种球概率p=1/5。拟合优度检验法计算表为 P: nrnP.(nr P, , p 3 0.1 5 ∑ 200 0 计算出:x=∑-)=135 np 查x2分布表得x20(4)=9448因为1.35944,接受H,认为盒中5种球的个数相等
样本观测值 25.5 25.67 0.099 1 1 3.05 6 6 t − = ≈ + ， 1 2 2 t t 0.099 2 2281 (n 2) α = = σ 0.005， 选用统计量 为真时 2 2 2 0 χ σ = − （n S 1) / (H 2 ） （ ∼ χ n −1)， 2 2 0.005 n 1) 9 1) 15.507 χ χ α （ （ − = − = ， 故拒绝域为 ， 2 χ >15.507 2 2 2 2 2 χ σ = − （n S 1) / = 8×0.007 / 0.005 =15.68 >15.507 ， 因而 2 χ 的观察值落入拒绝域之中，有理由拒绝 H0 ，认为在水平α = 0.05下，这批导线的 标准差显著地偏大． 13. H0：“5 种球的个数相等”，H1：“5 种球的个数不等”。 由已知n=200,m=5，如果H0正确。则每次抽得第i种球概率 pi=1/5。拟合优度检验法计算表为： i ni n pi ˆ ni-n pi ˆ (ni-n ) pi ˆ 2 /n pi ˆ 1 2 3 4 5 35 40 43 38 44 40 40 40 40 40 -5 0 3 -2 4 0.625 0 0.225 0.1 0.4 ∑ 200 200 0 1.35 计算出： 1.35 ˆ ( ˆ ) 1 2 2 = − = ∑= m i i i i np n np χ 查 分布表得 。因为 1.35<9.448，接受H 2 χ ( ) 4 9.448 2 χ0.05 = 0，认为盒中 5 种球的个数相等。 5