《概率统计》课程教学资源（典型例题分析，含答案）第一章概率论的基本概念.doc_大学文库

第1章概率论的基本概念典型例题分析一、事件的表示及其等价表示例 1 设 A，B，C 为三个事件，则“A，B，C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（）。 (A) AB+AC+BC (B) A+B+C (C) ABC + ABC + ABC (D) A + B + C 分析根据事件的并的定义，凡是出现“至少有一个”，均可由“并”来表示，在本题中，要表示的事件是“至少有一个不发生”，由于不发生可由对立事件来表示，于是“A，B， C 至少有一个不发生”等价于“ A ， B ，C 中至少有一个发生”，故答案（D）正确。答选择（D）。二、事件的关系与运算例 1 如果 A 与 B 互不相容，则（）。（A） A B = （B） A =B （C） A + B =  （D）A+B=  分析这里要区分互不相容和对立事件。如图，A 与 B 互不相容，显然（D），（B）不成立。而 A B =  -（ A B 也不为  ，故（A）也不成立，事实上，由于 A + B = AB =  ，于是选择（C）。答选择（C）。例 2 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是（）。（A）（A-B）+B=A （B）AB+（A-B）=A （C）（A+B）-B=A （D）（AB+A）-B=A 分析这类问题的关键在于正确理解事件运算的定义和性质，必要时可借助于文氏图来分析。比如选项（A）的左边的运算结果应该等于 A+B，而不是 A；而选项（C）左边运算的含义是 A 发生而 B 不发生，即为 A-B，这两个选项的关键在于注意求和差运算的顺序。选项（B）的左边实际上等于 AB+A B =A（B+ B ）=A，从而选项（B）是正确的，最后选项（D）左边的括号中运算结果实际上等于 A，从而左边运算的结果为 A-B。答选择（B）。三、应用概率性质计算概率例 1 已知 P A p ( ) = ， P B q ( ) = ， P A B p q ( ) = + ，则 P A B ( ) = _______. 分析首先，由题设及加法法则知 P AB ( ) =0，尽管 AB 一般不一定等于  ，但在概率计算

时视其为  也不会影响计算结果。在求填空题时，这是一种好的技巧。接下来不妨设 AB=  ，此时 B  A ，从而 P A B ( ) = P A( ) =1- P A( ) =1-p. 答 1-p . 例 2 已知 P B( ) =0.4， P AB ( ) =0.2， P AB ( ) =0.6，则 P AB ( ) =_______. 分析由于 P AB ( ) =1- P A B ( ) + ，因而需计算 P A B ( ) + 。又根据加法公式有 P A B ( ) + = P A( ) + P B( )- P AB ( ) ，其中题设中已知 P B( ) 和 P AB ( ) ，因而需计算 P A( ) ，注意到 P AB ( ) + P AB ( ) = P A( ) 。由此可计算 P A B ( ) + 从而得 P AB ( ) 。答 0。四、由概率性质导出的一些结果例 1 设 P A( ) =0.6， P B( ) =0.7，证明 0.3  P AB ( )  0.6. 分析证明概率不等式的基本依据是概率的性质，通常包括：事件的概率介于 0 和 1 之间；子事件的概率不大于母事件的概率；概率的计算公式等。证明首先由 AB  A ，知 P AB ( )  P A( ) =0.6 ，其次，由 P AB ( ) = P A( ) + P B( ) - P A B ( ) =0.6+0.7- P A B ( ) ，又由 P A B ( )  1 知 P AB ( )  0.6+0.7-1=0.3。五、古典概率的概率计算 1 袋中取球问题例 1 一袋中装有 m n + 个球，其中 m 个黑球， n 个白球，现随机地从中每次抽取出一个球（不放回），求下列事件的概率：（1）第 i 次取到的是白球；（2）第 i 次才取到白球；（3）前 i 次中能取到白球；（4）前 i 次中恰好取到 l 个白球（ l i m n   + ，l n  ）；（5）到第 i 次为止才取到 l 个白球（ l i m n   + ，l n  ）；（6）取球直到剩下的球的颜色都相同为止，最后剩下的全是白球。分析本题中取球是按顺序取的，所考虑的事件往往也涉及取球的顺序，所以在计算样本点数（即基本事件数）时，要用排列数。解（1） m n + 个球按顺序取出共有（ m n + ）！种取法，其中第 i 次取出的是白球的取法按乘法法则共有 1 ( 1)! C m n n + − 种取法，于是“第 i 次取到的是白球”这一事件 Ai 的概率为 ( ) P Ai = 1 ( 1)! ( )! C m n n m n + − + = n m n +

