第五节线性方程组解的结构 w吧w吧w吧行吧吧好产
第五节 线性方程组解的结构
、齐次线性方程组解的性质 1.解向量的概念 设有齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nn=0 11~1 122 Inn a21x1+a2x+…+a2nn=0 21~1 222 2nn (1) Lam1X1 +am2r2 ++ =0 若记
１．解向量的概念 设有齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质
12 In /21 22 n m 、xn 则上述方程组(1)可写成向量方程 Ax=o 若x1=51,x2=521…,xn=mn为方程Ax=0的 解,则
, a a a a a a a a a A m m mn n n = 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = xn x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = 0. 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x = , x = ,, = 为方程 Ax = 0 的 解，则
21 x=1= nI 称为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程 (2)的解
= = 1 21 11 1 n x 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=,x=2为Ax=0的解,则 x=51+2 也是Ax=0的解. 证明∵A51=0,A52=0 A(1+42)=A51+A2=0 故x=51+与2也是4x=0的解
２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x = 1 ,x = 2 为 Ax = 0 的解，则 x = 1 + 2 也是 Ax = 0 的解. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 =
(2)若x=51为Ax=0的解,k为实数,则 x=k51也是Ax=0的解 证明4(k51)=k(5)=k0=0 证毕 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间
（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x = 1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0. 1 = 1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕
二、基础解系及其求法 1.基础解系的定义 71,m2,…,m称为齐次线性方程组Ax=0的基础 解系,如果 (1)m1,m2,…,m是Ax=0的一组线性无关的解; (2)4x=0的任一解都可由71,m2,…,线性表 出
解 系 如 果 称为齐次线性方程组 的基础 , 1 ,2 ,,t Ax = 0 (1) , , , 0 ; 1 2 t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由 t线性表 １．基础解系的定义 二、基础解系及其求法
如果m1,m2,…,m1为齐次线性方程组Ax=0 的一组基础解系,那么,A=0的通解可表示为 x=k1mh+k2m2+…+k17 其中k1,k2,…,kn是任意常数
的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2 kn−r是任意常数
2.线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为A,并不妨 设4的前r个列向量线性无关于是A可化为 0b1 n-r 0 r.-I 0 0 0 0
２．线性方程组基础解系的求法 − − 0 0 0 0 0 1 1 0 ~ 1 , 1 1 1, r r n r n r b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 r 个列向量线性无关．于是 可化为 A A A
1…0b1 0 1 b Ax=0今 rI rh-I =0 0 0 0 0人xn x,=-b,x 11~r+1 b 今 x=-bnx+1-…-bn-xn
0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, = − − n r r n r n r x x x b b b b = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x 1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0