第二章随机变量及其分布 教学要求 1、了解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质,理解离散型随机变量的分布律及其性质,理解连 续型随机变量的概率密度及其性质,会应用概率分布计算有关事件的概率。 3、掌握(0-1)分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布及相关计算。 4、会求简单随机变量函数的概率分布。 5、了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,二维离散型随机变量的联合分布律及其性 质,二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它计算有关事件的概率 6、掌握二维随机变量边缘分布的计算,了解二维随机变量的条件分布; 7、理解随机变量独立性的概念,掌握应用随机变量的独立性进行概率计算: 8、会求两个随机变量的简单函数的分布。 本章重点:一维及二维随机变量的分布及其概率计算 教学内容 §2.1一维随机变量及其分布 随机变量的定义 例2.1.考虑“抛硬币”试验:9={正面H,反面T; 引入变量:X=X T X==出现正面田,P{X=1= 一般的,可以把一个随机事件A数量化 引入XA()= 1∈A即4发生 ∈ 0cgA,即A不发生 P(A)=P{X()=1}; 定义21:设(g,F,P)为一概率空间,X(O)是定义在 上的单值实函数,若对任一实数x,有{O:X(o)≤x}∈F 则称X(ω)为随机变量,简记为X。 定义2.2称:F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞ 为随机变量X的分布函数。 若已知X~F(x),则有
第二章 随机变量及其分布 一、教学要求 1、了解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连 续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 3、掌握（0-1）分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布及相关计算。 4、会求简单随机变量函数的概率分布。 5、了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，二维离散型随机变量的联合分布律及其性 质，二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它计算有关事件的概率； 6、掌握二维随机变量边缘分布的计算，了解二维随机变量的条件分布； 7、理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算； 8、会求两个随机变量的简单函数的分布。 本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算. 二、教学内容 §2.1 一维随机变量及其分布 一. 随机变量的定义： 例 2.1.考虑“抛硬币”试验: Ω = {正面 H，反面 T}； 引入变量： , ⎩ ⎨ ⎧ = = = = T H X X ω ω ω 0 1 ( ) ω ∈Ω. {X =1} = {出现正面 H}， 2 P{X =1} = 1 . 一般的，可以把一个随机事件 A 数量化： 引入 ∈ Ω ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = ω ω ω ω 即 不发生 即 发生 A A A A X A 0 , 1 , ( ) ( ) = { (ω) = 1} P A P XA ； 定义 2.1 ：设(Ω, F, P) 为一概率空间， X (ω) 是定义在Ω 上的单值实函数，若对任一实数 x ，有{ω : X (ω) ≤ x}∈ F ， 则称 X (ω) 为随机变量，简记为 X 。 定义 2.2 称： F(x) = P{X ≤ x}, − ∞ < x < +∞ 为随机变量 X 的分布函数。 若已知 X ~ F(x) ，则有
P{aa,则F(b)≥F(a) 3、F(-∞)=0,F(+∞)=1; 4、F(x)右连续,即limF(x)=F(x0)。 例如 1.在n重贝努里试验中,用X表示事件A出现的次数, X=0,1,2,…,n 2.某电话总机在一天内接到的呼唤次数X, X=0,1,2, 3.射击中,弹落点与目标的距离X X∈[0 离散型随机变量 设离散型X的所有可能取值为x1,x2,…xn,…,且 P{X=x}=P,i=1,2,…或记为 x|x1x2|…xn (由小到大排列) P:: P,P2 若满足:(1)P≥0,(2)∑P=1, 称此为离散型随机变量X的分布列(律)。 已知X的分布列,可求其分布函数F(x)。 设离散型X~P{X=k}=Pk,k=0,1,…,则有 F(x)=P{X≤x}=∑P{X=k}=∑P{X=k}=∑p 离散型常见分布列:
