目 第六积 §1.积分定义和可积函数集述 1.问题和启发性想法(1)2黎曼积分的定义(3) 3.可积函数集(5) 习题与练习(19) §2.积分的线性性可加性单…21 1.作为空间[a,b]上的线性函数的积分(21) 2.作为积分区间的可加函数的积分(22) 3.积分的估计,积分的单调性和中值定理(25) 习题与练习(32) §3.积分和导数… 34 1.积分和原函数(34)2.牛顿-莱布尼茨公式(36) 3.定积分的分部积分法和勒公式(38) 4.积分中的变量替换(40)5一些例子(42) 习题与练习(47) §4.积分的一些应用…… 50 1.定向区间可加函数和积分(50) 2.道路的长度(52)3.曲边梯形的面积(60), 4.施转体的体积(61)5.功与能(62) 习题与练习(68) §5反常积分 …69 1.反常积分的定义,例题和基本性质(70), 2.反常积分收敛性的研究(74) 3.具有几个奇异点的反常积分(80) 习题与练习(83) 第七章多变量函数和它的极限与连续性w86 cu空间的重要集86
.集合R和R中的距离篱86.2,R中的开集与5闭集163 3.R中的紧(致)统1(1) 习题与练93) §2.多变量函数的极限与连续性………94 1.函数的极限(9), 2.多变量函数的连续性和连续函数的性质(10 习随与练9(16) 第八章多变量函数微分学 07 §1.R中的线性结…………107 作为向量空间的:0 2.线性变换L:108 3.R中数2(09 4R的欧几里得结构( §2.多变量函数的微分 可微性和函数在一点的微分(1 2.实值通的偏导数与微分(19 3陕射的撒分的坐标表示雅可比矩阵17 函数亡一点的连续性,偏导数和可微性(18 §3.微分法的基本定律 微分法运算的线性质1 2复合峡射的微分法(12 3,块射的微分法(123 习题与练习(18 §4.多量实值函数微分学的基本实……38 中值定理1(36), 2,多变函最可微性的充分条件13 3.高阶偏导数(139 4.秦勒公式(143) 5.多变量函数的极值(15) 6.与多变量函数有关的某些几何形象(153 习题与紫习15 §.动定 165
1.问向题的提出与启发性想法(165) 2.隐函数定理的最简单情形(167) 3转响关系式F(x,…",,)=的情形(1) 4.隐函数定理(74) 习题与练180 §6.隐函数定理的一些推论 .反函数定理18) 2.局部地把光滑映射化为典则形式(18) 3,函数相关性194 4局部地分解微分同胚为最简形式的复合(9 5.莫尔斯(M:19) 习题与练习(203) §7.R中的曲面和条件极值理论-4 R中的上维曲面(29.2.切生间12192.0氣件极值(21). 习题与练2 文就 素引…… 235 人名案引… 259
第六章 积分 §1.积分定义和可积函数集的描述 1.问题和启发性想法设有一点沿数轴运动,它在时刻的 坐标是s(t)而v(t)=s(t)是它在同一时刻的速度假定我们 知道这个点在时刻t的位置是(t),而且还给我们提供了它的 速度的数据,我们想用这些资料,对任意确定的时刻t计算 8(t 如果认为速度(t)是连续变化的,那末点在一小段时间内的 位移将近似地等于该时间间隔内任一时刻t的速度v(r)与这一 小段时间间隔的值△的乘积v(t)△t这提示我们,指定一些时 刻(i=0,m)<<=,以分割区[],设间 隔[-都取得很小,记at=t-t取t,则 有近似等式 s(t)-s()~() 可以想象,如果对区间[,]所做的分割越细,这个近似等式 就越雀确,这样一来,可以设想,当分划的最大间隔长λ趋于零的 极限情形下,我们将得到精确等式 Jim o() =(t)-8 (1) +0 1
达个等式不是别的,正是全部分析学的基本公式一牛顿菜 布尼茨公式一方面它使我们能够根据导数()求出它的原函 数数`;另一方面,又可根据已经用某种方法得到的图数()的 原函数6(),求出位于等式左边的和式∑极限 在许多极其不同的场合含都会遇到达种和式,我们称它为积 分和 譬如,我们试图仿效阿基米德方法求位于抛物线y=z2下边 闭区间[1]上边的图形面积(图打).这里不详细讨论图形的 面积褫念,以后会论述它像阿基米德一样,我们将利用厢已经会计 算其面积的最简单的图形一矩形,对上述图形施行穷尽法取点 0=<的<…<=1把区间[0,1分成一些小区间x1x1,显 然,我们可以把图上画出的那些矩形的面积的和作为要求的面积 0的近似 0≈ ∑△x 这里△=-1,设()=r2以及 =我们把所得的公式改写成如 下形式 用这些吧亏彐足渡到时就传到 lim f(5)4z; =0. 同上边一带这里的λ是分划的最大区间长, 公式(2)只在记号上与公式(1)不同暂时不管f()和a的 几何意义,而把成时间,()看成崴来求j(的原函
