§23随机变量的函数及其分布 、一个随机变量的函数的分布 例如:已知分子运动速度V的分布,要求分子 动能E=p2的分布。即求E的分布 问题:已知:X的分布,求:Y=f(X)的分布 1.离散型: 已知X~P{X=x}=P,=1,2,…,求Y=f(X)的分布律。 例217 0 p|l5101/03103/10 求F=X2的分布律 解:(1)列表计算 p /51/101/103/103/10 0 3 0 (2)所求分布律为 Y 0 4 /103/10 3/10 PY=0=PX=0=PX=0)=h10 P{Y=1}=P{X=1}=P{X=-1}+P{X=1}=1/5+1/10=3/10 2.连续型 已知X~Px(x),求Y=f(X)的密度函数Py(y) 例2.18:若y=f(x)为单调函数,其反函数为x=h(y), 则有:P1(y)=PAOy)(y
§2.3 随机变量的函数及其分布 一、 一个随机变量的函数的分布 例如：已知分子运动速度V 的分布，要求分子 动能 2 2 V m E = 的分布。即求 E 的分布。 问题：已知： X 的分布， 求：Y = f (X ) 的分布。 1. 离散型： 已知 X～P{X = xi } = pi , i = 1,2,",求Y = f (X ) 的分布律。 例 2.17： X -1 0 1 2 3 p 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 求 2 Y = X 的分布律。 解：（1）列表计算 p 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3 2 X 1 0 1 4 9 （2）所求分布律为： Y 0 1 4 9 p 1/10 3/10 3/10 3/10 10 P{Y = 0} = P{X 2 = 0} = P{X = 0} = 1 { 1} { 1} { 1} { 1} 1/5 1/10 3/10 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = 2. 连续型 已知 X～pX (x) ，求Y = f (X ) 的密度函数 pY ( y) 。 例 2.18：若 y = f (x) 为单调函数，其反函数为 x = h( y) ， 则有: p ( y) p [h( y)] h'( y) Y = X
证明: F1(y)=P{Y≤y}=P{f(X)≤y P{X≤h(y)},f(x)>0 (X≤y,X≤ P{X≥h(y)},f(x)0 Pr(x)dx, h' )0 Pr[h(]h'(),h()<0 Px[h(olh(l 推广:若y=f(x)在区间l1,l2上均单调,反函数分别为 x=h,(),x=h() 则P(y)=p(点(y)+P2D(Oy 进一步可以推广到有限个区间情形。 例2.19:设XN(O,),求Y=X2的密度函数P3(y)。 解:y=x2在(-∞,0],(0,+∞)上单调,反函数为 x 则有P1()=P(√)k-+P()k p(√,+P1(), y 当y≤0时,F(y)=0,P2(y)=0 P2(y) 例220:设XN(,a2),则Y=aX+b~N(a+b,a2a2)
证明： F ( y) P{Y y} P{ f (X ) y} Y = ≤ = ≤ = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ − { ( )}, '( ) 0 ( , ln ) { ( )}, '( ) 0 ( , ) 3 3 P X h y f x e y X y P X h y f x X y X y x = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∫ ∫ +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) , '( ) 0 ( ) , '( ) 0 h y X X h y p x dx h y p x dx h y ⎩ ⎨ ⎧ − = = [ ( )] '( ) , '( ) 0 [ ( )] '( ) , '( ) 0 ( ) ( ) ' p h y h y h y p h y h y h y p y F y X X Y Y = p [h(y)] h'(y) X 推广：若 y = f (x) 在区间 I1,I2 上均单调，反函数分别为 x = h 1(y), x = h2 ( y) ， 则 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ' 2 2 ' 1 1 p y p h y h y p h y h y Y = X + X 进一步可以推广到有限个区间情形。 