§13随机事件的概率 概率的统计定义 若事件A在n次试验中出现了m次,称一为A出现的频率。 频率的特点:1、可通过实验来计算;2、具有稳定性。 例12.掷硬币试验:A={出现正面} 表1—2掷“硬币”试验结果 实验者 掷次数n 出现“正面”次数m 频率 德莫根 2048 1061 518 浦丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 A的频率一→0.5,当n 定义:P(A)=0.5 定义12(概率统计定义): 若A的频率"一分大以某种方→p,则定义A的概率P(A)=P 性质1.1 1.VA,0≤P(A)≤1 2.P()=1,P(①)=0 3.若A1,A2 An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An=P(A1)+P(A2)+…+P(An 概率的古典概型定义 古典概型:随机试验满足: 1)样本点有限个; 2)样本点两两互斥; 3)样本点等可能出现
§1.3 随机事件的概率 一． 概率的统计定义 若事件 A 在 n 次试验中出现了 m 次，称 n m 为 A 出现的频率。 频率的特点：1、可通过实验来计算；2、具有稳定性。 例 1.2. 掷硬币试验： A={出现正面} 表 1—2 掷“硬币”试验结果 实验者 掷次数 n 出现“正面”次数 m 频率 n m 德莫根 2048 1061 0.518 浦 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 A 的频率 n m →0.5，当 n→ ∞ ，定义： P(A) = 0.5。 定义 1.2（概率统计定义）： 若 A 的频率 n m ⎯n ⎯充分大⎯( ⎯以某种方式 ⎯⎯⎯) → p ，则定义 A 的概率 P(A) = p 。 性质 1.1： ¾ 1. ∀A, 0 ≤ P(A) ≤1； ¾ 2. P(Ω) = 1, P(Φ) = 0. ¾ 3. 若 ， ，……， 两两互斥，则 P +…… )=P( )+P )+……+P( ); 古典概型： 随机试验满足： 2) 样本点两两互斥； 3) 样本点等可能出现。 A1 A2 An ( A1+ A2 + An A1 ( A2 An 二、 概率的古典概型定义. 1) 样本点有限个；
定义1.3:(概率古典定义) A包含样本点的个数m 包含样本点的个数n 如掷一枚骰子 9={12,3,4,5,6};A={1,3,5};则P(A)=2=0.5; 6 例1.3.有100件产品,其中3件次品,从中任取5件 求概率 A={5件中恰有一件次品} B={5件中至多有一件次品 解:n=C10m1=C(0所以BCC 所以P(B) 0.994 n(n-1).(n-m+1) m!(n-m)! 性质1.2: (1)对任意A0≤P(A)≤1 (2)P(9)=1;P(中)=0; (3)P∑4)=∑P(A4) 注意:∑A1与∪A的区别 三、概率的几何概型定义 例1.4:向9中任意投一点,求该点落在A中。 设:(1)该点等可能的落在Ω内 (2)落在A中的可能性只和A的几何度量(面积)
定义 1.3：（概率古典定义） n A m P A = Ω= 包含样本点的个数 包含样本点的个数 ( ) 如掷一 .5 枚骰子： Ω = {1,2,3,4,5,6}； A = {1,3,5}；则 P(A) 0 6 = = 3 ； 例 1.3 产品，其中 3 件次品，从中任取 5 件， B={5 件中至多有一件次品}； 解： 所以 ．有 100 件 求概率： A={5 件中恰有一件次品}； 5 n=C100 4 97 1 mA =C3C ( ) 0.138 5 100 4 97 1 3 = = C C C P A ； ； 所以 4 97 1 3 5 mB =C97 +C C ( ) 0.994 5 100 4 97 1 3 5 97 = + = C C C C P B ； !( )! ! ! ( 1) 1) m n m n m n n n m C m n − = − … − + = （ 性质 1 对 （2） P(Ω)=1; P(Φ)=0; （3） . 注意： i n ∑ Ai A 意投一点，求该点落在 A 中。 设：（ （2） （面积） .2： （1） 任意 A 0≤P(A)≤1； ∑ ∑ = = = n i i n i P Ai P A 1 1 ( ) ( ) 与 ∪ 的区别 n i =1 i =1 三、 概率的几何概型定义 例 1.4：向Ω中任 Ω 1） 该点等可能的落在Ω 内； 落在 A 中的可能性只和 A 的几何度量 A
有关,而与A的形状和位置无关。 记A={该点落在A中},则 P(A)=A的面积 g的面积 m 定义15(概率几何定义):P(4)=mA 其中m(A)表示A的几何量度。 m(A)规定:(1)一维区域一长度 (2)二维区域一面积 (3)三维区域体积 性质1.3 1)VA,0≤P(A)≤ 正则性 2)P(9)=1,P(d)=0 3)P∑A)=∑P(A)}完全可加性 例1.5:甲乙两人相约8点到9点之间在某地会面,先到者 等候另一人20分钟后方可离去,求两人能会面的概率。 解: 设x,y表示两人到达的时刻 g2:0≤x≤60,0≤y≤60 两人能会面的充要条件为 20 所求概率为 P4)=m(4 602-2×2×40 0.56 四、概率的公理化定义 定义1.7(概率公理化定义):设事件A∈F(事件域),P(A)为实值集函数,若P(A)满
有关，而与 A 的形状和位置无关。 记 A = {该点落在 A中}, 则 ( ) ( ) ( ) Ω = Ω= m A m A P A 的面积 的面积 ； 定义 1.5（概率几何定义）： m(Ω) ( ) ( ) = m A P A 其中 规定 （2） （3）三维区域 -- 体积； 性质 1.3： 正则性 ∑ ∑ ∞ ∞ P A = P Ai }完全可加性 例 另一人 20 分钟后方可离去，求两人能会面的概率。 解： 设 x，y 表示两人到达的时刻. m(A)表示 A 的几何量度。 m(A) ：（1）一维区域 -- 长度； 二维区域 -- 面积； ⎭ ⎬ ⎫ Ω = Φ = ∀ ≤ ≤ 2) ( ) 1, ( ) 0 1) , 0 ( ) 1 P P A P A 3) ( ) ( ) i=1 i=1 i 1.5：甲乙两人相约 8 点到 9 点之间在某地会面，先到者 等候 Ω: 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 60; 两人能会面的充要条件为： A： x − y ≤ 20. 所求概率为： 0.56 60 40 2 1 60 2 m(Ω) ( ) ( ) 2 2 2 = − × × = = m A P A 定义 1.7 率公理化定义）：设事件 四、概率的公理化定义 （概 A∈F（事件域），P(A)为实值集函数, 若 P(A)满足：
