§53抽样分布 统计量都是随机变量,统计量的分布称为抽样分布。 定理57设随机变量X1X2,…,Xn相互独立,且 X1~N(1,G2) (i=1,2,…n) 则它们的任一确定的线性函数 CX1~N∑C1,∑C2a2) (537) 其中常数C1,C2,…,Cn不全为零。 证明由于X,X2,…Xn独立且均为正态变量,故它们的线性函数∑CX仍为正 态变量,又 E∑CX)=∑CE(X1)=∑C DC∑CX)=∑CD(X)=∑C2o 所以 ∑CX,~N∑C,∑Ca) 推论1设总体X~N(,a2),(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,则样本的 任一确定的线性函数 ∑CX1~N(∑C122∑C2) 其中C1,C2,…,Cn为不全为零的常数。 推论2设总体X~N(a2),(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,则样本 均值X的分布为 X-~N(0,1) 5.39)
§5.3 抽样分布 统计量都是随机变量，统计量的分布称为抽样分布。 定理 5.7 设随机变量 X1 , X 2 ,", X n 相互独立，且 ~ ( , ) 2 Xi N µ i σ i (i = 1,2,"n) 则它们的任一确定的线性函数 ~ ( , ) 2 2 1 ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i Ci Xi N C µ C σ (5.37) 其中常数C1，C2 ，…，Cn 不全为零。 证明 由于 独立且均为正态变量，故它们的线性函数 仍为正 态变量，又 X X X n , , , 1 2 " ∑= n i Ci Xi 1 ∑ ∑ ∑ ， = = = = = n i i i i n i n i E Ci Xi CiE X C 1 1 1 ( ) ( ) µ ∑ ∑ ∑ = = = = = n i i i i n i n i D Ci Xi Ci D X C 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) σ 所以 ~ ( , ) 2 2 1 ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i Ci Xi N C µ C σ 推论 1 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则样本的 任一确定的线性函数 ~ ( , ) 1 1 2 2 1 ∑ ∑ ∑ = = = n i n i i i n i Ci Xi N µ C σ C (5.38) 其中C1，C2 ，…，Cn 为不全为零的常数。 推论 2 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则样本 均值 X 的分布为 ~ ( , ) 2 n X N σ µ 或 ~ N(0,1) n X σ − µ (5.39) 1
推论3设X与Y为两个独立的正态总体,X~N(4,2),(X1X2…,Xn)为总 体X的样本,Y~N(122),(1,H2…,yn)为总体Y的样本,则这两个样本均值X与 Y的差X一Y的分布为 X-Y X-Y ~N(0,1) G/m1+a2/n2 其中 ∑x ∑ 定理5.8设总体X~N(A2),(x1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本,则有 (1)样本均值X与样本方差S2相互独立; n (X-X)2~x2(n-1) (541) 该定理的证明较复杂,故从略。 推论1设总体X~N(,a2),(X1,x2…,Xn)是来自总体X的一个样本,则有 S/n S,//n-1 证明由定理57的推论2和定理58知 2~x2(n-1) g/n 且x-=(-1s2 相互独立,再由t分布的定义得 /n (-1s:/2(n-1)√;/7(m X
推论 3 设 X 与Y 为两个独立的正态总体， ， 为总 体 ~ ( , ) 2 X N µ1 σ 1 ( , , , ) 1 X1 X 2 " X n X 的样本，Y ~ (µ 2 , )， 为总体 的样本，则这两个样本均值 2 N σ 2 ( , , , ) 2 Y1 Y2 " Yn Y X 与 Y 的差 X − Y 的分布为 ~ ( , ) 2 2 2 1 2 1 1 2 n n X Y N σ σ − µ − µ + 或 ~ (0,1) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n X Y σ σ µ µ + − − − (5.40) 其中 ∑= = 1 1 1 1 n i Xi n X ， ∑= = 2 2 1 1 n i Yi n Y 定理 5.8 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则有 (1) 样本均值 X 与样本方差 Sn 2 相互独立； (2) ( ) ~ ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2* 2 2 = − − − = ∑= X X n nS n S n i i n n χ σ σ σ (5.41) 该定理的证明较复杂，故从略。 推论 1 设总体 ~ ( , ) ， 是来自总体 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n X 的一个样本，则有 ~ ( 1) 1 * − − − = − t n S n X S n X n n µ µ (5.42) 证明 由定理 5.7 的推论 2 和定理 5.8 知 ~ N(0,1) n X σ − µ ， ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2* = − − n n Sn nSn χ σ σ 且 n X σ − µ 与 2 2 2 2* ( 1) σ σ n Sn nSn = − 相互独立，再由t 分布的定义得 ~ ( 1) [ ( 1)] ( 1) [ ( 1)] 2 2 2 2* − − − = − − − t n nS n n X n S n n X n n σ σ µ σ σ µ 即 ~ ( 1) 1 * − − − = − t n S n X S n X n n µ µ 2