例 2.19：设 X～N(0,1) ，求 2 Y = X 的密度函数 p ( y) 。. Y 解： 在 上单调，反函数为 2 y = x (−∞,0] , (0,+∞) x = − y, x = y, 则有 p ( y) p ( y ) ( y )' p ( y ) ( y )' Y = X − − + X = , 0 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 − + = > − e y y y p y y p y y X X π 当 y ≤ 0 时， F ( y) = 0, p ( y) = 0 Y Y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = − , 0 2 1 0 , 0 ( ) 2 e y y y p y y Y π 例 2.20：设 ( , ), 则 2 X～N µ σ ( , ) 2 2 Y = aX + b～N aµ + b a σ
即正态变量的线性函数仍为正态变量 留作练习 、两个随机变量的函数的分布 1.离散型 设(x,)P{x=x,Y=y}=P 求Z=f(X,Y)的分布律 解法:Z= PiZ=I=PIf(X, Y) PX 例221:设X1,H2独立,且X1~P(气),X2~P(2) 求Z=X1+X2的分布律 解:z=0,,2, PIZ=k=P(X+ X,=k) P{X1=0,X2=k}+P{X1=1,X2=k-1}+…+P{X1=k,X2=0} k-}=∑PX1=lP A u k C列 2) 即Z~P(A1+2)—泊松分布具有可加性 2.连续型 设(X,Y)p(x,y),求Z=f(X,)的p2(=) (1)随机变量和的分布 知(X,Y)p(x,y),求Z=X+的p2(=)
即正态变量的线性函数仍为正态变量。 留作练习。 二、两个随机变量的函数的分布 1． 离散型 设 (X ,Y )～P{X = xi ,Y = y j } = pi j , i, j = 1,2," 求 Z = f (X ,Y) 的分布律。 解法： Z = z1,z2 ,"zk ," { } { ( , ) } { , } ( , ) j f x y z k k i P Z z P f X Y z P X x Y y i j k = = = = ∑ = = = k = 1, 2,"" 例 2.21：设 X1, X2 独立，且 ( ), ( ) X1 ～P λ1 X2～P λ2 ， 求 Z = X1 + X2 的分布律 解： Z = 0,1,2,"" { } { } 1 2 P Z = k = P X + X = k = { 0, } { 1, 1} { , 0} P X1 = X2 = k + P X1 = X2 = k − +"+ P X1 = k X2 = = { , }= 2 0 1 P X i X k i k i ∑ = = − = ∑= = = − k i P X i P X k i 0 1 2 { } { } = 1 2 ! ( )! 1 2 0 λ λ λ −λ − − = − ∑ • e k i e i k i k i i = i k i k i i k i k k e − = − + ∑ − 1 2 0 ( ) !( )! ! ! 1 2 λ λ λ λ = i k i k i i Ck k e − = − + ∑ 1 2 0 ( ) ! 1 2 λ λ λ λ = 1 2 ( ) 1 2 ! ( ) λ + λ − λ +λ e k k 即 ( ) Z～P λ1 + λ2 .——泊松分布具有可加性 2． 连续型 设(X ,Y )～p(x, y) ，求 Z = f (X,Y)的 pZ (z) 。 （1） 随机变量和的分布 已知(X,Y) p(x, y) , Z X Y p (z). ～ 求 = + 的 Z
解: F2(=)=P{z≤ =P(X+Ys:)=p(x,y)drdy ∫a∫(x,y)=「d∫p(x,y) P2()=F2()=p(x,z-x) 特别当XY独立时,有 P()=p2(x)(2-x)dt=px(2-y)p1(y)d 练习推导: (1)Z=X-Y (2)Z=aX+Y,a>0 例222设XN(,2),yN(,a2),且X与Y独立。 求Z=X+Y的密度P2(=)。 解:P2()=」P2(x)p1(=-x)ar 1(xgx21-(-2-2 O √2丌o dt 丌(G/√2 即z~N(y12a2) (2)随机变量商的分布
