§2.,2多维随机变量及其分布 二维随机变量与分布函数 定义:X=(x1,X2…Xn)的分布函数定义为: (x1,x2,…;x)=PX1≤x,X2≤x2…Xn≤xn},-<x,x2;x<+0 对二维随机变量(XY),其分布函数定义为 F(x,y)=p{X≤x,≤y},vx,y F(x,y)的几何意义 (X,Y)落在区域-∞<X<x,-∞<Y<y上的概率 若(X,Y)~F(x,y),则有 x1<X≤x2,y<Y≤y2 =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2y1)+F(x,y) F(x,y)的性质 (1)0≤F(x,y)≤1 (2)F(x,y)关于x,y分别单调非降 (3)F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 (4)F(x,y)关于每个变元右连续 、二维离散型随机变量 定义24:若(X,Y)分量ⅹY为离散型随机变量,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。(XY)的分布律表示为 PiX=x,r=y,)=p 其中(1)P220(2)∑∑P=1
§2.2 多维随机变量及其分布 一． 二维随机变量与分布函数 定义：X= (X1, X2 ,", Xn ) T 的分布函数定义为： ( , , , ) { , , , } 1 2 n 1 1 2 2 n n F x x " x = P X ≤ x X ≤ x " X ≤ x ，−∞< x1,x2,",xn < +∞ 对二维随机变量（X,Y），其分布函数定义为： F(x, y) = p{X ≤ x,Y ≤ y} ,∀x, y F(x, y) 的几何意义： （X,Y）落在区域 − ∞ < X < x, − ∞ < Y < y 上的概率。 若(X ,Y )～F(x, y),则有 { , } 1 2 1 2 P x < X ≤ x y < Y ≤ y = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 F x y − F x y − F x y + F x y F(x, y) 的性质： （1）0 ≤ F(x, y) ≤ 1 （2） F(x, y) 关于 x, y 分别单调非降 （3） F(−∞, y) = F(x,−∞) = F(−∞,−∞) = 0,F(+∞,+∞) = 1 （4） F(x, y) 关于每个变元右连续。 二、 二维离散型随机变量 定义 2.4：若(X.,Y)分量 X,Y 为离散型随机变量，则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。(X,Y)的分布律表示为： i j pij P{X = x ,Y = y } = ， i, j = 1,2," 其中（1） pij ≥ 0 （2）∑∑ ∞ = ∞ = = 1 1 1. i j pij
yI y2 PuPin PI P21P2 x Pi pi Pg 例2.11:袋中有三个球:①②②(无放回抽样) X表示第一次抽到的球的标号 Y表示第二次抽到的球的标号 求(XY)分布律 解:X=1,2;Y=1,2 (X,Y)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2 P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=×0=0 P{X=1,Y=2} 3 P{X=2Y=1}=×= 32 P{X=2y-2121_1 Y 1/3 对n维离散型(X1,X2…xn),(联合)分布律表示为 P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=P(x,x2,…,x),Vx1,x2,…,xn 、二维连续型随机变量
Y …… …… 1 y 2 y j y X 1 x …… …… 11 p 12 p p1 j …… …… 2 x 21 p 22 p p2 j # # # …… # …… …… …… i x pi1 pi2 pij # # …… # # …… 例 2.11：袋中有三个球：① ② ② （无放回抽样） X 表示第一次抽到的球的标号 Y 表示第二次抽到的球的标号 求（X Y）分布律。 解： X=1,2 ; Y=1,2 (X ,Y)=(1,1), (1,2), (2,1), (2,2) 0 0 3 1 P{X = 1,Y = 1} = P{X = 1}P{Y = 1 | X = 1} = × = 3 1 2 2 3 1 P{X = 1,Y = 2} = × = 3 1 2 1 3 2 P{X = 2.Y = 1} = × = 3 1 2 1 3 2 P{X = 2,Y = 2} = × = Y 1 2 X 1 0 1/3 2 1/3 1/3 对 n 维离散型 ，（联合）分布律表示为： T X X Xn ( , , , ) 1 2 " { , , , } ( , , , ) 1 1 2 2 n n 1 2 n P X = x X = x " X = x = p x x " x ， n x , x , , x ∀ 1 2 " 三、 二维连续型随机变量
