目录 非线性科学丛书出版说明 前言 第1章浅水槽中的孤波与孤子 §1波、水表面波和色散… 1.1波和色散… 1113 §1.2流体力学方程… ● §1.3线性小振幅水波… … 5 2孤波的发现… 7 §3孤子的相互作用 …13 ↓守恒定律 …17 解dV方程初值问题的反散射方法 19 6水槽中KdV孤子实验… …26 7kdv方程的应用及其推广 ………28 第2章深水槽中的包络孤波… …30 §8深水中的斯托克斯波和边带不稳定性……30 §9NLS方程与斯托克斯波的失稳…33 §10NLS方程初值问题与实验结果…36 11NLS方程与周期回归现象 …41 12束缚态与多(阶)极(点)解 …44 §13暗孤波(包络洞孤波)… 46 第3章参量激发驻孤波 ……49
§14参量共振… 4 §15参量激发驻孤波…54 16 PDNIS方程和驻孤波解…57 17椭圆驻波解与“反向孤子对…61 §18扭结表面波… 66 19界面驻孤波… . 第4章法拉第孤子间的周期性往复运动… …70 20法拉第孤子的周期性往复运动…70 21描述法拉第孤子周期性往复运动的方程…73 22一对“同相孤子的相互往复振荡79 23边界条件及讨论 3 第5章参量激发水表面波的动力学行为… …85 24驻孤波的稳定区和分岔混沌现象85 25 PDNLS方程驻孤波解稳定性分析S 26pdnS方程的动力学行为 …9 §27存在问题与展望95 附录AKdV方程的推导和它的永形波解98 附录B慢调制深水波中的NLS方程104 附录 PDNLS方程的推导… …113 附录D参量激励下界面波方程 ……118 参考文献 120
Contents Prefab Chapter I The solitary waves and solitons in shallow water trough §1 Waves, water waves and dispersion……………1 N2 The discovery of solitary waves…………………7 §3 The interaction of solitons……………… N4 Conservation laws… 17 85 The inverse scattering method for solving the initial-value problems of KdV equation .... 19 86 The experiments on the KdV solitons in water trough…………26 §7 Applications of KdⅤ equation and its generalization…28 Chapter 2 The envelope solitons in deep water trough………………………30 &8 The stokes wave on deep water and the side- band instability…………30 89 NLS equation and the intability of Stokes waves…·…33 8 10 The initial-value problems of
equation and the experimental results ee e.. 36 811 NLS equation and the phenomena of recurrence························.············ 812 The bounded states and the multiple pole solutions………………………………44 $13 Dark solitary wave (envelope-hole solit Chapter 3 ParametricaLly excited standing solitary waves……·…………49 §14 Paramatrical resonance……………49 8 15 Parametrically excited standing solitary wave s54 816 PDNIS equation and the standing solitary wave solution…………… 817 The cnoidal standing wave solution and the so calles"a pair of solitons of opposite polarity ·自·非·····.········,··;·.●··,·s.s·当非·a §18 The kink surface wave………………66 §19 The standing solitary wave on interface………68 Chapter 4 The mutual oscillatory(back and forth) motion of Faraday solitons………70 8 20 The mutual oscillatory (back and forth) motion of Faraday solitons…………………70 8 21 The equation of the Faraday solitons with mutual oscillatory( baek and forth) motion……73 8 22 The mutual oscillatory motion of two
solitons with the same polarity". s23 boundary condition and discussion……83 Chaper 5 The dynamic behaviors of parametrically excited water waves……85 8 24 The stable parametrical regions of g solitary wave and the phenomena of bifurcation and cha 85 8 25 Stability analysis of the standing solitary wave solution of PDNlS equation 26 The dynamic behaviors of PDNLS equation……93 8 27 Unsolved problems and prospects 95 Appendix A Derivation of Kdv equation and its solutions of permanent form waves 98 Appendix B NLs equation of slow-modulating deep water waves…………104 Appendix C Derivation of PDNLS equation……113 Appendix d Equations of parametrically excited interface wave 118 References……120
