第七章假设检验 、主要内容 1.假设检验的基本概念,假设检验可能产生的两类错误,假设检验的基本步骤 2.单个正态总体均值与方差假设检验方法 3.两个正态总体的均值差与方差比假设检验方法 4.关于总体分布的假设检验方法——x2检验法(了解)。 二、典型例题 2.某种零件的长度服从正态分布N(u,a2),已知单个长度的均值为10cm,标准差为lcm, 更新设备后,从所生产的零件中随机取出100个,测得零件长度的平均值x=10.6cm, 问设备更新前后零件的平均长度是否有显著变化(a=0.05) 解:要检验假设Ho:p=10,H1:≠10,由于σ已知, 故选择统计量-当B0成立时,U~N0 计算 10.6-10 100=6 而 由=6>Ln2=196,故拒绝原假设H 即认为设备更新前后零件的平均长度有显著变化 3.某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%) 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 测定值总体服从正态分布N(,a2),问在a=001下能否认为这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 解:要检验假设H0:=3.25,H1:μ≠3.25 由于σ未知,故选择统计量T= √n,当H0成立时,T~(n-1) 3.252-3.25 计算X=3252,Sn=17×10-,T= ⅵ7×105=0343 而ta/2(n-1)=0s(4)=4.6041,由于7=0343<105(4)=46041,故接受原假设H0 4.设总体X~N(Aa2),1a2均未知。今从中随机抽取样本
第七章 假设检验 一、主要内容 1．假设检验的基本概念，假设检验可能产生的两类错误，假设检验的基本步骤； 2．单个正态总体均值与方差假设检验方法; 3．两个正态总体的均值差与方差比假设检验方法； 4．关于总体分布的假设检验方法—— 检验法(了解)。 2 χ 二、 典型例题 2．某种零件的长度服从正态分布 已知单个长度的均值为 10cm，标准差为 1cm， 更新设备后，从所生产的零件中随机取出 100 个，测得零件长度的平均值 ( , ), 2 N µ σ x =10.6cm， 问设备更新前后零件的平均长度是否有显著变化（α =0.05） 解: 要检验假设 : 10 H0 µ = , H1 : µ ≠ 10 , 由于σ 已知， 故选择统计量 n X U σ − µ0 = ,当 H0 成立时，U ~ N(0,1) 计算 100 6 1 0 10.6 10 = − = − = n X U σ µ , 而uα / 2 = u0.025 = 1.96 由 U = 6 > uα / 2 =1.96 ，故拒绝原假设 . H0 即认为设备更新前后零件的平均长度有显著变化 3．某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25， 3.27， 3.24， 3.26， 3.24 测定值总体服从正态分布 ( , ), 问在 2 N µ σ α =0.01 下能否认为这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 解: 要检验假设 H0 : µ = 3.25 , : 3.25 H1 µ ≠ 由于σ 未知，故选择统计量 n S X T n * − µ0 = ，当 H0 成立时，T ~ t(n − 1) 计算 *2 4 3.252, 1.7 10− X = Sn = × ， 5 0.343 1.7 10 3.252 3.25 4 * 0 = × − = − = − n S X T n µ 而 tα / 2 (n − 1) = t0.005 (4) = 4.6041 ，由于 T = 0.343 < t0.005 (4) = 4.6041 ，故接受原假设 . H0 4．设总体 X ~ N(µ,σ2 ), µ,σ2均未知。今从中随机抽取样本 1