（4）在第 i 站恰有 3 人下车。分析此问题是上面例题放球问题的具体应用：将 25 名乘客视为 25 个球，9 个站视为 9 个箱子，于是“第 i 站停车”等价于“第 i 站至少有一乘客下车”既而相当于“第 i 个箱子不为空”，其他类似。解（1）“交通车在第 i 站停车”等价于“第 i 站至少有一乘客下车”，先求对立事件“第 i 站无人下车”的概率，类似于上面，由于每个乘客可以在任意一站下车，从而有 9 种情况，于是 25 名乘客有 25 9 种下车的情况，而“第 i 站无人下车”表明 25 名乘客全部在第 i 站以外的 8 个站下车，共有 25 8 种情况，从而“第 i 站无人下车”的概率为 25 25 8 9 ，于是“第 i 站至少有 1 人下车”的概率为 1- 25 25 8 9 ，即“第 i 站停车”这一事件 Ade 概率为 P（A）=1- 25 25 8 9 =1- 25 8 9       （2）类似于（1）的解法，可得“第 i 站和第 j 站均无人下车”亦即“第 i 站和第 j 站均不停车”的概率为 25 7 9       ，于是“第 i 站和第 j 站至少有一站停车”的概率为 25 7 ( ) 1 9 P B   = −    （3）记“第 i 站停车”为事件 Ai ，“第 j 站停车”为事件 Aj ，则所考察的事件“第 i 站和第 j 站均停车”为 AAi j ，由（1）知 P（ Ai ）=1- 25 8 9       ，P（ Aj ）=1- 25 8 9       ，由（2）知 25 7 ( ) 1 9 P A A i j   + = −     于是由概率的加法公式可得 25 25 25 25 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 2[1 ] [1 ] 9 9 8 7 1 2 9 9 P A A P A P A P A A i j i j i j = + − +     = − − −             = − +         （4）类似于上面例题，“第 i 站恰有 3 人下车”这一事件 E 的概率为 3 22 3 25 1 8 ( ) 9 9 P E C     =        

六、几何概率例两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时和 2 小时，则一艘轮船停靠泊位时，需要等待空出码头的概率为 ________. 分析两艘船到达时间视为平面坐标系中的点，据题意，它等可能取矩形区域[0，24]*[0， 24]上任意一点，符合几何概型。不妨设甲船坐标为 x，乙船为 y，则一船停靠时需要等待空出码头分两种情况：甲先到，乙随后的一小时内到达；乙先到，甲随后两小时内到达，于是这一事件可表示为（ x,y ）落在区域： {( , ) 0 24,0 24,0 1} {0 24,0 24,0 2} x y x y y x x y x y      −       −  。如图，根据几何概型计算可得 2 2 2 2 1 24 (22 23 ) 2 ( ) 0.121 24 P A − + =  答 0.121。七、条件概率与独立性的定义与性质例设 A，B 为任意两个事件，且 A B P B    ,0 ( ) 1 ，则（）（A） P A P A B ( ) ( )  （B） P A P A B ( ) ( )  （C） P A P A B ( ) ( )  （D） P A P A B ( ) ( )  分析不能直接比较，需要根据条件概率定义转化为无条件概率来比较，事实上，由 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B P A P B =  。故（A）成立。答选择（A）。八、利用独立性及伯努利概型计算概率例某种产品每批中都有 2/3 为合格品，验收每批时规定，从中先取一个，若是合格就放回去再取一个，如果仍为合格品，则接受该批产品，否则拒收，求检验三批，最多只有一批被拒收的概率。分析检验三批，可视为做三次伯努利试验，最终为求得“最多有一批拒收”的概率可使用伯努利概型，为使用伯努利概型关键需要知道每批拒收的概率，而每批是否拒收的根据是每批产品的两次检验，又相当于两次伯努利试验，因此又是通过伯努利概型来计算的。可见这里要使用伯努利概型两次。解先确定每批产品拒收的概率，据题设，“产品拒收”可表示为两次放回检验中“至少一次检验不合格”，于是可以先计算“产品被接收”的概率，即“两次检验均合格”的概率。记 Ai “第 i 次检验为合格”，“产品拒收”为 B，则 2 1 2 2 4 4 5 ( ) ( ) , ( ) 1 3 9 9 9 P B P A A P B   = = = = − =    