P{a a, 则 F(b) ≥ F(a) ； 3、 F(−∞) = 0, F(+∞) = 1； 4、 ( ) lim ( ) ( ) 0 0 F x F x F x x x = 右连续，即 → + 。 例如： 1． 在 n 重贝努里试验中，用 X 表示事件 A 出现的次数， X = 0,1,2,……,n 2． 某电话总机在一天内接到的呼唤次数 X ， X = 0,1,2,…… 3． 射击中，弹落点与目标的距离 X ， X ∈[0,+∞)。 二、离散型随机变量 设离散型 X 的所有可能取值为 , ," ,"，且 1 2 n x x x P{X = x } = p , i =1,2," 或记为 i i X ： …… …… （由小到大排列） 1 x 2 x n x ： …… …… pi 1 p 2 p pn 若满足：（1） ≥ 0, （2） ， pi 1. 1 ∑ = ∞ i= pi 称此为离散型随机变量 X 的分布列（律）。 已知 X 的分布列，可求其分布函数 F(x) 。 设离散型 X ～ P{X = k} = pk , k = 0,1,"，则有 ∑ ∑ ∑ ≤ = = = ≤ = = = = = [ ] 0 [ ] 0 ( ) { } { } { } x k k x k x k F x P X x P X k P X k p 离散型常见分布列：
退化分布:P{X=C} 2、两点分布:P{X=k}=p3(1-p)k,k=0 01 Pi 如:“抛硬币 X|0 P1/2 3、离散型的均匀分布: PIX=xR X:x x2 P:|1/m1/n 如“掷骰子 3 5 6 P:|1/61/61/61/6/61/6 4、二项分布:记为X~B(n,p) PiX=k=Ch q, k=0,1, 2 其中0<P<1,q=1-P 例2.2:在n重贝努里试验中,用X表示事件A出现的次数 则有: P{X=k}=Cp"q"-,k=0,2,…,n.即X~B(n,p) 例2.3:某人独立射击10次,每次命中率为0.8,求命中次数 X的分布列 解:X=0,1,2 P{X=k}=C160.80.20,k=0,1,2,…,10。 5、泊松分布:X~P(4)
1、 退化分布: P{X = C} = 1； 2、 两点分布: { } (1 ) , 0,1, 1 = = − = − P X k p p k k k X : 0 1 pi : 1− p p 如：“抛硬币”： X 0 1 pi 1/2 1/2 3、 离散型的均匀分布： , 1,2, , . 1 { } k n n P X x = k = = " X : …… 1 x 2 x n x : 1/n 1/n …… 1/n pi 如“掷骰子”： X: 1 2 3 4 5 6 : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 pi 4、二项分布: 记为 X ~ B(n, p) P{X k} C p q , k 0,1,2, ,n. k k n k = = n − = " 其中 0 < p < 1, q = 1− p 例 2.2：在 n 重贝努里试验中，用 X 表示事件 A 出现的次数， 则有： P X k C p q k n k k n k n { = } = , = 0,1,2,", − . 即 X ~ B(n, p) 例 2.3：某人独立射击 10 次，每次命中率为 0.8，求命中次数 X 的分布列。 解： X = 0，1，2，…，10 ，k = 0, 1, 2,…，10。 k k k P X k C − = = 10 { } 10 0.8 0.2 5、 泊松分布： X ～ P(λ)
P{X=k}=e,k=0,1,2…2>0 k 如:1、电话总机在一天内接到的呼唤次数 纺纱厂的纱绽在一段时间内的断头次数 泊松定理:Cpq (n)10,P<0.1) k 如cm04060240-m20085 30 6、几何分布:P{X=k}=qpk=1,2,3, 例2.4:某射手命中率为0.8,现连续射击直到击中为止, 求射击次数X的分布律 P{X=k}=P(AA2…AA)=02=0.8,k=12 例2.5:在贝努里试验中,用X表示A首次出现的试验次数, 则有:P{X=k}=qp,k=1,2,3… 7、超几何分布 PiX=k=- N-M, k=0, 1, ., min M, n) 其中n<N,m<M,M<N。 例2.6:设有N件产品,其中M件废品,从中无放回任 取n件,求抽到的n件产品中废品数X的分布列 PX k) k=0,1,2,…,min{M,n} M 对有放回抽样:p=P(A) PiX=k )(1 k=0,1,2 即X~B(n2
, 0,1, 2, . 0. ! { = } = = > − λ λ e λ k " k P X k k 如：1、电话总机在一天内接到的呼唤次数 2 、纺纱厂的纱绽在一段时间内的断头次数 泊松定理： λ λ λ − = − ≈ e k C p q np k k k n k n ! ，( n >10, p <0.1) 如： 0.0185 30! 40 0.4 0.6 40 30 40 30 30 70 100 查表 ≈ = − = C e λ 。 6、几何分布: P{X = k} = q k −1 p k =1, 2, 3,"" 例 2.4：某射手命中率为 0.8，现连续射击直到击中为止， 求射击次数 X 的分布律。 