§42中心极限定理 中心极限定理研究{X}在什么条件下, X-EC∑X) N(0,1)。 ∑ 理46(林一列中心极限定理): 设{Xn}独立同分布,且E(X1)=,D(x1)=2≠0,则 ∑X →>X~N(0,1) √nO 即LmFy(x)=Φ(x) 证明复杂从略。 ∑X-E(∑X D∑X 理意义 F(x)≈Φ(x)即Y~AN(0,1)(A表示近似) ∑X~AN(nu,na2) 定理47(李雅普诺夫定理):设{xn}独立,且 E(X)=A,D(x,)=a2.记2=∑2若存在正数δ,使 lmn∑E|x,-P2=0—李雅普诸大条件 ∑X,-∑ 则有 →X~N(0,1) 即LmF2,(x)=d(x)Vx
§ 4.2 中心极限定理 中心极限定理研究{Xn }在什么条件下， (0,1) ( ) 1 1 N D X X E X L i n i i n i i → − ∑ ∑ ∑ = = 。 定理 4.6 （林—列中心极限定理）： 设{Xn}独立同分布，且 E(Xi) = µ, D(Xi) = σ2 ≠ 0, 则 (0,1). 1 X N n X n Y L n i i n → ～ − = ∑= σ µ 即 Lim F x x x Yn n = Φ ∀ →∞ ( ) ( ), 证明复杂从略。 ∑ ） ∑ ∑ = = = − = n i i n i i n i i n D X X E X Y 1 1 1 ( ( ) 。 定理意义： F (x) (x) Yn ≈ Φ 即 Yn～AN(0,1) （A 表示近似） 即 ( , ) 2 1 X AN nµ nσ n i ∑ i ～ = 定理 4.7 （李雅普诺夫定理）：设{Xn}独立，且 ( ) , ( ) . 2 E Xi = µi D Xi = σ i 记 .若存在正数 1 2 2 ∑= = n i β n σ i δ ，使 { | | } 0 1 lim 2 1 2 − = + = + →∞ ∑ δ δ µ β i n i i n n E X ——李雅普诺夫条件 则有 (0,1) 1 1 X N X Y L n n i i n i i n → ～ − = ∑ ∑ = = β µ 即 Lim F (x) (x) x. Yn n = Φ ∀ →∞
证明从略,该定理表明:独立非同分布的{Xn}有 X~AN∑,∑2)=AN(EC∑XD∑X) 定理48(棣莫佛一拉普拉斯定理): 设随机变量X~B(n,P).则{Xn}的标准化随机变量 F Xn-np np(I-p 即IimF.(x)=Φ(x) 证明:引入 ∫1第i次实验发生 o第次实验4不发生 ,i=12,…,n,则 ∑x~B( 考察{X}: (1){Xm}独立 (2){X}同分布于B(1p),且E(Xm)=P,D(Xn)=p(1-p)≠0 故{Xn}满足定理46的条件。由此 F ∑X-mxn-m→~N(0.1 定理应用:若X~B(n,p),则X~AN(p,ng),故有: a<X≤b=Φ(r") vnpq npq 例43设{Xn}独立同分布,且同服从U(01)分布, 求:P∑X≤60} 解:由已知X~U(0,1)
证明从略，该定理表明：独立非同分布的{Xn}有 ( , ) ( ( ), )) 1 1 1 2 1 1 i n i n i i n i i n i i n i ∑ Xi AN ∑ ∑ AN E ∑ X D∑ X = = = = = ～ µ σ = 定理 4.8 （棣莫佛—拉普拉斯定理）： 设随机变量 Xn～B(n, p). 则{Xn}的标准化随机变量： (0,1). (1 ) X N np p X np Y L n n → ～ − − = 即 lim F (x) (x). Yn n = Φ →∞ 证明： 引入 ～ （ ， ） ， 则 第 次实验 不发生 第 次实验 发生 X X B n p i n i A i A X n i n i i ∑= = = ⎩ ⎨ ⎧ = 1 * * 1,2, , , 0 1 " 考察{Xn * } ： （1）{ }独立 * Xn （2）{Xn * }同分布于 B(1,p), 且 ( ) , ( ) (1 ) 0 * * E Xn = p D Xn = p − p ≠ 故{Xn * }满足定理 4.6 的条件。