定义25:对(XY),若存在非负可积函数p(x,y),使对任意 y,有 (x, y)=p(u, v)dudy 称(XY)为二维连续型随机变量,p(x,y)称为(X,Y)的 (联合)密度函数 p(x,y)的性质 p(x,y)≥ p(x, y)dxdy= 1 a F(x, y) 3.p(x,y) 4.若 (X, Y)p(xy),则有P(x,Y)∈D}=p(,y)dthv 其中D为任意平面区域。 例212:设(XY)的密度函数为 cxe,0<x<y<∞ p(x,y) 其它 求:(1)c(2)P{X+Y<1}(3)F(xy) 解:(1)∫∫x,y)dh=1 dh (2)P(X+Y<1= p(x, y)dxd (3) F(x,y)=p(u, v)dudy
定义 2.5：对(X,Y)，若存在非负可积函数 p(x, y),使对任意 x, y，有 ∫ ∫ − ∞ ∞ − = x y F(x, y) p(u, v) dudv 称（X,Y）为二维连续型随机变量， p(x, y)称为(X,Y)的 （联合）密度函数. p(x, y) 的性质： 1． p(x, y) ≥ 0 2． ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ p(x, y) dxdy = 1 3． x y F x y p x y ∂ ∂ ∂ = ( , ) ( , ) 2 4．若(X,Y)～p(x,y), 则有 P X Y D p u v dudv D {( , ) } ( , ) ∫∫ ∈ = 其中 D 为任意平面区域。 例 2.12：设（X,Y）的密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ < < < ∞ = − 0 其它 , 0 ( , ) cxe x y p x y y 求：(1) c （2）P{X+Y<1} (3) F(x,y) 解：（1） ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ p(x, y) dxdy = 1 1 0 0 = ∫ ∫ ∞ − dy cxe dx y y c=1 （2） P X Y p x y dxdy x y { 1} ( , ) + <1 ∫∫ + < = = 2 1 1 1 / 2 1 0 1 − − − − = − − ∫ ∫ dx xe dy e e x x y （3） ∫ ∫ − ∞ ∞− = x y F(x, y) p(u, v)dudv
dht,0≤y<x<+ 「dh|ve"h,0≤x<y<+0 0 其它 1-(y2+y+1)e0≤y<x<+∞ ={1-(x+1)e--xe0≤x<y<+ 其它 四、边缘分布 边缘分布:二维(X,Y)的分量XY的分布称为边缘分布 由(XY)的联合分布可以求出XY的边缘分布。 Fx(x)=P{X≤x}=P{X≤x,y≤+∞}=F(x,+∞) ∫F2(x)=F(x+) F(y)=F(+∞,y) P(X=x,)=P(X=X, Q2=P(X=X,(Y=y)) P∑{X y}=∑P{ P
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < < +∞ ≤ < < +∞ = ∫ ∫ ∫ ∫ − − 其它 ， ， 0 0 0 0 0 0 du ue dv x y dv ue du y x y u v x v v y = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − ≤ < < +∞ − + + ≤ < < +∞ − − − 0 其它 0 2 1 1 ( 1) 1) 0 2 1 1 ( 2 2 x e x e x y y y e y x x y y 四、 边缘分布 边缘分布：二维(X,Y)的分量 X,Y 的分布称为边缘分布。 由(X,Y)的联合分布可以求出 X,Y 的边缘分布。 FX (x) = P{X ≤ x} = P{X ≤ x,Y ≤ +∞} = F(x,+∞) 。 ⎩ ⎨ ⎧ = +∞ = +∞ ( ) ( , ) ( ) ( , ) F y F y F x F x Y X }= i P{X = x { , } { , ( )} 1 ∑ ∞ = = Ω = = = j i i j P X x P X x Y y = { { , }} { , } 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = = = = j i j j i j P X x Y y P X x Y y =∑ ∞ j=1 pij
即PX=x}=∑P=P PY=y}=∑P=P,j F2(x)=F(x+0)=∫∫p(xy)aoh Px(x)=FX(x)=p(x,y)dy Pr(x)=p(x,y)dy P, (y)=p(x,y)dx 例2.13 X P1P12 P21P2 p2 Pi Pi P P P。1P P Y yI y2 P. p