解： X =1，2，3，…… P{X = k} = P(A1 A2 "Ak−1Ak ) = 0.2k−1 0.8, k = 1,2," 例 2.5：在贝努里试验中，用 X 表示 A 首次出现的试验次数， 则有： P{X = k} = q k−1 p, k =1,2,3," 7、超几何分布： { } , k 0,1, ,min{M , n}. C C C P X k n N n k N M k = = M = " − − 其中n < N, m < M , M < N 。 例 2.6：设有 N 件产品，其中 M 件废品，从中无放回任 取 n 件，求抽到的 n 件产品中废品数 X 的分布列。 解： X =0, 1, 2,… , min{ M，n } n N n k N M k M C C C P X k − − { = } = , k =0,1,2,…，min{ M，n } 对有放回抽样： N M p = P(A) = { } ( ) (1 ) , k k n k n N M N M P X k C − = = − k = 0,1,2,", n 。 即 X ～ ( , ) N M B n
三、连续型随机变量 定义:对X,若存在非负可积函数p(x),使得对任意x,有 F(x)= ply)dy 称X为连续型随机变量。称p(x)为X的分布密度(密度函数)。 p(x)的性质 (1)p(x)≥0 (2)|p(x)dx=1 (3)p(x)=F( (4)P(asxsb)=0p(r)dx (5)P{X=c}=0,Vc 证:0≤P{X=c}≤P{c≤X≤c+h} p(x)ax→0,当h→0 所以:P{X=c}=0 例2.7:设连续型 ,x>0 >0 求(1)(2)P{-1/201-e2xx>0 连续型X的常见分布: 1、均匀分布:X~U[a,b]
三、连续型随机变量 定义：对 X ，若存在非负可积函数 p(x) ,使得对任意 x ，有 ， ∫−∞ = x F(x) p( y) dy 称 X 为连续型随机变量。称 p(x) 为 X 的分布密度（密度函数）。 p(x) 的性质： （1） p(x) ≥ 0 （2） ( ) = 1 ∫ +∞ −∞ p x dx (3) p(x) = F′(x) (4) ∫ ≤ ≤ = b a P{a X b} p(x) dx （5） P{X = c} = 0,∀c 证：0 ≤ P{X = c} ≤ P{c ≤ X ≤ c + h}= ( ) → 0, → 0 ∫ + p x dx h c h c 当 所以： P{X = c} = 0 例 2.7：设连续型 X ～ p(x) = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > − 0 , 0 2 , 0 x e x λx λ > 0 . 求（1）λ （2） P{−1/ 2 ≤ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = ∞ − − − ∫ ∫ 1 0 0 0 2 , 0 0 0 ( ) 2 0 2 e x x e dy x x p y dy x x y x 连续型 X 的常见分布： 1、 均匀分布： X ～U[a, b]
0) 1= 特别当=0,a=1时 P(x) ,-0<X<+ 称为标准正态分布,记为:X~N(O,1) 应用背景:(1)测量误差(2)各种随机噪声 (3)学生成绩(4)产品尺寸 称d(y)为标准正态分布函数,即 dt 正态分布的计算 、若X~N(0,1),则有 P{a≤X≤b}=Φ(b)-Φ(a) 2、若X~N(a2),则有
X ～ p(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − 0 其他 1 a x b b a ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − 0） 注： 1 2 1 2 2 2 ( ) = − − ∞ −∞ ∫ e dx x σ µ πσ 。 特别当 µ = 0, σ =1时， = − ∞ < < +∞ − p x e x x , 2 1 ( ) 2 2 π 称为标准正态分布，记为： X ~ N(0,1) 注： 1 2 1 2 2 = +∞ − ∫−∞ e dx x π 。 应用背景：（1）测量误差（2）各种随机噪声 （3）学生成绩（4）产品尺寸 称Φ( y)为标准正态分布函数，即 Φ( y) = e dt y t 2 2 2 1 − −∞ ∫ π 正态分布的计算： 1、若 X ~ N(0,1) , 则有 P{a ≤ X ≤ b} = Φ(b) − Φ(a) 2、若 X ～ ( , ), 则有 2 N µ σ
P{aSx≤b=a(b-)-(- 特别:P{X≤b}=Φ-),P{X≥a} 3、Φ(-x)=1-Φ(x)。 证明2: P{a≤X≤b}=P{ a-H x-A b }=P{2≤y Y~N(0,1)d 例28:设X~N(34),求:P{15} 解:P{15}=1-PX≤}=1-P(-5≤X≤5} d ))=1-(d(1)-Φ(-4) 1-d(1)+1-d(4)=2-0.8413-0.99=0.1587 例29:某科考试成绩X~N(70,102),若第100名的成绩为 60分,求第20名的成绩约为多少分? 解:设总人数为n,第20名的成绩为x,则有 P{X≥60}=100/n,P{X≥x}=20/n P{X≥60}=5P{Xx≥x} 60-70 x-70 10 10 10~)≈1-1(1-(-1)=1-d(1)=1-1×08413=0832=0(0.97) =0.97 x=797 3、指数分布:X~Exp() ≥0 X- P(x) 其中A>0 0