由此： (0,1). (1 ) 1 * X N np p X np n X n Y L n n i i n → ～ − − = − = ∑= σ µ 定理应用： 若 X～B(n, p) ，则 X～AN(np,npq) ，故有： { } ( ) ( ) npq a np npq b np P a X b − − Φ − < ≤ = Φ 。 例 4.3 设 {Xn }独立同分布，且同服从U (0,1) 分布， 求： { 60} 100 1 ∑ ≤ i= P Xi 解：由已知 X ~ U(0,1) i
EX1==0.5DX 由中心极限定理46 X~AN(100×0.5,100×,~)=AN(50, P∑X≤60)=4 =Φ(3.464)=0.9997 例1:炮击坦克群100次,每次炮击中,炮弹命中数的均 值为4,均方差为1。求当炮击100次时有380~420颗 炮弹击中目标的概率。 解:设x表示第i次射击命中目标的炮弹数,i=1,2,…,100 Ex=4,√DX,=1则击中目标的总的炮弹数为∑X, 由中心极限定理 >X, AN(nu, no2)=AN(400, 100) 所求概率为: P380≤∑x,≤420}=0( 420-400 380-400 2)=2d(2)-1=0.9 例2:甲,乙戏院竞争1000名观众,每个观众选择每个 戏院的概率相同且独立选择。问每个戏院应设多少个座位, 才能保证因缺少座位(买不到票)而使观众离去的概率 小于0 解:设X为进入某一戏院的观众数,n表示应设的座位数 X~B(10001/2) 离去的概率:P{X>n}<0.01
12 1 0.5 2 1 EXi = = DXi = 由中心极限定理 4.6: ) 3 25 ) (50, 12 1 ~ (100 0.5, 100 100 1 X AN AN i ∑ i × × = = (3.464) 0.9997 3 25 60 50 { 60} 100 1 = Φ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ≤ = Φ i= P Xi 例 1：炮击坦克群 100 次，每次炮击中，炮弹命中数的均 值为 4，均方差为 1。求当炮击 100 次时有 380～420 颗 炮弹击中目标的概率。 解：设 Xi 表示第i 次射击命中目标的炮弹数，i = 1,2,",100. EXi = 4, DXi = 1 则击中目标的总的炮弹数为∑ ， = 100 i 1 Xi 由中心极限定理： ∑ ～ = 100 i 1 Xi ( , ) (400,100) 2 AN nµ nσ = AN 所求概率为： ) 10 380 400 ) ( 10 420 400 {380 420} ( 100 1 − − Φ − ≤ ∑ ≤ = Φ i= P Xi =Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) −1 = 0.95 例 2：甲，乙戏院竞争 1000 名观众，每个观众选择每个 戏院的概率相同且独立选择。问每个戏院应设多少个座位， 才能保证因缺少座位（买不到票）而使观众离去的概率 小于 0.01。 解：设 X 为进入某一戏院的观众数，n 表示应设的座位数。 则 X～B(1000,1/ 2). 离去的概率： P{X > n} < 0.01
EX=np=500, DX= npq=250 由中心极限定理:X~AN(500,250).故有 1-d √20001o0-500 n-500 >0.99=d(2.33) n-500 √500 n>536.8∴.n≥537 例46:一份考卷由100个题组成(每题1分),题目按由易 到难排列,某学生答对第1题的概率为1,答对第2题的概 率为099,一般地答对第i题的概率为p=1 (=12…100。 100 试求该考生通过考试的概率。 解:引入 第i题答对 第i题答错=12,…100 答对题的总数(即该生成绩)为 由中心极限定理 X~AN∑EX,∑DX) 由于X 0 EX= p, p Pi pi DX2=p(1-P2) 其中p=1 ∑EX,=∑(1.01 100×101 50.5 1002 DX=(1.0 0.01) 00101) 100100
