序言 牛顿和莱布尼兹在三个世纪以前创立了微积分学的基础,直 到今天,这仍然是科学史、特别是数学史上最伟大的事件 今天,现代数学如同一株枝叉繁茂的大树熹立在由数学分析 广义的)和代数交织在一起构成的根系上,并通过这个根系保持 着它与非数学领域的产生生机和活力的基本联系.正是由于这个 原因,甚至对所谓高等数学的最朴素的认识,也把分析基础当做它 的必要组成部分,并且可能因此有大量以各种不同读者为对象的 叙述分析基础的书 本#是以我在莫斯科大学力学-数学系给一、二年级学生讲过 多遍的《数学分析》的讲义为基础写成的 在莫斯科大学力学-数学系的本科数学教育中,包括其内容在 内,近年来发生了明显的变化.开设了新的必修课,对老的内容作 了改变和更新.自然的更新过程也触动了古典分析课程.它的演 化大体上有以下特征 数学分祈与跟它平行讲授的以及后继的分析、代数和几何方 面的现代数学课程之间的联系变得更加紧密和自由 这种状况促使廴们把重点移到从一般数学观点看最本质的概 念和方法上,并更新语言叙述使之与现代数学科学文献的语言适 当接近, 另一方面,在保持数学中一般理论叙述应有的严谨性同时,对 展示其自然科学源泉和应用的要求也大大提高了.对渊源丰富并 作为数学自然科学基础的古典分析来说,这样的要求是自然的 本书与上述情况有关的特点大体上可归结如下
在叙述的风格方面.在每个大课题的范囤内,叙述通常是采 用归纳的方法,有时,从问题的提出、求解的启发性想法,一直到基 本概念和形式化概括都是这样进行的 數程开始叙述比较详细,越往后叙述得越筒单扼要 有效的光滑分析方法是教程的主于,在讲述理论时,我(按自 己的理解)力求提炼出那些最本质的方法和事实,而遴免以大大增 加证明的复杂性为代价去追求对定理的一些不重要的推广 只要对揭示事物的本质有好处,我将常常采用几何的叙述 方法 在基本课文中配备了相当多的例题,而几乎每节末尾都给出 组习题,我希望它们能真正成为基本课文、甚至其理论部分的补 充.根据波利亚( Polya)和舍贵(Szeg)的出色经验,我常尽量把 数学上很漂亮或应用上很重要的结果做成学生可以接受的成套的 习题 材料的安排不仅受布尔巴基( Bourbaki)学派的数学结构体 系的支配,还受到作为统一数学教育,或更确切地说,作为自然-数 学教育组成部分的分析所处地位的制约 在内容方面.教程分两本书(Ⅰ卷和I卷)出版 现在的第一卷包括一元函数做分学、积分学和多元函数微 分学 在微分学中特别注意徽分作为直标准尺在刻画变量的局部变 化特征时的作用.除了利用微分学研宪函数关系(单调性、极值) 的许多例子以外,还通过最简单的微分方程展示了分析语言的作 用,这些微分方程是一些具体现象和与其有关的、内容极其丰富的 问题的数学模型,研究了这样一些问题(如变质量物体运动,核反 应堆,大气压力,物体在有阻力的介质中的运动),它们的解归结为 些最重要的初等函数.我们比较完整地使用了复数语言,其中
包括欧拉( Euler)公式的推导和基本初等函数统一性的证明 在积分学中只讲黎曼积分①,但指出了积分的各种应用,其中 包括归结为反常积分(如追赶速度)或椭圆函数(在重力场中当存 在约束时的运动,摆)的那些积分应用 多变量函数微分学是相当几何化的.比如,研宪了臆函数定理 些重要而有益的推论,像曲线坐标,把光滑映射和函数局部地化 成典则形式〔秩定理和莫尔斯( Morse)引理)以及条件极值理论. 逹续函数理论和微分学的结果,以一般形式集中在两章叙述 它们自然涉及到多变量实值函数分学.但出于技术上的原因,这 两章放到了第二卷.