{ } ( ) ( ) σ µ σ µ − − Φ − ≤ ≤ = Φ b a P a X b 特别： { } ( ) σ − µ ≤ = Φ b P X b ， { } 1 ( ) σ − µ ≥ = − Φ a P X a 3、Φ(−x) = 1− Φ(x) 。 证明 2： { } { } σ µ σ µ σ µ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ = a X b P a X b P = { } σ µ σ µ − ≤ ≤ − b Y a P (0,1) ( ) ( ). σ µ σ µ − − Φ − Φ b a Y～N 例 2.8：设 X ~ N(3, 4), 求： P{1 5} 解： ) (1.5) ( 1) 2 1 3 ) ( 2 6 3 {1 6} ( = Φ − Φ − − − Φ − P 5} = 1− P{ X ≤ 5} = 1− P(−5 ≤ X ≤ 5} )) 1 ( (1) ( 4)) 2 5 3 ) ( 2 5 3 1 ( ( = − Φ − Φ − − − − Φ − = − Φ =1− Φ(1) +1− Φ(4) = 2 − 0.8413 − 0.9999 = 0.1587 例 2.9：某科考试成绩 ~ (70,10 ) , 若第 100 名的成绩为 2 X N 60 分，求第 20 名的成绩约为多少分？ 解：设总人数为 n，第 20 名的成绩为 x ，则有 P{X ≥ 60} = 100 / n ， P{X ≥ x} = 20 / n P{X ≥ 60} = 5P{X ≥ x} )) 10 70 ) 5(1 ( 10 60 70 1 ( − = − Φ − − Φ x 0.8413 5 1 (1) 1 5 1 (1 ( 1)) 1 5 1 ) 1 10 70 ( = − −Φ − = − Φ = − × − Φ x =0.832 =Φ(0.97) 0.97 10 70 = x − ， x = 79.7 3、指数分布： X ~ Exp(λ) X ~ p(x) ⎩ ⎨ ⎧ 0
应用背景:各种“寿命”,电子元件的寿命,动物的寿命等。 特点:无记忆性 设X~Exp(A),Vs,1>0 PX>=叫(x)d=Je-=e PX>+11>=1>+1X>s2PX>+e PiX>S PiX>sf 所以P{X>s+|X>s}=P{X>t} 假设X表示寿命,上式表明如果已经活了s年,则再活 t年的概率与年龄s无关。 例4:设X~N(,a2),且y2+4y+X=0无实根的概率为, 则 解△=42-4X4,P{X>4}= d(0) 4-H=0,=4 例2.10.X:012 pl/31/612 求F(x),P1<x≤3,P1≤X≤3 解F(x)=P{X≤x}=∑P{X=k}
应用背景：各种“寿命”，电子元件的寿命，动物的寿命等。 特点：无记忆性。 设 X ~ Exp(λ), ∀s,t > 0 P{X > t} = t t t t p x dx e dt e λ λ λ − +∞ − +∞ = = ∫ ∫ ( ) t s s t e e e P X s P X s t P X s P X s t X s P X s t X s λ λ λ − − − + = = > > + = > > + > > + > = ( ) { } { } { } { , } { | } 所以 P{X > s + t | X > s}= P{X > t} 假设 X 表示寿命，上式表明如果已经活了 s 年，则再活 t 年的概率与年龄 s 无关。 例 ：设 ，且 无实根的概率为 ， 2 1 4 ~ ( , ) 4 0 2 2 X N µ σ y + y + X = 则 µ = 。 解 △= 42 − 4X 4 ， 2 1 P{X > 4} = 2 1 ) 4 1 ( = − − Φ σ µ ， (0) 2 1 ) 4 ( = = Φ − Φ σ µ 0, 4 4 = = − µ σ µ 例 2.10. X：0 1 2 p: 1/3 1/6 1/2 求 } 2 3 }, {1 2 3 F(x), P{1< X ≤ P ≤ X ≤ 解 [ ] ∑= = ≤ = = x k F x P X x P X k 0 ( ) { } { }
x<0时,F(x)=0 0≤x<1时,F(x)=P{X=0} 1≤x<2时,F(x)=P{X=0}+P{X=l}= 1 x≥2时,F(x)=1 0, 0≤x<1 1<x<2
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ < ≤ < < = ≥ = ≤ < = = + = = ≤ < = = = < = 1, 2 ,1 2 2 1 , 0 1 3 1 0 , 0 ( ) 2 ( ) 1. ; 2 1 1 2 ( ) { 0} { 1} ; 3 1 0 1 ( ) { 0} 0 ( ) 0; x x x x F x x F x x F x P X P X x F x P X x F x 时， 时， 时， 时