第三章随机变量的数字特征 教学要求: 1、掌握随机变量的数学期望和方差的概念、性质及计算; 掌握随机变量函数的期望 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布的 期望与方差;熟练掌握正态分布的标准化及有关概率计算 4、理解协方差、相关系数的概念;掌握它们的性质及计算; 5、了解k阶原点矩,中心矩与协方差阵的概念;了解它们的性质及计算。 本章重点:随机变量的数学期望和方差,协方差、相关系数的性质及计算; 教学内容 §31随机变量的数学期望 离散型:设X~P{X=x}=P 定义3.1:X的数学期望(或均值)为: E(X)=∑xP1=xP1+x2P2 其中∑xP绝对收敛。否则称E(X)不存在 说明:E(X)表示X所取的平均值。 例31:设X~B(n,P),E(x 例32:设X~P(4),求E(X) 解:P{ h e =1 所以E(X)= 例3.3:设X~P{X=k}=qp,k=1,2,…E(X)
第三章 随机变量的数字特征 一、教学要求： 1、 掌握随机变量的数学期望和方差的概念、性质及计算 ； 2、 掌握随机变量函数的期望 ； 3、熟记 0—1 分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布的 期望与方差 ；熟练掌握正态分布的标准化及有关概率计算 ； 4、理解协方差、相关系数的概念 ；掌握它们的性质及计算 ； 5、了解 k 阶原点矩,中心矩与协方差阵的概念 ；了解它们的性质及计算 。 本章重点：随机变量的数学期望和方差，协方差、相关系数的性质及计算 ； 二、教学内容 §3.1 随机变量的数学期望 一． 离散型：设 X P{X = x } = p , i = 1,2,". ～ i i 定义 3.1：X 的数学期望（或均值）为： ( ) . 1 1 2 2 1 = ∑ = + +" ∞ = E X x pi x p x p i i 其中 i 绝对收敛。否则称 不存在。 i ∑xi p ∞ =1 E(X ) 说明： E(X ) 表示 X 所取的平均值。 例 3.1： 设 X～B(n, p) , E(X ) = np 例 3.2： 设 X～P(λ)，求 E(X ) 解： 0,1," ! { = } = = − e i i P X i i λ λ λ λ λ λ λ − ∞ = − − +∞ = ⋅ − = ∑ ⋅ = ∑ e i e i E X i i i i i 1 1 0 ! ( 1)! ( ) λ λ λ λ λ λ λ = ⋅ = ⋅ = − − ∞ = = − ∑ e e e k k k k i 0 1 ! 所以 E(X ) = λ 。 例 3.3：设 p X P X k q p k E X k 1 { } , 1,2, . ( ) 1 = = = = ～ − "
解:E(X)=∑p 二.连续型 定义32:设X~p(x),Ⅹ的数学期望(或均值)定义为: E(X) 其中积分绝对收敛,否则称E(X)不存在。 例34:设X~N(,a2) 例3.5:设X~Exp(),则E( 例36:设X~U[a,b],则E(X) a+b 例37:设X~I(a,B),即 B 0 x~p(x)={r( x≤0 求E(X) 解:E(X)=|xp(x)d Br( 其中(a) r(a+1)=a(a).(1) 三.随机变量函数的数学期望 离散型:设X~P{X=x}=P1,i=12 则Y=f(X)的数学期望为 (Y)=E[(X=∑f(x)p 连续型:设X~Px(x)
解： q p p q q E X kq p p q p k k k k 1 (1 ) 1 1 ( ) 2 1 1 1 = − = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =∑ = ∑ ∞ = ∞ = − 二． 连续型 定义 3.2：设 X ~ p(x) ，X 的数学期望（或均值）定义为： E(X ) xp(x) dx ∫ +∞ −∞ = 其中积分绝对收敛，否则称 E(X ) 不存在。 例 3.4：设 ( , ) ，则 2 X～N µ σ E(X ) = µ 例 3.5：设 X～Exp(λ) ， 则 λ 1 E(X ) = 例 3.6：设 X～U[a,b] ， 则 2 ( ) a b E X + = 例 3.7：设 X～Γ(α, β ) ，即 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = Γ − − 0 , 0 , 0 ( ) ( ) 1 x x e x X p x α βx α α β ～ 求 E(X ) 解： ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 E X xp x dx x e d x x β β β α α −β +∞ +∞ −∞ Γ = = ∫ ∫ t e dt t t x − = +∞ ∫ Γ = α β β α 0 ( ) 1 = β α β α α α β α α = Γ Γ = Γ Γ + ( ) ( ) ( ) ( 1) 。 其中 ∫ ， +∞ − − Γ = 0 1 ( ) x e dx α x α Γ(α +1) =αΓ(α), Γ(1) = 1 三． 随机变量函数的数学期望 离散型：设 X P{X = x } = p , i = 1,2,". ～ i i 则Y = f (X ) 的数学期望为： ∑ ∞ = = = 1 ( ) [ ( )] ( ) i i pi E Y E f X f x 连续型：设 X～pX (x)
则Y=f(Xx)的数学期望为 E(Y)=E[(X)]=If(x)Px(x)dx= ypr (y)dy 例3.8:设X~N(0,1),求E|X|。 解:E|XF=|x|p(x)d=」|x|-=e2dx 所以 E|X|= 推广到Z=f(X,Y)的数学期望。 离散型:设(X,Y)~PX=x,Y=y}=P1,1,j=12 则Z=f(X,Y)的数学期望为: E(Z)=E(X,=∑∑∫(x2,y)P1 连续型:设(x,Y)~p(x,y), 则Z=f(X,)的数学期望为 E(Z=EL(X, Y) f(x,yp(x, y) dxdy 特别E(X)=「∫x(xy)dh E(Y)=∫∫yp(xyoh 例39:设X,Y独立,且 X~N(0.1),y~N(0,1),求E(√X2+y2) 解:E(√X2+2)= y p(x, y) dxdy