X,X2,,Xxm,测得样本均值为x=27,而∑(x-x)=225 试检验假设H0:a=2.5,(a=0.01)。 解Ho:0=2.5.H1:a2≠25:选择统计量k2=∑(x,-x)1a2 当H0成立时,K2-x2(n-1)。计算得K2=S(x1-x)21a2=225=90 而=xa2(n-1)=x095(99) 99+√198o=99√198×2.58=626962 2=x22(n-1)=x20s(99)=99+√1980s =99+√198×258=1353038 由于A1=626962=K=90<2=1353038 故接受原假设H0,即认为a=2.5。 5.在两种工艺条件下生产细纱,各抽取100个试样,试验得强力数据,经计算得 甲工艺:n1=100,x=280,a1=28 乙工艺:n2=200,x2=286,a2=285 设两种工艺条件下生产细纱分别服从正态分布N1,o12),N(2o2),试问两种工艺生 产的细纱强力有无显著差异(a=0.05)? 解:要检验假设H:A=2,H1A1≠2,选择统计量 当H0成立时,U~N(0,1),计算 nI 1X1-X2||x-x2 =17392, a,a2/28228.52 V100200 而ln2=l0a5=1.96 由=17392<u2=196,故接受原假设Ho即认为使用两种工艺细纱强力无显著差 6.从两个正态总体X,中分别抽取容量为9和11的样本
1 2 100 X , X ,", X ，测得样本均值为 x =2.7，而 ( ) 225 100 1 2 ∑ − = i= i x x ， 试检验假设 :σ = 2.5, (α = 。 2 H 0 0.01) 解 : 2.5, ；选择统计量 2 H0 σ = : 2.5 2 H1 σ ≠ ∑= = − n i K Xi X 1 2 2 2 ( ) /σ ， 当 H0 成立时， K2 ~ χ2 (n −1) 。计算得 90 2.5 225 ( ) / 1 2 2 2 = ∑ − = = = n i K Xi X σ 而 ( 1) (99) 2 0.995 2 λ1 = χ1−α / 2 n − = χ = 99 + 198u0.995 = 99 − 198 × 2.58 = 62.6962 0.005 2 0.005 2 2 / 2 λ = χ (n −1) = χ (99) = 99 + 198u α = 99 + 198 × 2.58 = 135.3038 由于 62.6962 90 2 135.3038 ， 2 λ1 = = K = < λ = 故接受原假设 H0 .即认为 2.5。 2 σ = 5．在两种工艺条件下生产细纱，各抽取 100 个试样，试验得强力数据，经计算得： 甲工艺： n1 =100， 1 x =280，σ 1 =28 乙工艺： n2 =200， 2 x =286，σ 2 =28.5 设两种工艺条件下生产细纱分别服从正态分布 试问两种工艺生 产的细纱强力有无显著差异（ ( , ), 2 N µ1 σ 1 ( , ), 2 N µ 2 σ 2 α =0.05）？ 解：要检验假设 : , H0 µ1 = µ2 : , H1 µ1 ≠ µ2 选择统计量 2 2 2 1 2 1 1 2 / n n U X X σ σ =（ − ） + ；当 H0 成立时，U ~ N(0,1) ，计算 1.7392 200 28.5 100 28 | | | | 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 = + − = + − = x x n n X X U σ σ ， 而uα / 2 = u0.025 = 1.96 由 1.7392 1.96 U = < uα / 2 = ，故接受原假设 .即认为使用两种工艺细纱强力无显著差 异。 H0 6．从两个正态总体 X ,Y 中分别抽取容量为 9 和 11 的样本， 2
算得∑(x-x)2=96,∑(-列2=45。试以显著性水平a=002检验两总体的方差是否 相等(设X,Y独立)。 解:要检验假设H0a2=a2,H1:σ2≠σ2,选择统计量 当H成立时,F~F(n1-1,n2-2)计算 xi 96 (y1-y) 12:S 12 F 4=2667 而 1=a/2 (n1-1,n2-1)=F0(8,10)=1/F1(10.8)=1/58 2=Fan2(n1-1,n2-1)=Fo(8,10)=506 由于A1=1/5.81<F=2667<A2=506 故接受原假设H0,即认为两总体的方差相等 7.