此外,在第二卷里还讲述了多变量函数的积 分学(这是主要内容),于是,它有一定的完整性和独立性 关于第二卷的完整介绍将苁在其序言里,这里只补充一点,即 除已经列举的材料外,它还包括函数项级数,含参变量的积分和渐 近展开, 现在谈谈某些个别问趣 关于导论.我没有写课程概况介绍,因为大多数新入学的大 学生在中学已经学过做积分初步以及它的应用,他们未必希望再 读一个开场白,代替开场白,在头两章我致力于使过去的中学生 关于集合和函数的概念,关于逻辑符号的运用以及关于实数论 方面的知识,在数学上达到一定完蓉的程度 这些内容涉及的是分析的形式化基础,从而它首先是为数学 系那样一些大学生写的,他们打算深宪古典分析中用到的概念和 原理的逻辑结构、数学分析本身的内容从第三章开始,因此,希望 尽快掌握有效方法和看到这些方法的应用的读者,在读第一遍时, 可以从第三章开始如果什么地方觉得不清楚,产生了问题,同时 ①测度论和勒贝格( Le beste)积分在力学数学系另外单独投课
又想把它弄明白的话,再去翻阅前边的内容.对此我也给予了注 意,并在头两章预先给出了有关问题的解答, 关于内容安排.两本书的内容分做许多章,都完整地编了号, 节是在每一章范围内编号的,而一节中各段在这一节范围内编号。 为了逻辑上更加确切,我们把定理,命题、引理、定义和例子都特别 标了出来,而为查找方便,把它们在一节范围内编了号. 关于文献.再一次指出,古典分析如同古典音乐著作一样有 且将有许多演奏者,他们各自需要分析的不同方面或对它全貌的 定认识,考虑到这一点为读者查阅,在第一卷末尾列出了最流 行的国内的和翻译的数学分析救科书和教学参考书,它们的对象 是对数学要求较多的高等学校学生 这部书首先是为那些既希望得到基本定理在逻释上(应有的) 无懈可击的证明,同时又对它们在数学以外的生活感兴趣的读者 写的 关于辅助性材料、书中有凡章是作为古典分析本来的边缘写 的.一方面包括前面提到的第一、二章,其内容是数学分析的形式 化基础;另一方面包括第二卷第九、十、十五章,其中给出了关于连 续性的理论、微分和积分学的现代观点至于这几章中哪些内容 应当纳入课程,要看听众水平如何,而且应由教员决定.但是,这 里所引进的一些基本概念,通常在任何一门数学课程中都是有 用的 最后,我对在本书写作过程中在业务上给我以友好帶助的同 志表示感谢,这些帮助对我非常珍贵和有益 这套救材是相当详尽的,在许多方面与一些后继的现代大学 数学课程相呼应,如微分方程、微分几何、复变函数论、泛函分析 在这些方面,我与B.H,阿勒诺尔德(B.H. ApHoR),特别是与 C.n.诺维柯夫(C.∏. HoBHKOB)在数学研兖所试验组共同工作
期阔的许多接触和讨论,对我是极其有益的 我得到了莫斯科大学力学-数学系数学分析教研室主任HB. 叶菲莫夫(HB.EφHMoB)的许多建议 我还对我系和我教研室的同事们表示感谢,他们给我的讲义 胶版提出了许多意见, 在本书写作过程中,我的学生把他们记的我最后一段讲课的 笔记借给我便用,为此,我向笔记的主人们表示感谢, 我深深感谢评论家以.库德里雅符釆夫(瓜 KyIpsBⅡ eB),B.∏,彼得连柯(B., IIeTpeHKO),C.b.斯捷史肯(C CreH)的建设性意见,这些意见的大部分在提供给读者的课文 中都作了考虑 卓里奇(B,3opHq) 1980年