第1章 浅水槽中的孤波与孤子 历史上,孤波的发现和孤子概念的建立.是从一维浅水槽中小 振幅波的研究开始的·由于人们对自然现象的细心观察而发现了 孤波随后又进行了认真的实验研究和理论工作,导出了描述这 物理现象的KdV方程.通过对KdV方程的数值研究.发现孤波相 互作用后仍能保持各自的波形和速度终于建立了“孤子”概念 解析方法尤其是反散射方法的发展,不仅使人们对孤子的认识和 理解更加深入而且发现一系列非线性演化方程都存在孤子解 今天,几乎物理学的各个领域都发现了孤子,或存在孤子的物理机 制,大量实验事实肯定了孤子理论的结论.孤子概念变得越来越 重要和普遍了,本章将遵循人们对孤子的这一认识过程,即由观 察、实验到理论提高和推广、再进行实验验证的过程来进行介绍 为了初学者的方便,在§1介绍了有关波动、流体力学方程和 边界条件及水波的一些内容.熟悉这些内容的读者可以直接从§ 开始阅读 §1波、水表面波和色散 §1.1波和色散 波动是自然界中最常见的现象之一·电磁波、声波、水波、地 震波、麦浪的起伏……都是波动的现象,典型的一维波动方程为
这里(x,t)是波幅,它可以是电场强度、声压、水面或地面的高度 等振动变化的物理量;c是波速(或波的相速度).方程(1.1)的通 解为 (r,t) x,坐 ∫(x-at)描述向右传播的波,g(x+cr)描述向左传播的波,波速都 是c.对于方程 十 0 l,2) 只有向右传播的行波解∫(x-ct).而方程 =0 蜊只有向左传播的行波解g(x+ct).这里所说的行波解,是指偏 微分方程的解具有q=g(母)的形式,其中=xe、c是一个正的 常数.例如上面提到的f(x-ct)、g(x+dt)等都是行波解.典型 的单色平面波解是 , t ) Acos kr -aix) 这里波矢k=,圆频率0=2xfF入∫和T分别是波的波 长、频率和周期(高维时,k由矢量k代替,k的方向即波前传播方 向).波速或波的相速度 k 更复杂的波形变化可由许多具有不同振幅、波矢和频率的平面波 叠加而成.波包则是由一些波矢和频率相近的波所组成,波包运 动的群速度 dw dk 它也是波的能量传输速度 构成波包的每一个单色平面波的波前以各自的相速度向前传 播,可见只有当c与k无关时波包才能保持其形状不变.当
f(k) 是k的非线性函数或 c= fck)/k 1.7) 与k有关时,构成波包的不同ω的单色平面波的波前速度不相同 波包将逐渐变形弥散,这就是色散所引起的效应,关系式(1.6)或 (1.7)通常称之为色散关系 方程(1.1)、(1.2)和(1.3)是线性的,波的叠加原理成立.如 果描述波的方程是非线性偏做分方程.则迭加原理不成立一般也 不可积.但如果它是可积的并且有孤子解通常也存在N孤子 §1.2流体力学方程 流体力学中的波动现象十分丰富,由于流体的可压缩性在 流体内部可以传播声波,在不同流体或同一流体不同密度的界面 层可以存在内波.在流体表面有因表面张力而引起的毛细波,水面 的波浪、海啸、潮汐和海岸附近的风暴潮等也无一不是波动现象 它们和重力、地球的自转及月亮和太阳的引力有关.本书所涉及 的水槽中的孤波是水表面波,其恢复力是重力 描述流体力学的方程主要是连续性方程和纳维斯托克斯 (\ avier- Stokes)方程·对于液体重力波来说.流体密度变化可以 dp 忽略不计·于是连续性方·=0简化为 F·V=0. 纳维-斯托克斯方程有形式 (v·)V 这里ⅴ是流体速度·P是压强为流体密度(已取为常量).g为 重力加速度,=是流体运动粘滞系数.上式中已取直角坐标系 的轴垂直流体表面向上,并取流体无扰动的静止表面为x=0
在水中ν=0.0lcm2/sec很小,因此除了速度梯度很大的非常薄的 边界层外,忽略粘滞性是很好的近似.不可压缩无粘滞性的流体称 为理想流体若流体的运动是无旋的,则可令 V= V9 (1.10) φ是速度的标量势,于是方程(1.8)变为 0 d≤z≤(1.11) 这里已取水深为d,扰动后相对z=0的流体表面高度为.取v= 0,将(1.10)代入(1.9),对空间进行积分并适当选取积分常数, 即可得到熟知的伯努利(D. bernoulli)方程 x≤5(1.12) 方程(1.11)和(1.12)是决定理想流体无旋运动的方程,为了求出 实际问题的解还必须知道流体运动所满足的边界条件,显然,流 体不能流出容器边界.在固定的固体界面上流体的法向速度vn 必须为0.即 =0.(容器界面上)(1.13) 这里n是容器界面的法线方向.对于与大气接触的流体的自由表 面,设该表面的方程为z=(x,y,t),亦即该表面由方程 FOr 5(x,y,t) 表示,由于流体表面上的流体质点不能穿出流体表面,该流体质 点在流体表面上的法向速度v必须与流体表面的法向速度q相 同.注意到流体表面单位法线矢量m VF IVF ,所以 V·VF VF VFI IVF 为了求出q·VF,设时刻t+dt时流体表面方程变为F(x+qdt t+dt)=0,展开后, (x +dt t+dt)=F(xt)+i dF +q·VFdt+o(dr2)=C
因为F(x,1)=0.所以方q·下F=0或q·F= F 利用x 即有 v·下F F 利用(1.10)·并由F=≤-5(、1)=0计算F·最后我们得到流体 自由表面的边界条件为 at d r dr ddr de (1.14 方程(1、11)~(1.14)是本书中常用的非线性流体力学偏微分方程 组 方程(1.12)如在流体表面=处取值.则有 P x=y)(1.15 其中P为大气压强.如果需要考虑流体的表面张力微曲曲面流 体中邻近表面的压强近似为 (1.16) 方程(1.15)变为 冲1(4)g、9=p·(=5)(1.17) 其中a为流体的表面张力系数 般将忽略耗散项的影响.在需要考虑粘滞性引起的耗敝 时,我们将要作一些合理的简化处理 §1.3线性小振幅水波 小振幅波ξ很小,可以略去非线性项、方程(1.12)用(1.15) 代替,并取P。为0.近似地,不妨取液面为c=0.由方程(1.11)、 更严格的考虑曲率半径·表面张力项一只应由“,(1)4(1 )-234(1+好一)代替