第四章大数定理与中心极限定理 、教学要求 1.掌握切比雪夫不等式 2.了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论,理解其直观意义 3.掌握棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和列维一林德伯格叫心极限定理(独立同分布中 心极限定理)的结论和应用条件,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 本章重点:运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率 教学内容 §41大数定理 随机变量序列的收敛性 定义:(依分布收敛)设{Xn},Xn~Fn(x),X~F(x),若 lim F(x)=F(x)在F(x)的每个连续点上成立, 则称{Xn}依分布收敛于X,记为Xn→X 定义42:(依概率收敛)设{Xn},X,若 imP({xn-x|0,则称{Xn}依概率收敛于X,记为xn→x 两种收敛性的关系 若X→X,则X→X。反之不成立。 概率收敛的性质 (1)Xn Xn→>Y→P{X=Y} (2)X→X→cX→cX (3)Xn→X,Yn→Y→(Xn±n)→+(X±1) (4)Xn→X,Y→>Y→XYn→> Pg(x)连续 (5)Xn→>X→g(Xn)→)g(X) 证(5):由于g(x)连续,则对任意E>0,存在δ>0, 使当|Xn-Xkd时,|g(Xn)-g(X)kE,从而 l≥P(|g(Xn)-g(X)ke}≥P{Xn-Xko}→1
第四章 大数定理与中心极限定理 一、教学要求 1．掌握切比雪夫不等式． 2．了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论，理解其直观意义． 3．掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理(独立同分布中 心极限定理)的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率． 本章重点：运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率 二、教学内容 §4.1 大数定理 一、 随机变量序列的收敛性 定义：（依分布收敛）设{Xn }，X n～F（n x），X～F(x) ，若 lim F (x) F(x) n n = →∞ 在 F(x) 的每个连续点上成立， 则称{Xn }依分布收敛于 X , X X . L 记为 n → 定义 4.2：（依概率收敛）设{X n }，X ，若 lim { } − 0 →∞ P X X ε ε n n ，则称{Xn }依概率收敛于 X , X X . P 记为 n → 两种收敛性的关系： 若 X X ，则 。反之不成立。 P n → X X L n → 概率收敛的性质： （1） X X ， P n → X →Y ⇒ P{X = Y} = 1 P n （2） X X P n → ⇒ cX cX P n → （3） X X ， P n → Y Y (X Y ) (X Y ) P n n P n → ⇒ ± → ± （4） X X ， P n → Y Y X Y XY P n n P n → ⇒ → （5） X X P n → ( ) ( ) ( ) g X g X P n g x ⇒ → 连续 证（5）：由于 g(x) 连续，则对任意ε > 0，存在δ > 0 ， 使当 | X − X |< δ , | g (X ) − g (X ) |< ε n 时 n ，从而 1 ≥ P{| g(X n ) − g(X ) |< ε} ≥ P{| X n − X |< δ} →1
ap lim Pilg(Xn)-g(Xka=1 、大数定理 定义41设{Xn}记Yn=∑X,若存在{an}有 imP日Yn-anks}=1VE>0 则称{Xn}服从大数定理。 定理41(切比谢夫大数定理)设{Xn}两两不相关且方差 有界,即DX,≤C,Vm,则有 lim p SE0 证明:{Xn}两两不相关,故有 X C ∑X l≥P 即limP ∑X EX|<E}=1 定理45(辛钦大数定理)设{Xn}独立同分布且EX1= 则有 1∑x,→ 证明:因为∑Ex,=1所以∑x,→ 该定理表明:∑x,具有稳定性 定理43(贝努里大数定理)设Hn是n重贝努里试验中事件
即 lim {| ( ) − ( ) | 0 →∞ ε ε n n n P Y a 则称{Xn }服从大数定理。 定理 4.1 (切比谢夫大数定理) 设{Xn }两两不相关且方差 有界,即 DXn ≤ C ,∀n, 则有 1 0 1 1 lim 1 1 = ∀ > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ − ∑ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ − ∑ < = = →∞ ε ε n i i n i i n EX n X n P 定理 4.5 (辛钦大数定理) 设{Xn }独立同分布且 EXi = µ ， 则有 ∑= → n i P Xi n 1 1 µ 证明：因为 ∑= = n i EXi n 1 1 µ 所以 ∑= → n i P Xi n 1 1 µ 该定理表明： ∑= n i Xi n 1 1 具有稳定性。 定理 4.3 (贝努里大数定理) 设 µ n 是 n 重贝努里试验中事件
A出现的次数,p是每次试验中A出现的概率,则有 A的频率:出n 证明:引入 1第次试验出现A i=1,2, 0第i次试验不出现4 X1+X,+…+X 考察{Xn}:(1){Xn}独立,则两两不相关; X:0 1 EX, =p (2) pp DX1=p(1-p) 故{Xn}满足定理41的条件,由定理41得 lim p EX 0 1m-+10 此外由于:n~B(m,P) X Dan=D∑X=∑Dx,=m(1-p) 定理44(泊松大数定理)设n是n重贝努里试验中事件 A出现的次数,Pk是第k次试验中A出现的概率,则有 I Va>0 nn 证明与定理43类似 例41设{Xn}独立同分布且EX1=4,DXn=σ2均存在 证明Y iX n(n+1)
A 出现的次数，p 是每次试验中 A 出现的概率，则有 A 的频率： P n n → µ p 证明：引入 ⎩ ⎨ ⎧ = i A i A Xi 第 次试验不出现 第 次试验出现 0 1 i = 1，2，""，n ∑= = + + + = n i n X X X n Xi 1 µ 1 2 " 考察{Xn }：（1）{Xn }独立，则两两不相关； （2） 1 (1 ) 0 1 p p p DX p p X EX p i i i − = − = ： ： 故{Xn }满足定理 4.1 的条件，由定理 4.1 得 1 0 1 1 lim 1 1 = ∀ > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ − ∑ 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ∑ < = →∞ ε ε µ n k k n n p n n P 证明与定理 4.3 类似. 例 4.1 设{Xn }独立同分布且 EXi = µ , 均存在, 2 DX n = σ 证明: µ n P i n i iX n n Y → + = ∑=1 ( 1) 2
证明:EY iEX I=A n(n+1)i n(n+1) DF=(2 )∑DX=n(n+ 切+p2:3 3n(n+1) 12P{n-A0
2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 3 ( 1) 2(2 1) ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 σ σ µ µ + + = + = + = = + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = n n n i n n i DX n n DY i n n iEX n n EY n i n i n i n i n i n i （ ） 证明： 1 ≥ { } − µ 0 →∞ µ ε ε n n P Y