第三章随机变量的数字特征 、主要内容 1.随机变量的数学期望 2.随机变量函数的数学期望 3.数学期望的性质 4.随机变量的方差 5.随机变量函数的方差; 6.随机变量方差的性质 7.随机变量的协方差及其性质; 8.两个随机变量的相关系数及其计算公式; 9.随机变量矩的概念和计算 二、应记忆的公式和结果 随机变量的数学期望和方差的计算公式 2.随机变量函数的数学期望和方差的计算公式; 3.随机变量的协方差、相关系数的计算公式 4.常见7种随机变量的数学期望及方差; (1)两点分布 (2)二项分布 (3)泊松分布 (4)几何分布 (5)均匀分布 (6)正态分布 (7)指数分布 三、典型例题 1、设离散型随机变量X具有概率分布律: 2 p 0.1 0.2 0.1 0.1 试求E(X),E(X2+5),E(X|) 【解】E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.2 1×0.3+2×0.1+3×0.1=0.4, E(X2+5)=E(X2)+5 =(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+03×0.2+12×0.3+2×0.1+32×0.1 =2.2+5=7.2, E(|X)=|-2|×0.1+|-11×0.2+10|×0.2 +|11×0.3+|2|×0.1+|3|×0.1=1.2 2、设随机变量X具有概率密度 x≤0 f(r)=x, (1)求常数A;(2)求X的数学期望
第三章 随机变量的数字特征 一、主要内容 1. 随机变量的数学期望; 2. 随机变量函数的数学期望; 3. 数学期望的性质; 4. 随机变量的方差; 5. 随机变量函数的方差; 6. 随机变量方差的性质; 7. 随机变量的协方差及其性质; 8. 两个随机变量的相关系数及其计算公式; 9．随机变量矩的概念和计算. 二、应记忆的公式和结果 1．随机变量的数学期望和方差的计算公式; 2．随机变量函数的数学期望和方差的计算公式; 3．随机变量的协方差、相关系数的计算公式; 4．常见 7 种随机变量的数学期望及方差; (1) 两点分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （4）几何分布 （5）均匀分布 （6）正态分布 （7）指数分布 三、典型例题 1、设离散型随机变量 X 具有概率分布律: X −2 −1 0 1 2 3 pk 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 试求E(X), E(X2 +5), E(|X|). 【解】E(X)=(−2)×0.1+(−1)×0.2+0×0.2 +1×0.3+2×0.1+3×0.1=0.4, E(X2 +5)=E(X2 )+5 =(−2)2 ×0.1+(−1)2 ×0.2+0 2 ×0.2+1 2 ×0.3+2 2 ×0.1+3 2 ×0.1 =2.2+5=7.2, E(|X|)=|−2|×0.1+|−1|×0.2+|0|×0.2 +|1|×0.3+|2|×0.1+|3|×0.1=1.2. 2、设随机变量 X 具有概率密度 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < ≤ = − , 1 , 0 1 0, 0 ( ) Ae x x x x f x x . (1)求常数 A; (2)求 X 的数学期望. 1
解1()1=(x)=x+A=2+1,得A=2 B(X)=y(x)=x+:「x-h=4 3、设随机变量X的概率密度为 x>0 f(x)= x≤0 求E(3X),E(-2X+5),E(e-) 【解】因为E(X)=(x)=xedx=2,所以 E(-2X+5)=2E(X)+5=2×2+5= E(e-)=e-f(x)dr 4、设离散型随机变量X具有概率分布律: 0.1 0.2 0.2 0.3 求X的方差D(X) 【解】E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+03×0.2 +12×0.3+2×0.1+32×0.1 =2.2, D(X)=E(Xx2)-[E(X)]2=2.04 5、设随机变量(X,Y)具有联合概率密度 f(x,y)={21x+yk1 其他 求(1)X的边缘密度;(2)Y的边缘密度 (3)E(X),D(X);(4)E(Y),D(Y) (5)X与Y是否不相关? (6)X与Y是否相互独立? 【解】f(x,y)=12 I x +lyksI 其它 (1)当|x|>1时,f(x,y)=0,所以fx(x)=0; 当1xs1时,(x=-(x”)=
【解】(1)由 1 1 1 0 2 1 1 ( ) − +∞ − +∞ −∞ = = + = + ∫ ∫ ∫ f x dx xdx Ae dx Ae x ,得 2 e A = . 3 4 2 ( ) ( ) 1 1 0 2 = = + = ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ −∞ xe dx e E X xf x dx x dx x . 3、设随机变量 X 的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0, 0 , 0 ( ) x xe x f x x 求E(3X), E(−2X+5), E(e−3X). 【解】 因为 ( ) ( ) 2 , 所以 0 2 = = = ∫ ∫ +∞ − +∞ −∞ E X xf x dx x e dx x E(3X)=3E(X)=3×2=6, E(−2X+5)=−2E(X)+5=−2×2+5=1. 16 1 ( ) ( ) 0 4 0 3 3 3 = ⋅ = = = ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ − − +∞ −∞ − − e xe dx xe dx E e e f x dx x x x X x . 