即 { } 1,2," 1 = = = • = ∞ ∆ = P X x ∑ p p i i j i ij { } 1,2," 1 = = = • = ∞ ∆ = P Y y ∑ p p j j i j ij ∫ ∫ −∞ +∞ −∞ = +∞ = x X F (x) F(x, ) p(x, y) dxdy ∫ +∞ −∞ p x = F′ x = p x y dy X X ( ) ( ) ( , ) 即 。 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ p y p x y dx p x p x y dy Y X ( ) ( , ) ( ) ( , ) 例 2.13 Y …… …… 1 y 2 y j y pi • X …… …… 1 x 11 p 12 p p1 j p1 • …… …… 2 x 21 p 22 p p2 j 2• p # # # …… # …… # …… …… i x pi1 pi2 pij pi • # # # …… # …… # …… …… 1 p• j •1 p •2 p p• j X x1 x2 …… xi …… p p1 • p2 • …… pi • …… Y y1 y2 …… y j …… p p•1 p•2 …… p• j ……
例2.14:设(X,Y)的密度函数为 00xe-xx>0 ≤0 Pr(y 0 ≤0 五、随机变量的独立性 P(AB)=P(A)P(B),称AB独立。 定义26:若事件{X≤x},{Y≤y独立,即 P{X≤x,Y≤y=P{X≤xP{Y≤y},Vx,y 称随机变量XY(相互)独立 等价定义 F(x,y)=Fr(xF(), Vx,y p(x,y)=pr(x)p(), Vx,y PiX=x,, r=yi )=PiX=x Pir =y),,,y, 例25:设(XY)~N(,A2,G2,a2,p) 证:XyY独立分p=0 证明 (x)=「p(x,y)d
例 2.14：设(X,Y)的密度函数为 ； ⎩ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − +∞ +∞ − −∞ ∫ ∫ 0 0 0 0 0 0 ( , ) x xe x x xe dy x p x y dy x x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = = +∞ − − −∞ ∫ ∫ 0 0 0 2 1 0 0 0 ( ) ( , ) 2 0 y y e y y xe dx y p y p x y dx y y y Y 五、 随机变量的独立性： P(AB) = P(A)P(B) ，称 A,B 独立。 定义 2.6：若事件{X ≤ x},{Y ≤ y}独立，即： P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X ≤ x}P{Y ≤ y} ,∀x, y 称随机变量 X,Y（相互）独立。 等价定义： F x y F x F y x y X Y ( , ) = ( ) ( ), ∀ , p x y p x p y x y X Y ( , ) = ( ) ( ), ∀ , i j i j i j P{X = x ,Y = y } = P{X = x }P{Y = y } ,∀x , y 。 例 2.15：设（X,Y）～ ( , , , , ) 2 2 2 N µ1 µ2 σ1 σ ρ 证：X,Y 独立⇔ ρ = 0 证明： 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) ( , ) σ µ πσ − ∞ − + −∞ = = ∫ x X p x p x y dy e
P1(y)=」p(x,y)dx 即X~N(A1,G12),F~N(2G2) 充分性:<,设p=0 p(xy)=、1-一+(乙 2n02 2 =Px(x)pr(y) Vx,y 即XY相互独立。 必要性:→设X,Y独立,则有 p(x,y)=pr(x)pr(),Vx,y 令x=,y=2,即有P(1,p2)=Px(1)P(12) 2T0,O2v1-P 1,即p=0 六、条件分布 1.离散型 i(X,Y) P(X=x,r=y,)=pii, i,j=1, 2. PX=x}=∑P1=P.,i=12 PY=}=∑P1=P.,j=1 条件分布律为 PIX=xY=y, P(X=x, r=y,) p Pi =y, 或者 x x2 PI p. Pi Pi P P
2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) ( , ) σ µ πσ − ∞ − + −∞ = = ∫ y Y p y p x y dx e 即 X～ ( , ), ( , ) 2 2 2 2 N µ1 σ1 Y～N µ σ 充分性：⇐，设 ρ = 0 p x y e p x p y x y X Y x y ( ) ( ) , 2 1 ( , ) [( ) ( ) ] 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 = = ∀ − + − − σ µ σ µ πσ σ 即 X,Y 相互独立。 必要性：⇒ 设 X,Y 独立，则有 p x y p x p y x y X Y ( , ) = ( ) ( ), ∀ , 令 1 2 x = µ , y = µ ，即有 ( , ) ( ) ( ) µ1 µ2 X µ1 Y µ2 p = p p 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 πσ σ ρ πσ πσ = × − 1 1, 0 2 − ρ = 即ρ = 六、条件分布 1. 离散型 设（X,Y）～ P{X = xi ,Y = y j } = pi j ,i, j = 1,2," { } , 1,2," 1 = = = • = ∞ = P X x ∑ p p i i j i i j { } , 1,2," 1 = = = • = ∞ = P Y y ∑ p p j j i j i j 条件分布律为： , 1,2," { } { , } { | } = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 或者 X x1 x2 …… xi …… pi j j p p • 1 j j p p • 2 …… j i j p p • …… { }j Y = y