某锌矿的南北两支矿脉中,各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后,算得其样本含 锌(%)平均值及方差如下: 南支:x1=0252,S1=0.140,m1=10 北支:x2=0281,S2=0.182,m2=9 若南北两支锌含量分别服从正态分布N(,o12),N(m2a2,在a=05的条件下,问 南北两支矿脉含锌量的平均值是否可看作一样? 解:先检验两总体方差是否相等,再检验两总体均值是否相等。 1)两总体方差是否相等的检验 要检验假设H0:12=a2,H1:σ2≠σ2,选择统计量 当H0成立时,F~F(m1-1,n2-1),计算 S1=×0.140=0.1556 S2=×0.182=0.2047
算得 ( ) 96 9 1 2 ∑ − = i= i x x ，∑= − = 11 1 2 ( ) 45 i i y y 。试以显著性水平α =0.02 检验两总体的方差是否 相等（设 X, Y 独立）。 解： 要检验假设 : , 选择统计量 2 2 2 H0 σ 1 =σ : , 2 2 2 H1 σ 1 ≠ σ *2 2 *2 1 2 1 n n S S F = 当 成立时， 计算 H0 ~ ( 1, 2) F F n1 − n2 − 12 8 96 8 ( ) 9 1 2 *2 1 1 = = − = ∑ i= i n x x S ； 4.5 10 45 10 ( ) 11 1 2 *2 2 2 = = − = ∑ i= i n y y S 2.667 4.5 12 *2 2 *2 1 2 1 = = = n n S S F 而λ1 = F1−α / 2 (n1 −1,n2 −1) = F1−0.01 (8,10) =1/ F0.01 (10,8) =1/ 5.81 λ2 = Fα / 2 (n1 −1, n2 −1) = F0.01(8,10) = 5.06， 由于 λ1 = 1/ 5.81 < F = 2.667 < λ2 = 5.06 ， 故接受原假设 H0 .即认为两总体的方差相等。 7．某锌矿的南北两支矿脉中，各抽取样本容量分别为 10 与 9 的样本分析后，算得其样本含 锌（%）平均值及方差如下： 南支： 1 x =0.252， =0.140， =10 2 S1 n1 北支： 2 x =0.281， =0.182， =9 2 S2 n2 若南北两支锌含量分别服从正态分布 ( , ), 在 2 N µ1 σ 1 ( , ), 2 N µ2 σ 2 α =0.05 的条件下，问 南北两支矿脉含锌量的平均值是否可看作一样？ 解：先检验两总体方差是否相等，再检验两总体均值是否相等。 1) 两总体方差是否相等的检验 要检验假设 ，选择统计量 2 2 2 1 1 2 2 2 0 1 H :σ = σ , H :σ ≠ σ / , *2 2 *2 F = S1 S 当 H0 成立时， ~ ( 1, 1) F F n1 − n2 − ，计算 0.140 0.1556 9 10 1 2 1 1 *2 1 1 = × = − = S n n S ， 0.182 0.2047 8 9 1 2 2 2 *2 2 2 = × = − = S n n S 3
S120.1556 F 0.7601 S20.2047 而A=F=an2(m1-1,n2-1)=F1=025(98) 1/F0a3(8,9)=1/4.10=0.2439 A2=Fa2(n1-1,n2-1)=F0025(98)=4.3572 由于1=0.2439<F=0.7601<2=4.3572, 故接受原假设H0,认为两总体方差相等。 2)两总体均值是否相等的检验要检验假设 H:闻=,H1风≠,选择统计量 X1-2mn2(1+mn2-2) n Si+n,S2 当H0成立时,T~t(n1+n2-2) 计算|= n1n2(n1+n2-2) S2Vn,+n, 0.252-02 90(1 =0.1493 10×0.141+9 0+9 而ta2(n1+n2-2)=l3(17)=21099 由7=01493<12(17)=2.1099,故接受原假设Ho,认为两总体均值相等,即南北两 支矿脉含锌量的平均值可看作一样 8.砖瓦厂有两座砖窑,某日从甲窑抽取机制砖7块,从乙窑抽取6块,测得抗折强度如下: 甲窑:20.51,25.56,20.78,37.27,36.26,2597,2462 乙窑:32.56,26.66,2564,3300,3487,31.03 设甲、乙窑抗折强度分别服从正态分布N(A,o2),N(2,O2),若给定a=0.10,试问两 窑砖抗折强度的方差有无显著差异? 解:要检验假设H0:σ12=a2,H1:σ2≠σ2,选择统计量 F=Sn/S2n,当H0成立时F~F(n1-1,n2-1);计算 x=x=272814.Ss=∑(x-x2=46712