4、设离散型随机变量 X 具有概率分布律: X −2 −1 0 1 2 3 pk 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 求 X 的方差 D(X) 【解】E(X2 )=(−2)2 ×0.1+(−1)2 ×0.2+0 2 ×0.2 +1 2 ×0.3+2 2 ×0.1+3 2 ×0.1 =2.2, D(X)=E(X2 )−[E(X)]2 =2.04 5、设随机变量(X, Y)具有联合概率密度 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ = 0, 其他 , | | | | 1 2 1 ( , ) x y f x y , 试求(1)X 的边缘密度; (2) Y 的边缘密度; (3)E(X), D(X); (4)E(Y), D(Y); (5)X 与 Y 是否不相关？ (6)X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ = 0, 其它 , | | | | 1 2 1 ( , ) x y f x y . (1)当|x|>1 时, f(x, y)=0, 所以fX(x)=0; 当−1≤x≤1 时, f x f x y dy dy x x X ∫ ∫ ∞ −∞ − − − = = 1 | | (1 | |) 2 1 ( ) ( , ) , 2
所以fx(x)= ∫-|x当x1 其它 (2)同理得f(y)=-1y 当|y1 其它 ()(CO)=9/(x)d=Cx1-1x)=0 D(X)=厂[x-Ex(x)=x(-1x 6 (4)由对称性知E(Y)=0,D(Y) (5)E(mY)=「xf(x,y)td 「x ydy]dx=0 所以cov(X,Y)=0,X和Y不相关 (6)因为f(x,y)≠fx(x)fr(y),所以X与Y不相互独立 6、设已知三个随机变量X,Y,Z中,E(X)=1, E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1 (1)求E(X+Y+Z) (2)D(X+Y+Z) (3)D(X-2Y+3Z) 【解】(1)E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+2+3=6. (2)D(X+}+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z) +2p√D()D()+2√D(X)D(2)+2p2√D()D(z) =9+4+1+2×x√9×4+2x(-)X√9×1+2xx√4×1=19 (3)D(X-2Y+32Z)=D(X)+4D(Y)+9D(Z) 4p√DX)D()+6aD(X)D(Z)-12z√D()D(2 9+4×4+9×1+4×-×√9×4 +6×(-)x√9×1-12xx√4×1=10 第四章大数定律与中心极限定理 、主要内容
所以 . ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ = 其它 当 0, 1 | |, | | 1 ( ) x x f x X (2)同理得 . ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ = 其它 当 0, 1 | |, | | 1 ( ) y y f y Y (3) ( ) ( ) (1 | |) 0 , 1 1 = = − = ∫ ∫− ∞ −∞ E X xf x dx x x dx X 6 1 ( ) [ ( )] ( ) (1 | |) 1 1 2 2 = − = − = ∫ ∫− ∞ −∞ D X x E X f x dx x x dx X . (4)由对称性知 E(Y)=0, 6 1 D(Y ) = . (5) ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ E(XY) = xyf (x, y)dxdy ] 0 2 1 [ 1 1 1 | | (1 | |) = = ∫ ∫ − − − − x x x ydy dx , 所以 cov(X, Y)=0, X 和 Y 不相关. (6)因为f(x, y)≠fX(x)⋅fY(y), 所以X与Y不相互独立. 6、设已知三个随机变量 X, Y, Z 中, E(X)=1, E(Y)=2, E(Z)=3, D(X)=9, D(Y)=4, D(Z)=1, 2 1 ρ XY = , 3 1 ρ XZ = − , 4 1 ρ YZ = . (1)求 E(X+Y+Z); (2)D(X+Y+Z); (3)D(X−2Y+3Z). 【解】 (1)E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+2+3=6. (2) D(X + Y + Z) = D(X ) + D(Y) + D(Z) 2 D(X )D(Y) 2 D(X )D(Z) 2 D(Y)D(Z) + ρ XY + ρ XZ + ρ YZ 4 1 19 4 1 ) 9 1 2 3 1 9 4 2 ( 2 1 = 9 + 4 +1+ 2× × × + × − × × + × × × = . (3)D(X−2Y+3Z)=D(X)+4D(Y)+9D(Z) 4 D(X)D(Y) 6 D(X)D(Z) 12 D(Y)D(Z) − ρ XY + ρ XZ − ρ YZ 4 1 10 4 1 ) 9 1 12 3 1 6 ( 9 4 2 1 9 4 4 9 1 4 + × − × × − × × × = = + × + × + × × × 第四章 大数定律与中心极限定理 一、主要内容 3
1.了解 Chebyshev不等式、 Chebyshev大数定律、 e moivre- Laplace中心极限定理、Lewy- Lindeberg中心极限定理 2.了解大数定律和中心极限定理的使用 二、典型例题 1.设随机变量X的概率密度为f(x)={m x,x≥0 0.xx,≥100}≥095 用独立同分布的中心极限定理得
