哈尔滨理工大学斛监課裎 离影数 °第10章代数系统 计算机系
第10章 代数系统 离 散 数 学 哈尔滨理工大学本科生课程 计算机系
本章说明 口本章的主要内容 元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统定义及其实例 子代数 口与后面各章的关系 是后面典型代数系统的基础
本章说明 ❑本章的主要内容 –一元和二元运算定义及其实例 –二元运算的性质 –代数系统定义及其实例 –子代数 ❑与后面各章的关系 –是后面典型代数系统的基础
本章内容 10.1二元运算及其性质 10.2代数系统 本章小结 作业
10.1 二元运算及其性质 10.2 代数系统 本章小结 作 业 本章内容
10.1二元运算及其性质 定义10.1设S为集合,函数∫:S×S→S称为S上的二元运 算,简称为二元运算。 举例f:NxN→N,f()=x+y 是自然数集合N上的二元运算 ∫:NXN→N,f()≡x-y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。 谝验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点 口S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果 是唯一的。 口S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是 封闭的
10.1 二元运算及其性质 定义10.1 设S为集合，函数 f：S×S→S 称为S上的二元运 算，简称为二元运算。 举例 f:N×N→N，f()＝x +y 是自然数集合N上的二元运算 f:N×N→N，f()＝x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。 说 明 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： ❑ S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果 是唯一的。 ❑ S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是 封闭的
例10,1 (1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减 法和除法不是。 (2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ,而除法不是。 (3)非零实数集R上的乘法和除法都是R上的二元运算,加 法、减法不是 (4)设S={n,2x…,an},a=a为S上二元运算
（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。 （2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。 （3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。 （4）设S＝{a1 ,a2 ,…,an }，ai aj =ai为S上二元运算。 例10.1
例10.1 (5)设Mn(R表示所有m阶≥2)实矩阵的集合,即 (R) 21222 an∈R,i,j=1,2,…,n 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 (6)S为任意集合,则∪、∩、一、⊕为P(S)上的二元运算。 (7)SS为S上的所有函数的集合,则合成运算为S上的二元运
例10.1 （5）设Mn (R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) , , 1, 2,..., n n n ij n n nn a a a a a a M R a R i j n a a a = = 则矩阵加法和乘法都是Mn (R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上的二元运算。 （7）S S为S上的所有函数的集合，则合成运算为S S上的二元运 算
元远 定义10.2设S为集合,函数f:SS称为S上的一元运算,简称 为一元运算。 例10.3 (1)求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集 合R上的一元运算。 (2)求一个数的倒数是非零有理数集合Q、非零实数集合R 上的一元运算。 (3)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算
一元运算 定义10.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称 为一元运算。 例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集 合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q* 、非零实数集合R* 上的一元运算。 （3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算
元远算举例 (4)在幂集P(S)上,如果规定全集为,则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。 (5)设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,AcSs, 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 (6)在(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置 矩阵是M(R)上的一元运算
（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。 （5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，AS S ， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 （6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn (R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn (R)上的一元运算。 一元运算举例
元与一元远的算符 口可以用°*·、⊕、⑧、Δ等符号表示二元或一元运算,称 为算符。 设f:S×S→S是S上的二元运算°,对任意的x,y∈S,如 果x与y的运算结果为z,即f)=z,可以利用算符 简记为 xy=%o 对一元运算△,x的运算结果记作△x 例题设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*: VxJ∈R,x*y=x。 那么3*4=3,0.5*(-3)=0.5
❑ 可以用 、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称 为算符。 – 设f : S×S→S是S上的二元运算 ，对任意的x, y∈S，如 果x与y的运算结果为z，即f()＝z，可以利用算符 简记为 xy = z。 – 对一元运算，x的运算结果记作x。 例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算： x,y∈R，x y = x。 那么 3 4 = 3，0.5 (−3) = 0.5。 二元与一元运算的算符
元与一元远的表示 口函数的解析公式 口运算表(表示有穷集上的一元和二元运算) 二元运算的运算表 一元运算的运算表 oa n l,oa 10 12a201a20n2 0 o
❑ 函数的解析公式 ❑ 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） 二元运算的运算表 an a … n an a2 an a1 an … … … … … a2 a … n a2 a2 a2 a1 a2 a1 a … n a1 a2 a1 a1 a1 a … n a2 a1 一元运算的运算表 an an … … a2 a2 a1 a1 ai ai 二元与一元运算的表示