1.VA∈F,0≤P(A) P()= P∑4)=∑P(4) 则称P(A)为F上的概率。并称三元总体(9,F,P)为概率空间 性质 )P(Φ)=0 P∑4)=∑P(A) (3)P(A) 证明:A+A=9P(A)+P(A)=1 证毕 应用:P(4)=1-P(A) BCA P(A-B)=P(A)-P(B),且P(B)≤P(A); 证明:A=AB+(A-B) 所以P(A)=P(AB)+P(A-B) 若BcA,则AB=B,故P(A-B)=P(A)-P(B (5)P(山∪B)=P(4)+P(B)-P(AB) 证明:A∪B=AB+AB+AB P(AUB)=P(AB)+P(AB)+P(AB P(A-P(AB)+ P(B)-P(AB)+P( P(A)+P(B)-P(AB) 例1.6:袋中有N-1个黑球和1个白球,每次随机摸出1球, 并换入1黑球,求:第k次摸到黑球的概率
1.∀ ≤ P P(Ω) = 1 A∈ F, 0 (A) ≤ 1 ； 2. 1 1 ； = i= i i 则称 P 3. (∑ ) ∑ ( ) ∞ ∞ P Ai = P A 。 (A)为 F 上的概率。并称三元总体(Ω, F, P) P(Φ) = 0 为概率空间。 性质 1.4 ： （1） ； （2） ∑ ∑= = n i i n P Ai P A ； （3） ( ) ( ) i=1 1 A + A = Ω P(A) + P(A) =1 P(A) = 1− P(A) ； 证明： ； 证毕。 应用： P(A) P A） ) ( ) =1− ( 。 （4） 若 A AB (A B B ⊂ A ，则 P(A B) P(A) P(B) ，且 P(B P(A) = P(AB) + P(A − B) − = − ≤ P A ； 证明： − ) B ⊂ A, 则AB = B , P(A − B) = P(A) − P(B) = + 所以 若 故 （5） P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) B = AB AB AB = P(A) + P(B) − P(AB) 证明： A ∪ + + ； P(A ∪ B) = P(AB) + P(AB) + P(AB) = P(A) − P(AB) + P(B) − P(AB) + P(AB) 例 1.6：袋中有 N-1 个黑球和 1 个白球，每次随机摸出 1 球， 并换入 1 黑球，求：第 k 次摸到黑球的概率
解:设A={第k次摸到黑球};A={第k次摸到白球}。 P(A)=1-P(A)=1(N-1)-×1 1-(1 N 例1.7:已知P()=P(B)=PC)=4,P(4B)=0 P(BC)=P(CA)=,。求:事件A,B,C都不发生的概率 WN: P(ABC)=P(AUBUC)=1-P(AUBUC 1-[P(A)+P(B)+ P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+ P(ABC)] 因为 ABCCAB,所以0≤P(ABC)≤P(AB)=0 所以P(ABC)=1-3_2、3 例5从0,1,2,…,9这十个数字中任取3个不同的数 字,求概率 A={三个数字中不含0和5}; A={三个数字中含0但不含5}; A={三个数字中不含0或不含5}。 P(A1)=3 C P(A2) 其中CC2表示含0的数字个数 C2C8表示含0和5的数字个数 设B={所取三个数字中不含0 C={所取三个数字中不含5} 则A=BUC P(A3)=P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BC)
解：设 A={第 k k 次摸 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = ， P(AB) = 0 次摸到黑球}； A ={第 到白球}。 P(A) =1 − P(A） k N N k (N 1) 1 1 − × = − − 1 k 1 = − − × − 16 1 P(BC) = P(CA) = N 1 1 1 (1 ) 例 1.7： 已知 ， 。求：事件 0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB) = 0 A，B，C 都不发生的概率。 解： P(A B C) P(A B C ）= P(A∪ B ∪C) =1 − P(A ∪ B ∪ C) = − [P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(CA) + 因为 ABC ⊂ AB ，所以 4 16 8 3 2 3 1 P(ABC)] 所以 =1 − ( − ) = 例5 从 0，1，2，…，9 这十个数字中任取 3 个不同的数 字，求概率： A1={三个数字中不含 0 和 5}； A2={三个数字中含 0 但不含 5}； A3={三个数字中不含 0 或不含 5}。 解： 15 7 ( ) 3 8 A1 = 9 10 3 = C C P 30 3 10 2 C 7 1 2 2 1 C C − C C 8 2 C 2 C ( ) 1 9 2 8 P A = = 其中 1 ， 表示含 0 和 5 的数字个数。 设 B={所取三个数字中不含 0} C={所取三个数字中不含 5} 则 A3=B C 1 2 C C 表示含 0 的数字个数 1 ∪ 15 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 10 3 8 3 10 3 9 3 10 3 9 3 = + − = = = + − C C C C C C P A P B ∪ C P B P C P BC