推论2设X与y为两个独立且具有相同方差的正态总体,且X~N(A12),为 总体X的样本,Y~N(A2,a2),(F1,F2,…,Fn)为总体Y的样本。则有 X-y-(1-2) √/m1+l/ t(n1+n2-2) 其中 n, s2+n, 2(n, -)s +(n, -1)S: n, 2 ∑(x-x)2s:2=1∑(x1-x)2 (Y n2 证明由定理57的推论3,得 x-y-(1-2) N(O,1) 1m1+1/ 由定理58的(2)及2分布的可加性,得 n1S2+n2S22 由定理58的(1)知X与S2独立,Y与S2独立,因此 X-y-(1-2) √1n1+1/n2 S,+n,s 相互独立,再由t分布的定义,得 2) a√/+Vm2 S2+n2S2/2( (n1+n2-2) 2 X-y-(=△1(n1+n2-2) 推论3设X与y为两个独立的正态总体且X~N(1,a2),(X1,X2…Xn)为总 体X的样本,Y~N(12,a2),(1,H2…,)为总体Y的样本,则有
推论 2 设 X 与 为两个独立且具有相同方差的正态总体，且 ， 为 总体 Y ~ ( , ) 2 X N µ1 σ X 的样本， ~ ( , )， 为总体Y 的样本。则有 2 Y N µ 2 σ ( , , , ) 2 Y1 Y2 " Yn ~ ( 2) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − t n n S n n X Y w µ µ (5.43) 其中 2 ( 1) ( 1) 2 1 2 2* 2 2 * 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 + − − + − = + − + = n n n S n S n n n S n S Sw 2 1 1 2 1 ( ) 1 1 ∑= = − n i Xi X n S 2 1 1 2* 1 ( ) 1 1 1 ∑= − − = n i Xi X n S 2 2 1 2 2 ( ) 1 2 ∑= = − n i Yi Y n S 2 2 1 2* 2 ( ) 1 1 2 ∑= − − = n i Yi Y n S 证明 由定理 5.7 的推论 3，得 ~ (0,1) 1 1 ( ) 1 2 1 2 N n n X Y + − − − σ µ µ 由定理 5.8 的(2)及 分布的可加性，得 2 χ ~ ( 2) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + − + n n n S n S χ σ 由定理 5.8 的 (1) 知 X 与 独立， Y 与 独立，因此 2 S1 2 S2 1 2 1 2 1 1 ( ) n n X Y + − − − σ µ µ 与 2 2 2 2 2 1 1 σ n S + n S 相互独立，再由t 分布的定义，得 ~ ( 2) [ ( 2)] 1 1 ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 + − + + − + − − − t n n n S n S n n n n X Y σ σ µ µ 即 ~ ( 2) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − t n n S n n X Y w µ µ 推论 3 设 X 与Y 为两个独立的正态总体且 ， 为总 体 ~ ( , ) 2 X N µ1 σ 1 ( , , , ) 1 X1 X 2 " X n X 的样本，Y ~ (µ , )， 为总体Y 的样本，则有 2 N 2 σ 2 ( , , , ) 2 Y1 Y2 " Yn 3
F(n1-1,n2-1) 或 F(n1-1,n2-1) 其中S2,S2与S2,S2分别为两个总体的样本方差与修正样本方差 证明由定理58知 x2(n2-1) 由于两个总体独立可知- x(n1-1)与(n2-1) 独立,再根据F分布定义, 即 ~F(n1-1,n2-1) 例58设总体X~N(0,a2)(X12…,X,Xn1,Xn2,…,Xm),是来自总体X的 容量为n+m的一个样本,试求统计量 ∑X T 的概率分布。 解:由于X12X2…,Xn,xn1,Xn+2,…,Xnm独立且~N(O,1)2则有 )~N(O,n)或 N(0,1)
~ ( 1, 1) 1 2 2 2 2* 2 2 1 2* 1 F n − n − S S σ σ (5.44) 或 ~ ( 1, 1) ( 1) ( 1) * 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − − − − F n n n n n S n S σ σ 其中 ， 与 ， 分别为两个总体的样本方差与修正样本方差。 2 S1 2* S1 2 S2 2* S2 证明 由定理 5.8 知 ~ ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2* 1 1 − − n n S χ σ ， ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2* 2 2 − − n n S χ σ 由于两个总体独立可知 ~ ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2* 1 1 − − n n S χ σ 与 2 2 2* 2 2 ( 1) σ n − S 独立，再根据 分布定义， 得 F ~ ( 1, 1) ( 1) [ ( 1)] ( 1) [ ( 1)] 1 2 2 2 2 2* 2 2 1 2 1 2* 1 1 − − − − − − F n n n S n n S n σ σ 即 ~ ( 1, 1) ( 1) ( 1) * 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − − − − F n n n n n S n S σ σ 例 5.8 设总体 2 X N ~ (0,σ ) 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) X X " Xn n X + + Xn " Xn+m ，是来自总体 X 的 容量为 n+m 的一个样本，试求统计量 1 2 1 n i i n m i i n m X T n X = + = + = ∑ ∑ 的概率分布。 解：由于 X X 1 2 , ," " , Xn n , X + + 1, Xn 2 , , Xn+m 独立且 ~ (0,1), Xi N σ 则有 1 ( ) ~ (0, n i i X N n = σ ∑ ) 或 1 ( ) ~ (0,1) n i i X N n = σ ∑ ， 且 2 2 1 ( ) ~ ( n m i i n X χ m σ + = + ∑ ) 4
又因 )2相互独立,再由t分布的定义,得 ∑x ~l(m) vn∑x2
又因 1 ( ) n i i X n = σ ∑ 与 2 1 ( ) n m i i n X σ + = + ∑ 相互独立，再由 t 分布的定义，得 1 2 1 / ~ ( ) / n i i n m i i n X n t m X m = + = + ∑ ∑ 即 1 2 1 ~ ( ). n i i n m i i n m X T t n X = + = + = ∑ ∑ m 5