解： F (z) P{Z z} Z = ≤ = P{X + Y ≤ z} = p x y dxdy x y z ( , ) + ≤ ∫∫ = = ∫ ∫ +∞ −∞ − −∞ z x dx p(x, y) dy dy p x y dx z y ( , ) ∫ ∫ − −∞ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ p z = F z = p x z − x dx Z Z ( ) ( ) ( , ) ' = p(z − y, y) dy ∫ +∞ −∞ 特别当 X,Y 独立时，有： p z p x p z x dx = Z X Y ( ) = ( ) ( − ) ∫ +∞ −∞ p z y p y dy X Y ( − ) ( ) ∫ +∞ −∞ 练习推导： （1） Z = X − Y （2） Z = aX + Y , a > 0 （3） Z = X + bY ,b > 0 例 2.22：设 ( , ), ( , ) ，且 X 与 Y 独立。 2 2 X～N µ σ Y～N µ σ 求 Z X Y p (z) = + 的密度 Z 。 解： p z p x p z x dx Z X Y ( ) = ( ) ( − ) ∫ +∞ −∞ = e e dx x z x 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 σ µ σ µ πσ πσ − − − − − +∞ −∞ ⋅ ∫ e e dt z t z t x 2 2 2 2 2( / 2 ) ) 2 2 ( 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( / 2) 1 2 ( 2 ) 1 σ µ σ µ µ π σ π σ − − ∞ − + −∞ − = − − ∫ = = 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 σ µ π σ − − z e 即 (2 ,2 ). 2 Z～N µ σ （2） 随机变量商的分布
已知(X,Y)p(x,y),求2 的P2(=)。 解:F()=Pz≤;=P下52}=pxy x/ys: d(x,y)+∫dJmx,y)d P()=F2(2)=-p(,y)y中+p(,y)d ∫川以(,y)d (3)关于极值分布 已知:XY独立且X~Fx(x),Y~F1(y) 求:①M=max{X,Y}的分布函数 ②N=min{X,Y}的分布函数 解:①FM(z)=P{M≤}=P{max{X,}≤ =P{X≤=,Y≤}=P{X≤=}P{Y≤=} Fx(=)F1(=) 所以F(=)=Fx(=)F() ②F(2)=P{N≤+}=P{mn{X,y}≤} 1-P{min{X,}>+}=1-P{X>,}>-} =1-P{X>x}P{Y>=}=1-(1-P{X≤=}1-P{Y≤+}) 1-(1-Fx(=)(1-F(z)) 所以FN(=)=1-(1-Fx(=)1-F1() 特别若XY独立同分布,即X~F(x),Y~F(y) 则有:F()=(F(=)2,FN(=)=1-(1-F(=)
已知(X ,Y )～p(x, y) ，求 Y X Z = 的 pZ (z) 。 解： ( ) { } { z} Y X FZ z = P Z ≤ z = P ≤ = p x y dxdy x y z ( , ) / ≤ ∫∫ = dy p x y dx dy p x y dx zy zy ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ −∞ + 0 0 ( , ) ( , ) ∫ ∫ −∞ +∞ = = − + 0 0 ' p (z) F (z) p(zy, y) y dy p(zy, y) y dy Z Z = y p(zy, y) dy ∫ +∞ −∞ (3) 关于极值分布 已知：X,Y 独立且 X～FX (x), Y～FY (y)， 求：① M = max{X ,Y}的分布函数。 ② N = min{X ,Y} 的分布函数。 解：① F (z) P{M z} P{max{X,Y} z} M = ≤ = ≤ = P{X ≤ z,Y ≤ z} = P{X ≤ z}P{Y ≤ z} = F (z)F (z) X Y 所以 F (z) F (z)F (z) M = X Y ② F (z) P{N z} P{min{X,Y} z} N = ≤ = ≤ =1− P{min{X ,Y} > z}=1− P{X > z,Y > z} =1− P{X > z}P{Y > z} =1− (1− P{X ≤ z})(1− P{Y ≤ z}) =1 (1 F (z)(1 F (z)) − − X − Y 所以 F (z) 1 (1 F (z))(1 F (z)) N = − − X − Y 特别若 X,Y 独立同分布，即 X～F(x), Y～F( y) 则有： 2 2 F (z) (F(z)) , F (z) 1 (1 F(z)) M = N = − −