它表示在{=y}条件下,X的条件分布律。 同理 Y=y, IX=x, Pi Pi Yy y2 y Pi P P P {X=x;} 2.连续型 i(x,Y)p(x,y),xP(x),Y py (y) 在Y=y条件下X的条件分布函数为 F(xy=y)=PX≤xy=y=LmPX≤x|y-Ay≤Y≤y+Ay} Lim P{X≤x,y-Ay≤Y≤y+Ay} P{y-Ay≤Y≤y+Ay} p(u, v)dudy pr(y)dy p(u, y)du p(u,y) P2(y) P1(y) p(xly)=F'(xlY=y)=p(x,y) P1(y) 定义:在Y=y条件下X的条件分布密度定义为 P(xIv)=p(x, y) P1(y) 同理:pOy|x)=(x,y) 例216:设(XY)在圆x2+y2≤R2上服从均匀分布
它表示在{Y = y j } 条件下，X 的条件分布律。 同理： { = | = } = , = 1,2," • j p p P Y y X x i i j j i Y y1 y2 …… y j …… pi i • i p p 1 i • i p p 2 …… i • i j p p …… { }i X = x 2. 连续型 设(X,Y)～ p(x, y) ，X～ pX (x) ，Y～ pY ( y) 。 在 Y=y 条件下 X 的条件分布函数为： ( | ) { | } { | } 0 F x Y y P X x Y y LimP X x y y Y y y y = = ≤ = = ≤ − ∆ ≤ ≤ + ∆ ∆ → = { } { , } 0 P y y Y y y P X x y y Y y y Lim y − ∆ ≤ ≤ + ∆ ≤ − ∆ ≤ ≤ + ∆ ∆ → = p y dy y p u v dudv y Lim Y y y y y x y y y y y ( ) 2 1 ( , ) 2 1 0 ∫ ∫ ∫ +∆ −∆ −∞ +∆ −∆ ∆ → ∆ ∆ = ( ) ( , ) p y p u y du Y x ∫ −∞ = ∫ −∞ x Y du p y p u y ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( | ) ( | ) p y p x y p x y F x Y y Y = ′ = = 定义： 在 Y=y 条件下 X 的条件分布密度定义为： ( ) ( , ) ( | ) p y p x y p x y Y = 同理： ( ) ( , ) ( | ) p x p x y p y x X = 例 2.16：设（X,Y）在圆 上服从均匀分布， 2 2 2 x + y ≤ R
1.XY是否独立 2.求p(xy),p(ykx) 解:p(x,y)=1M3x2+y2R2 0,其它 Pr(x)= p(x,y)dy dy, x<R 0 其它 x< r 其它 同理 y<R 其它 由于p(x,y)≠Px(x)P2(y),故X,Y不独立 当<R时,有 ( xlv)=p(a,y) <√R2-y2 P2(y) 其它 同理,当x<R时,有 plx) Pr(x2vR-<VR2-x2 P(x, y) 其它
1. X,Y 是否独立 2. 求 p(x|y), p(y|x)。 解： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ = 0 , 其它 , 1 ( , ) 2 2 2 2 x y R p x y πR p x p x y dy X ( ) ( , ) ∫ +∞ −∞ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < ∫ − − − 0 ,其它 , 1 2 2 2 2 2 R x R x dy x R πR = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < 0 ,其它 , 2 2 2 2 R x x R πR 同理： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = 0 ,其它 , 1 ( ) 2 2 2 R y y R pY y πR 由于 p(x, y) ≠ pX (x) pY (y) ，故 X,Y 不独立。 当 y < R 时，有： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − = = − 0 , 其它 2 , 1 ( ) ( , ) ( | ) 2 2 2 2 x R y R y p y p x y p x y Y 同理，当 x < R 时，有 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − = = − 0 ,其它 , 2 1 ( ) ( , ) ( | ) 2 2 2 2 y R x R x p x p x y p y x X