0.7601 0.2047 0.1556 *2 2 *2 1 = = = S S F 而 ( 1, 1) (9,8) λ1 = F1−α / 2 n1 − n2 − = F1−0.025 = 1/ F0.025 (8,9) = 1/ 4.10 = 0.2439 λ2 = Fα / 2 (n1 −1,n2 −1) = F0.025 (9,8) = 4.3572 由于 λ1 = 0.2439 < F = 0.7601 < λ2 = 4.3572 ， 故接受原假设 H0 ，认为两总体方差相等。 2) 两总体均值是否相等的检验要检验假设 0 1 2 1 1 H : , H : µ = µ µ ≠ µ2 ，选择统计量 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ( 2) n n n n n n n S n S X X T + + − + − = ， 当 H0 成立时，T ~ t(n1 + n2 − 2) ， 计算 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ( 2) n n n n n n n S n S X X T + + − + − = 0.1493 10 9 90(10 9 2) 10 0.141 9 0.281 0.252 0.281 = + + − × + × − = 而tα / 2 (n1 + n2 − 2) = t0.025 (17) = 2.1099 由 T = 0.1493 < t0.025 (17) = 2.1099 ，故接受原假设 ，认为两总体均值相等，即南北两 支矿脉含锌量的平均值可看作一样 H0 8．砖瓦厂有两座砖窑，某日从甲窑抽取机制砖 7 块，从乙窑抽取 6 块，测得抗折强度如下： 甲窑：20.51, 25.56, 20.78, 37.27, 36.26, 25.97, 24.62 乙窑：32.56, 26.66, 25.64, 33.00, 34.87, 31.03 设甲、乙窑抗折强度分别服从正态分布 N(µ1,σ1 2 ), N(µ2 ,σ 2 2 ), ，若给定α =0.10，试问两 窑砖抗折强度的方差有无显著差异？ 解： 要检验假设 : , 选择统计量 2 2 2 H0 σ 1 =σ : , 2 2 2 H1 σ 1 ≠ σ , 当 成立时 *2 2 *2 1 1 2 / n n F = S S H0 ~ ( 1, 1) F F n1 − n2 − ; 计算 ( ) 46.7122 6 1 27.2814, 7 1 *2 2 1 7 1 1 = ∑ = = ∑ − = = i= n i i i x x S x x ， 4
y=∑y=30.6267 Sn467122 y)=136281,F= =3.4276 13.6281 而A=Fa2(m1-1,n2-1)=F1005(6,5)=1/F5(5,6)=14.39 2=Fan2(n1-1,n2-1)=F05(6,5)=495 由A1=1/4.39<F=34276<2=495,故接受原假设H0 即认为两窑砖抗折强度的方差无显著差异
30.6267, 6 1 = ∑ = i= i y y ( ) 13.6281 5 1 6 1 *2 2 2 1 = ∑ − = i= n i S y y ， 3.4276 13.6281 46.7122 *2 2 *2 1 2 1 = = = n n S S F 而λ1 = F1−α / 2 (n1 −1, n2 −1) = F1−0.05 (6,5) = 1/ F0.05 (5,6) = 1/ 4.39 λ2 = Fα / 2 (n1 −1, n2 −1) = F0.05 (6,5) = 4.95 由 1/ 4.39 3.4276 4.95 λ1 = < F = < λ2 = ，故接受原假设 . H0 即认为两窑砖抗折强度的方差无显著差异。 5