EX = np = 500, DX = npq = 250. 由中心极限定理： X～AN(500,250). 故有： ) 0.99 (2.33) 250 500 ) 0.01 , ( 250 500 1 > = Φ − > ∴ ≥ − ∴ n n n 例 4.6：一份考卷由 100 个题组成（每题 1 分），题目按由易 到难排列，某学生答对第 1 题的概率为 1，答对第 2 题的概 率为 0.99，一般地答对第i 题的概率为 ,( 1,2, ,100) 100 1 1 = " − = − i i pi 。 试求该考生通过考试的概率。 解：引入： 1,2, ,100 0 1 = " ⎩ ⎨ ⎧ = i i i Xi 第 题答错 第 题答对 答对题的总数（即该生成绩）为∑= 100 i 1 Xi 由中心极限定理： ( , ) 100 1 100 1 100 1 ∑ ∑ ∑ = = i= i i i i Xi ～AN EX DX 由于 0 1 Xi EXi = pi p 1− pi pi (1 ) DXi = pi − pi 其中 = pi 100 1.01 100 1 1 i i = − − − 50.5 2 100 101 100 1 ) 1.01 100 100 (1.01 100 1 100 1 = × ∑ = ∑ − = × − × i= i= i i EX 0.01) 100 )( 100 (1.01 100 1 100 1 ∑ = ∑ − − i= i= i i i DX = 0.0101) 100 1 100 1.02 ( 2 2 100 1 ∑ − − = i i i
1.02100×101 100×101×201 -1.01=16665 6 即∑X~AN(50.16665,通过考试的概率为: 60-50.5 Px260=1-0 1-d(23271=1-09901=0.0099 16665 验证李雅普诺夫条件: B∑DX,规定Xm1开始都与Xm同分布且独立 于是:B2=∑DX=∑P(-P)→∞,n→ (因为P(-P)→0,n→∞,故级数发散) E(X1-P,|)=p,3×(1-p)+(1-p)xp =p(1-p1)P2+(1-p,)2]≤P1(1-p,) 于是:取δ=1,有 ∑P(-P) ∑E{X-p1P}≤ →0,n→∞ ∑P2(-p)2∑(-p) 即{xn}满足李雅普诺夫中心极限定理条件
= 1.01 6 100 101 201 100 1 2 100 101 100 1.02 2 − × × − × × × =16.665 即 (50.5,16.665) ，通过考试的概率为： 100 1 X AN i ∑ i ～ = P{ ) 1 (2.3271) 1 0.9901 0.0099 16.665 60 50.5 60} 1 ( 100 1 = −Φ = − = − ∑ ≥ = −Φ i= Xi 验证李雅普诺夫条件: ∑ 规定 开始都与 同分布且独立 = = 100 1 2 i β n DXi X101 X100 于是： = ∑ = ∑ − → ∞ → ∞ = = DX p pi n n i i n i n i (1 ) , 1 1 2 β （因为 pi(1− pi) →/ 0, n → ∞ ，故级数发散）。 E Xi − pi = pi × − pi + − pi × pi 3 3 3 (| | ) (1 ) (1 ) = (1 )[ (1 ) ] (1 ) 2 2 pi − pi pi + − pi ≤ pi − pi 于是：取δ = 1，有 → →∞ − = − − − ≤ ∑ ∑ ∑ ∑ = = + = = + n p p p p p p E X p n i i i n i i i n i i i i n i i n 0 , [ (1 )] 1 ( (1 )) (1 ) {| | } 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 β 即{Xn}满足李雅普诺夫中心极限定理条件