第七节正定二次型
、惯性定理 一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的 秩 下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 二次型的标准形所具有的性质
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的 秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理(惯性定理)设有实二次型=x7Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x= Cl 及x=P 使f=ky+k2y2+…+ky2(k1≠0 及∫=1z2+12z2+…+,z(1≠0) 则k1;…,k,中正数的个数与九1,…,九,中正数的个数 相等
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
二、正(负)定二次型的概念 定义1设有实二次型∫(x)=x7Ax,如果对任何 x≠0,都有(x)>0显然f(0)=0则称正定二 次型,并称对称矩阵4是正定的如果对任何x≠0 都有f(x)<0,则称/为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的 例如∫=x2+4y2+16x2为正定二次型 f=-x2-3x2 为负定二次型
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如
、正(负)定二次型的判别 定理2实二次型f=xAx为正定的充分必要条 件是:它的标准形的n个系数全为正 证明设可逆变换x=O使 f(x)=f()=∑k 充分性 设k>0(=1,…,n)任给x≠0, y=Cx≠0 故f(x)=∑k1y2>0 i=1
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =
必要性 假设有k,≤0,则当y=e(单位坐标向量时, ∫(Ce,)=k,≤0 显然Ce。≠0,这与∫为正定相矛盾 故k1>0(=1,…,n) 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A
定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的各阶主子式为正,即 >0, 12 >0 :|>0: 9 21 22 nn 对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主 子式为负,而偶数阶主子式为正,即 (-y >0,(=12,…,m) r 这个定理称为霍尔维茨定理
0, a11 0, 21 22 11 12 a a a a , 0; 1 11 1 n nn n a a a a ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r − = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A
正定矩阵具有以下一些简单性质 1设A为正定实对称阵则A,A1,A均为正 定矩阵 2若A,B均为n阶正定矩阵则A+B也是正定 矩阵
正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定
例1判别二次型 f(x1,x2,x)=5x12+x2+5x3+4x2-8xx3-4x2x3 是否正定 52-4 解f(x,x2,x3)矩阵为21-2 4-2 它的顺序主子式 52-4 52 5>0, =1>0,21-2|=1>0, 4-25 故上述二次型是正定的
例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4 − − − − 它的顺序主子式 5 0, 1 0, 2 1 5 2 = 1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 = − − − − 故上述二次型是正定的
例2判别二次型 f(x1,x2x3)=2x2+4x2+5x2-4x1x3 是否正定 解用特征值判别法 20-2 二次型的矩阵为A=040 205 令E-4=0→=1,2=4,13=6 即知A是正定矩阵,故此二次型为正定二次型
例2 判别二次型 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = 2x1 + 4x + 5x − 4x x 是否正定. 解 二次型的矩阵为 , 2 0 5 0 4 0 2 0 2 − − A = 用特征值判别法. 令 E − A = 0 1, 4, 6. 1 = 2 = 3 = 即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型