P(A41A4+4)=141 3/43 即已知其中有一个是女孩的条件下,另一个也是女孩的概率为十、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式例袋中有一个红球和一个白球,从中随机摸出一个球,如果取出的球是红球,则把此球放回袋中,并加进一个红球,然后从中再摸一个球,如果还是红球则仍把此红球放回袋中并加进一个红球,如此反复进行,直到摸出白球为止,求第n次才摸出白球的概率。分析“第n次才摸出白球”这一事件等价于“n次摸球中,前n1次摸出的均为红球第n次摸出的是白球”,由于每次摸球的结果的可能性均依赖于前面摸球的结果,这是典型的利用乘法公式求交的概率的问题解设A={第i次摸出红球},i=l,2,3,…,n. 显然 P(4)=,P(41|4)=5,P(A-1A1、A n一 P44A)=n+1Px14-4)=m+ 于是 P(A1A2.AL)=P(4)P(A2|A).P(An1A1…A2).P(An|A1…A) 123 n =一X-X-Xx 234 例某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同类产品20箱,甲厂产品每箱装100 个,废品率为0.06,乙厂产品每箱装120个,废品率为0.05 (1)任取一箱,从中任取一个产品,求其为废品的概率; (2)若将所有产品开箱混装,任取一个,求其为废品的概率。分析这是一个典型的全概率公式应用的概率计算问题,为求最终取得的产品为废品的概率,题设已知甲厂产品的废品率,即已知是甲厂产品的条件下,产品为废品的概率,也已知乙厂产品的废品率,即已知是乙厂的条件下,产品为废品的概率,利用全概率公式还需知道产品是甲厂产品或乙厂产品的概率,问题(1)和(2)抽取产品的方式不同,在问题(1) 中每箱等可能被抽到,而问题(2)中每个产品被等可能抽到,因而会导致两种方式下抽到的产品是甲厂或乙厂的产品的概率不同。解设A={产品为甲厂的}B={产品为废品} 由题设知P(B|A)=006P(B|)=005,由全概率公式有 P(B)=P(A)(B A)+P(A)P(BA) (1)共50箱,甲厂30箱,乙厂20箱,每箱被等可能取到,于是PA)=3P()=2 故

1 2 2 1 1/ 4 1 ( ) 3/ 4 3 P A A A A + = = 即已知其中有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为 1 3 。十、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式例袋中有一个红球和一个白球，从中随机摸出一个球，如果取出的球是红球，则把此球放回袋中，并加进一个红球，然后从中再摸一个球，如果还是红球则仍把此红球放回袋中并加进一个红球，如此反复进行，直到摸出白球为止，求第 n 次才摸出白球的概率。分析 “第 n 次才摸出白球”这一事件等价于“n 次摸球中，前 n-1 次摸出的均为红球，第 n 次摸出的是白球”，由于每次摸球的结果的可能性均依赖于前面摸球的结果，这是典型的利用乘法公式求交的概率的问题。解设 Ai ={第 i 次摸出红球}，i=1，2，3，…，n. 显然 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ( ) , ( ) , ( ... ) , 2 3 n n n P A P A A P A A A n − − − = = = 1 1 1 1 1 ( ... ) , ( ... ) . 1 1 n n n n n P A A A P A A A n n − − = = + + 于是 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ... ) ( ) ( )... ( ... ) ( ... ) 1 2 3 1 1 ... 2 3 4 1 1 . ( 1) P A A A A P A P A A P A A A P A A A n n n n n n n n n n n − − − − =  − =      + = + 例某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同类产品 20 箱，甲厂产品每箱装 100 个，废品率为 0.06，乙厂产品每箱装 120 个，废品率为 0.05。（1）任取一箱，从中任取一个产品，求其为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混装，任取一个，求其为废品的概率。分析这是一个典型的全概率公式应用的概率计算问题，为求最终取得的产品为废品的概率，题设已知甲厂产品的废品率，即已知是甲厂产品的条件下，产品为废品的概率，也已知乙厂产品的废品率，即已知是乙厂的条件下，产品为废品的概率，利用全概率公式还需知道产品是甲厂产品或乙厂产品的概率，问题（1）和（2）抽取产品的方式不同，在问题（1）中每箱等可能被抽到，而问题（2）中每个产品被等可能抽到，因而会导致两种方式下抽到的产品是甲厂或乙厂的产品的概率不同。解设 A={产品为甲厂的},B={产品为废品} 由题设知 P B A P B A ( ) 0.06, ( ) 0.05 = = ，由全概率公式有： P B P A P B A P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 。（1）共 50 箱，甲厂 30 箱，乙厂 20 箱，每箱被等可能取到，于是 3 2 ( ) , ( ) 5 5 P A P A = = ，故

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