F(.然后,根据公式(1)将得到=(1)-F0) 在我们的情形()=2,E此 F(2)=2+,0=(1)-(013 这正是阿基米德的结果面他是用苴接计算(2)中的极酸得到的. 积分和的极限叫儆积分,这样,牛顿·莱布尼茨公式(1)就把 积分与原函数联系起来了 现在我们来精确地叙述并检验上边那些在般想象的户发式 叙述中得到的东西 幕曼积分的定义 .分划 定义1闭区间砂(0)是区间 b的切满足条件1P)0)确实是③的基, 首先,同≠0,事实上对任何数心>显然存区[0矿 分划P,其参数(P)<(例如,分成罪个全等区间的分划).由 此也存在带标志点的分划(,且A(P)< 其次,如果Q<4,Q<以及4=min(4,则显端有
B4∩B2=B乐 因此={B确实是∞的基 c积分和 定义3如果函数∫在闭区间[c定义,而(P,是这个 区间的一个带标志点的分划,则和 G(;(,9)=∑)a (3) 讠=1 叫儆函数∫对应于区间b]的带标志点分划(,引)的积分和,其 中△x;=x4-14 达样对于确定的函数子,积分和O((,)是定义在区间 ]上的带标志点的分划=(P,)的集合上的图数p(?)= (;2 由于在中有基,所以可以提出函数(p)关于这个基的 极限的问题 d.黎曼积分设是给定在闭区间[a,b]上的函数, 定义4称数⑦是函数∫在闭区间,b上的梨曼积分,如果 对于任何>0可以找到δ>0,使对区间b]的任何带标志点的 ,分划(P,,只要其参数A(P)<,就有 因为满足1(P<的那些分划1=(P,组成了上面在带标1 志点的分划的集合④中引进的基怒的元素B所以定义4等价于 9=limp(p) 亦职:积分是函数对应于区间】的带标志点的分划的积 分和的光基的极限 用符号1(P)~0表示基是自然的,从而,积分定义可改 写康
界 g= lim 2f())4-=p (P) 的形式 函数(2在区间矿王的积分用符号 f(a ds 表示数分别叫儆积分的下假和上限;叫傚被积函数,f() 止叫儆被积表达式2叫做积分变量 于是, f(=)dz: =lim f(E5)4= (P)+0 dEl 定义5说函数广在闭区间(吗】上黎曼可积如果于在 ()中指出的积分和当从(P)→0时的极限存在(也就是说它的案 曼积分有定义) 在区间,b]上黎曼可积的函数全体所成的集合以闭可 由于我们智时不研究黎曼积分以外的其他积分,为简单起见, 我们约定分别以《积分》和可积函数?代替黎曼积分》和裳曼可 积函数》这两个术语 3可函撒集根据积分的定义4和它另外的形如(4)、6) 的表达,积分是一个特别函数0()=0(;(2)的极限,这个函 、数是定义在区间[b的带标志点的分划=(P,)鹉集上的积 分和这个极限是关于3的甚多取的,我们以1(2)240表示它 这样一来,函数∫在闭区间{马1】上莳可和菜决于上述极限 的存在, 根据柯西则,这个极限存在,当且仅当对于伍何→>0可以 找到元素,使在其中任何点?,?都成立关系 |()-()<
更详细地说这意味着:对任何可以找到△使对 区间[c任何带标志点的分地(P,),(P,5),只要1(P) (f在列上有界) 〈知果子在6上无界,则对区间[)的任一分划P,f至 少在它的一个区间x-x上无界,因此可以选出点乐∈[t- a]恻∫沁任意大于是只须改变点在这个区间中的位 置就能使积分和σ(;(,9)=∑(3)④x的绝对植任意 在这梨形下,积分和显然没有有限概限,同时,由柯西则 看出这时酚式(6)甚至秒无论多么细的分划都不全成立 将含乱这个必要务件距离可积性的必要充分条件还很远 但是,它货诉我们4后只须研究有界函数, b.可心南分秦件和最属要的可飘函撒类首先介绍 些下面用到的记号和知识 我们的定,当给定了区间,的一个分划P =x<x<x2<……<zn=b 时,与表示差x1-2随符号4x一起,我们还使用记号4表
间1212 如果这间(c的分是由分划P诼加丝新的分点得到 的,则说分划P是分划P的开拓 当把分划P开拓成P时,分划P的某些(可以是其全翻)区 间A=x2]被分料:1=20能找到>4,使对区间[]的参数 (P)<6的分划P总成立关系 〈设P是区间b的一个分划,P是分划P的开拓我们来 估计积分和之差(,到)-0((P,3),利朋上面引进的符 号有