推广:若X1,X2…,X独立且每个X;F(x)(或p(x)。 令M=max{x1,2…Xn} N=min{x1,X2,…,Xn} 则有 Fu(2)=[F(x)”FN(=)=1-(1-F() 且P(z)=FM(z)=n(F(z)F()=m(F(=)”p() P(z)=FN(z)=m(1-F(z)F(z)=m(1-F(z)”p(z) 例223:设XY独立同分布,且 P{X==1,=123 求M=max(x,Y),N=min(X,Y)的分布律。 解:M=1,2,3 P{M=1}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=1/3×1/3=1/9 P{M=2}=P{X=2,Y=1}+P{X=1,y=2}+P{X=2,=2 333333 PM=3=1-P1M=1-P{M=2}=5 2 5/9 求N的分布律留作练习。 例224:设系统L由独立的子系统L,L2串联而成,已知 L1的寿命X~Bxp(a),a>0,L的寿命y~Exp(B),B>0 求系统L的寿命Z的分布。 解:由题意L的寿命Z=min(X,F) p(x)={a°,x>0
推广：若 X1, X2 ,", Xn 独立且每个 Xi ～F(x) (或 p(x)) 。 令 max{ , , , } M = X1 X2 " Xn min{ , , , } N = X1 X2 " Xn 则有 n N n M F (z) = [F(z)] F (z) = 1− (1− F(z)) 且 ( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( )) ( ) ' 1 1 p z F z n F z F z n F z p z n n M M − − = = = ( ) ( ) (1 ( )) '( ) (1 ( )) ( ) ' 1 1 p z F z n F z F z n F z p z n n N N − − = = − = − 例 2.23：设 X,Y 独立同分布，且 , 1,2,3 3 1 P{X = i} = i = 求 M = max(X ,Y ) , N = min(X ,Y ) 的分布律。 解： M=1，2，3 P{M =1} = P{X =1,Y =1} = P{X =1}P{Y =1} =1/3×1/3 =1/ 9 P{M = 2} = P{X = 2,Y = 1} + P{X = 1,Y = 2}+ P{X = 2,Y = 2} 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = × + × + × = 9 5 P{M = 3} = 1− P{M = 1}− P{M = 2} = M 1 2 3 p 1/9 3/9 5/9 求 N 的分布律留作练习。 例 2.24： 设系统 L 由独立的子系统 L1,L2 串联而成，已知 L1的寿命 X～Exp(α), α > 0 ， L2 的寿命Y～Exp(β ), β > 0 求系统 L 的寿命 Z 的分布。 解：由题意 L 的寿命 Z = min(X ,Y ) ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0 , 0 , 0 ( ) x e x p x x X α α
F2(x)=∫P1(x)d ae-ax, x>01- x>0 ≤0 0 x0 F2(2)=1-(1-F2()-F()=0 z≤0 P2(=-)=F(二)= J(a+ B)e-ta+p)5, =>0 ≤0 即z=min(X,)Exp(a+B)
⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = = − − −∞ ∫ ∫ 0 0 1 0 0 , 0 , 0 ( ) ( ) 0 x e x x e dx x F x p x dx x x x X x X α α α 同理 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0 0 1 0 ( ) y e y F y y Y β 故 Z 的分布函数为： ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > = − − − = − + 0 0 1 0 ( ) 1 (1 ( ))(1 ( )) ( ) z e z F z F z F z z Z X Y α β ⎩ ⎨ ⎧ ≤ + > = ′ = − + 0 , 0 ( ) , 0 ( ) ( ) ( ) z e z p z F z z Z Z α β α β 即 Z = min(X ,Y )～Exp(α + β )