则Y = f (X ) 的数学期望为： E Y E f X f x p x dx yp y dy X Y ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = = 例 3.8：设 X～N(0,1) ，求 E | X |。 解： E X x p x dx x e dx x 2 2 2 1 | | | | ( ) | | − +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ = = π = π π π 2 [ ] 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 = − = +∞ − − +∞ ∫ x x x e e 所以 π 2 E | X |= 。 推广到 Z = f (X ,Y ) 的数学期望。 离散型：设(X ,Y ) P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,". ～ i j i j 则 Z = f (X ,Y ) 的数学期望为： ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 ( ) [ ( , )] ( , ) . i j i j pi j E Z E f X Y f x y 连续型：设(X ,Y )～p(x, y) ， 则 Z = f (X ,Y ) 的数学期望为： E(Z) E[ f (X ,Y)] f (x, y) p(x, y) dxdy ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = 特别 ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(X ) = xp(x, y) dxdy ∫ ∫ 。 +∞ −∞ +∞ −∞ E(Y) = yp(x, y) dxdy 例 3.9：设 X,Y 独立，且 (0,1), (0,1) , ( ) 2 2 X～N Y～N 求 E X + Y 。 解： ( ) 2 2 E X + Y = ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ x + y p(x, y) dxdy 2 2
√x2+y2p2(x)1(y)ddh= dxdy 其中x= rose,y= rain, dxdy= drdo 四、数学期望的性质 性质 (1)E(C)=C,C为常数。 (2)E(CX)=CE(X) E(∑a1X)=∑aE(X) 特别E(X1±X2)=E(X1)±E(X2) (4)设X,Y相互独立,则有E(YY)=E(X)E(Y) 证明:E(X)=「「xp(x,y)dd xypx(x)py (y) dxdy ∫x:(x)d∫m(y)d=E(x)E(Y) 五、应用举例 例3.10:公共汽车起点站分别于每小时的10分,30分和55分钟发车 设乘客不知道发车时间,在每小时内随机到达车站,求乘客 车站的平均等候时间。 解:设乘客到达时刻为X,则X~U[0,60] Y为乘客等候的时间,则有 10-X ,0≤X<10 30-X Y=f(x)=155-X 10≤X<30 30≤X<55 60-X+10,55≤X<60
= ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ x + y p x p y dxdy X Y ( ) ( ) 2 2 = x y e dxdy ( x y ) 2 1 2 2 2 2 2 1 − + +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ + ⋅ π = θ π π r e drd r 2 2 2 0 0 2 2 1 − +∞ ∫ ∫ = 2 2 2 2 0 2 π = − +∞ ∫ r e dr r 其中 x = r cosθ , y = rsinθ , dxdy = rdrdθ 四、 数学期望的性质 性质： （1） E(C) = C, C 为常数。 （2） E(CX ) = CE(X ) ， 3 ( ) ( ) 1 1 i n i i i n i E ∑aiX ∑a E X = = （ ） = 特别 ( ) ( ) ( ) E X1 ± X2 = E X1 ± E X2 （4）设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) = E(X )E(Y ) 证明： = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(XY) = xyp(x, y) dxdy +∞ −∞ +∞ −∞ xyp x p y dxdy X Y ( ) ( ) = xp x dx yp y dy = X Y ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(X )E(Y ) 五、应用举例 例 3.10：公共汽车起点站分别于每小时的 10 分，30 分和 55 分钟发车， 设乘客不知道发车时间，在每小时内随机到达车站，求乘客 在车站的平均等候时间。 解： 设乘客到达时刻为 X ，则 X～U[0,60]， Y 为乘客等候的时间，则有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ≤ < − ≤ < − ≤ < − ≤ < = = 60 10 , 55 60 55 , 30 55 30 , 10 30 10 , 0 10 ( ) X X X X X X X X Y f X
E(r)=EI(X)]= f(x)P(x)dx 1003m= =10分25秒 例3.11:r个人在一楼进入电梯,楼上有n层,设每个乘客在任何 一层下电梯的概率相同,试求直到电梯中的乘客出空为止 时,电梯需停次数的数学期望(有人下电梯才停)。 解:设X;= ∫1,电梯在第层停 i=1,2 0,电梯在第层不停 P{X2=0} Ptx=l}=1-(-1) 设X表示电梯停的次数,则X=∑x E(X)=E(∑X)=∑EX=∑(1 (n-1 n[l 令r=25,n=9则:E(X)=8.5269次
∫ +∞ −∞ E Y = E f X = f x p x dx X ( ) [ ( )] ( ) ( ) = ∫ ∫ ∫ ∫ − + − + − + − 55 30 60 55 30 10 10 0 60 (70 ) 60 (55 ) 60 (30 ) 60 (10 ) dx x dx x dx x dx x =10 分 25 秒 例 3.11：r 个人在一楼进入电梯，楼上有 n 层，设每个乘客在任何 一层下电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止 时，电梯需停次数的数学期望（有人下电梯才停）。 解： 设 1,2, , . 0 1 , i n i i Xi = " ⎩ ⎨ ⎧ = ， ，电梯在第 层不停 电梯在第 层停 r r i n n P X ( 1) { 0} − = = r r i n n P X ( 1) { 1} 1 − = = − 设 X 表示电梯停的次数，则 ∑= = n i X Xi 1 ] ( 1) ) [1 ( 1) ( ) ( ) (1 1 1 1 r n r i r n r i i n i i n n n n n E X E X EX − = − − = ∑ = ∑ = ∑ − = = = 令 r=25, n=9 .则：E(X) = 8.5269 次
