第三节向量组的秩 w吧w吧w吧行吧吧好产
第三节 向 量 组 的 秩
、最大线性无关向量组 定义5设有向量组A,如果在A中能选出个向量 a1,a2,…,an,满足 (1)向量组A:a1,a2,…,a,线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有 r+1个向量的话)都线性相关,那末称向量组A是 向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大 无关组);最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组,规定 它的秩为0
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义5 （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
二、矩阵与向量组秩的关系 定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩 证设A=(a1,a2,…,amn)R(4)=r,并设阶子式 D,≠0.根据42定理由D,≠0知所在的列线性无 关又由A中所有r+阶子式均为零,知4中任意 r+1个列向量都线性相关因此D所在的列是A 的列向量的一个最大无关组,所以列向量组的秩 等于r类似可证A的行向量组的秩也等于R(4 M
. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理6 关 ； 根 据4.2定 理4由Dr 0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
向量组m1,a2,…,an的秩也记作R( 152 结论 若D是矩阵A的一个最高阶非零子式,则D, 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组,D 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组 说明 (1)最大无关组不唯一; (2)向量组与它的最大无关组是等价的
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) R a1 a2 am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的
例1全体n维向量构成的向量组记作R",求R的 个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E: e 19229,tn 是线性无关的,又根据42定理的结论(3)知R 中的任意+1个向量都线性相关,因此向量组E 是R的一个最大无关组,且R的秩等于n
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定 理 的结论 知 1 4 2 5 3 n + R n . ( ) . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组
例2设矩阵 1-1 2143 1-2 112 2 4 66 2 4 979 求矩阵4的列向量组的一个最大无关组,并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示
− − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不
解对4施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 11-214 A初等行变换 01-110 0001-3 知R(4)=3, 00000 故列向量组的最大无关组含3个向量 而三个非零行的非零首元在12、4三列, 故a1,a2,a4,为列向量组的一个最大无关组
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ， − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组
事实上 2-11 111 (an,a,a,)111初等行变换011 4-6-2 001 367 000 知R(a1,a2,a4)=3,故a1,a2,a4线性无关 要把a3,用a1,a2,a线性表示,必须将A再变 成行最简形矩阵
知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上 − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~
10-104 01-103 A初等行变换 00 01-3 000 0 2=-1- 即得 3 29 a5=4a1+32-34
− − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换 = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得
三、向量组秩的重要结论 定理3设向量组B能由向量组线性表示,则向 量组B的秩不大于向量组4的秩 证设向量组B的一个最大无关组为B:b1,…,b, 向量组A的一个最大无关组为A0:a,…,a,要证 r≤S 因B组能由B组线性表示,B组能由4组线性 表示,A组能由4组线性表示 故B组能由4组线性表示 由定理3有R(b1,b2,…,b)≤R(a1,a2,…,a,) 即r≤s
. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r 向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ， 证 定理3’ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 三、向量组秩的重要结论 r s R b b br R a a as 即 由定理3有 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2