1. 了解 Chebyshev 不等式、Chebyshev 大数定律、 De Moivre-Laplace 中心极限定理、Levy-Lindeberg 中心极限定理； 2．了解大数定律和中心极限定理的使用。 二、典型例题 1．设随机变量 X 的概率密度为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0 , 0 ( ) ! x e x m x f x x m 其中 m 为正整数，证明 { } 1 0 2( 1) + < < + ≥ m m P X m [证明] ∫ ∫ +∞ + − +∞ −∞ = = 0 1 ! 1 ( ) ( ) x e dx m E X xf x dx m x ∫ ∫ ∞ ∞ + − − = − = + 0 0 1 ! 1 ( ) ( 1) ! 1 x e dx m x d e m m m x m x ∫ ∞ −∞ = (m +1) f (x)dx = m +1 ∫ ∫ ∞ + − ∞ −∞ = = 0 2 2 2 ! 1 ( ) ( ) x e dx m E X x f x dx m x = (m + 2)(m +1) 于是 ( ) ( ) [ ( )] 1， 2 2 D X = E X − E X = m + 取ε = m +1，利用契比雪夫不等式，则 P{ } 0 < X < 2(m +1) = P{ } X − (m +1) < m +1 { } 2 ( ) ( ) 1 ε ε D X = P X − E X ≤ ≥ − ( 1) 1 1 1 2 + = + + = − m m m m 2．某厂生产的螺丝不合格率为 0.01，问一盒中应至少装有多少只才能使其中含有 100 只合格品的概率不 小于 0.95？ [解] 设一盒至少应装 n 只满足要求，引入 ⎩ ⎨ ⎧ = ，第 只螺丝为不合格品。 第 只螺丝为合格品； i i Xi 0 1, 则 X1 , X 2 ,", X n独立同分布，且 2 1 ( ) 0.99 , ( ) 0.01 0.99 ( ) (0.99) (0.01) , 0,1, 1,2, , = = µ = × =σ = = × = = − i i k k i E X D X P X k K i " N 依题依所求之 n 满足 { 100} 0.95 1 ∑ ≥ ≥ = n i P X i 用独立同分布的中心极限定理得 4
P∑X2100=P ∑x:-001- 100-n1 ≥0.9 100-n×0.99 即得Φ ≤0.05 0.1√n×0.99 00-n×0.99 查标准正态分布表得 ≤-1.645 0.1√n×0.9 令x=n×0.99,得x-0.1645√x-100≥0 解上述不等式,得x≥21016,于是n≥210166=10269;,取n=103为所求。 0.99 8、设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为00001,车辆间发生交通事故与否相互独立,若在某个时间 区间内恰有10万辆车辆通过,试求在该时间内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值 【解】设在某时间内发生交通事故的次数为X,则X服从二项分布B(10000,0.0001) 由二项分布的性质知E(X)=10,D(X)=9.999 由中心极限定理知P(x≤15)=o 15-10 1990G)=d1.58)=09426 9、设某学校有1000名学生,在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是0.05,且设每个学生去 阅览室自修与否相互独立.试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于095的概率保证每个来阅览室自 修的学生均有座位? 【解】设至少应设a张座位才能以不低于0.95的概率保证来阅览室的学生都有座位,并设在同一时间内 去阅览室的学生人数为X,则由题意知 X服从二项分布B(1000,0.05),E(X)=50,D(X)=47.5 由中心极限定理知095m(Xs叫)=(-=50,查表得a-50 ≥1.65 475 所以a≥261.4,即至少应设62张座位才能达到要求
0.95 100 } 1 100 { 100} { 1 1 ⎟ ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ − Φ − ≥ − ≥ = ∑ ∑ = = σ µ σ µ σ µ n n n n n X n P X P n I n i i i 即得 0.05 0.1 0.99 100 0.99 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × − × Φ n n 查标准正态分布表得 1.645 0.1 0.99 100 0.99 ≤ − × − × n n 令 x = n× 0.99，得 x − 0.1645 x −100 ≥ 0 ， 解上述不等式，得 x ≥101.66 ，于是 102.69 0.99 101.66 n ≥ = ; 取 n = 103 为所求。 8、设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为 0.0001, 车辆间发生交通事故与否相互独立, 若在某个时间 区间内恰有 10 万辆车辆通过, 试求在该时间内发生交通事故的次数不多于 15 次的概率的近似值. 【解】 设在某时间内发生交通事故的次数为 X ,则 X 服从二项分布 B(100000,0.0001), 由二项分布的性质知 E(X)=10, D(X)=9.999. 由中心极限定理知 ) (1.58) 0.9426 9.999 15 10 ( 15) ( = Φ = − P X ≤ = Φ . 9、设某学校有 1000 名学生, 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是 0.05, 且设每个学生去 阅览室自修与否相互独立. 试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于 0.95 的概率保证每个来阅览室自 修的学生均有座位？ 【解】 设至少应设 a 张座位才能以不低于 0.95 的概率保证来阅览室的学生都有座位, 并设在同一时间内 去阅览室的学生人数为 X, 则由题意知 X 服从二项分布 B(1000,0.05), E(X)=50, D(X)=47.5. 由中心极限定理知 ) 47.5 50 0.95 ( ) ( − ≤ ≤ = Φ a p X a , 查表得 1.65 47.5 50 ≥ a − , 所以 a≥61.4, 即至少应设 62 张座位才能达到要求. 5