目录 序言…………………………………………1 第一章一些通用的数学概念与记号… §1,逻辑符号… 1.关系与括号(1)2.关于证明的注记(3) 3.某些专门记号(3),4,最后的注记(4) 练习(4) §2集与集的初等运算… 1.集合的概念(5),2.包含关系(7) 3.最简单的集合运算(9) 练习(1) §3.函数………………………………………………13 1,函数(映射)的概念(Ⅰ3).2.映射的简单分类(18) 3.函数的复合与互逆映射(19) 4.作为关系的函数,函数的图象(21) 练习(25) §4.某些补充…………… 28 1,集的势(基数)(28).2.集合的公理理论(3]) 3.关于数学述语的结构及共用集合论语言的写法的注记(33. 练习(35) 第二章实数……………………… 38 §1实数集的公理体系及它的某些一般性质……38 1.实数集的定义(38),2.实数的某些一般的代数性质(42) 3.完备公理与数集的上(下)确界的存在性(47), §2最重要的实数类及实数运算的一些计算问题………49 1.自然数与数学归纳原理(49) 2.有理数与无班数53),3.阿基米德原理(57)
4,实数集的几何解释与实数运算的一些计算问题(60), 习题与练习(74) §3.与实数集的完备性有关的基本引理……………………79 1.闭区问套引理(刨西-康托尔原琊)(79) 2.有限覆盖引理(波荚尔…勒贝格原理)(80) 3.极限点引理(波尔察诺维尔斯特拉斯原理)(81) 习题与练习(82) §4.可数集与不可数集… …………83 1.可数集(83).2连续统的势(85), 习题与练习(86) 第三章极限 ……89 §1.序列的极限……………… 90 1.定义和例子(90).2.数列极限的性质(92), 数列极限的存在问题(97).4.级数的初步知识(10) 习题与练习(122) §2E数的极限……… 旱·,. 126 1.定义和例子(126).2.函数极限的性质(131) 3.函数极限的一般定义(对基底的极限)(150) 4.函数极限的存在问题(155) 习题与练习(174) 第四章连续函数……… …………179 §1.基本定义和例子……………… 179 .函数在一点处的连续性(179).2,间断点(185) §2.连续函数的性质……… …188 1.局部性质(188).2,连续函数的整体性质(190) 刁題与练习(202) 第五章微分学…… 207 §1.可微函数… ……………207 T.问题和引言(207).2.在一点处可微的函数(213) 3.切线;导数和微分的几何意义(216),4.坐标系的作用(220) 5,一些例子(221)
习题与练习(228) §2.微分的基本法则… 229 7.微分法和算术运算(230)2.复合函数的微分法(234), 3.反函数的微分法(238).4,焦本初等函数的导数表(244) 5.最简单的隐函数的微分法(245).6.高阶导数(250) 习題与练习(255) §3.微分学的基本定理… …256 .关于有限增量的拉格朗日定理(25) 2.泰勒公式(263) 习题与练习(278) §4.用微分学的方法研究函数 283 1.函数单调的条件(283),2.函数内极值点的条件(284) 3.函数凸的条件(291).4,洛必达法则(300) 5.作函数的图象(303) 习題与练习(313) §5.复数,初等函数彼此间的联系 318 1.复数(318),2.C中的收敛及复数项级数(322) 3.欧拉公式以及初等函数彼此问的联系(328) 4.函数的解析性和它的泰勒级数的收敛性332). 5.复数域C的代数封闭性340) 习题与练习(347) §6·自然科学中应用微分学的一些例子…………349 1.齐奥尔柯夫斯基公式(349),2.气压公式(351, 3.放射衰变连锁反应及原子反应堆(34) 4.物体在空气中降落(357) 5.再贽数e及函数expx(359) 6.振动(362) 习题与练习(367 §7.原函数 甲··目甲··..白··.·m甲甲·.·身..··,P·甲中 370 1.原函数和不定积分(370).2.套原函数的基本的一般方法(373)
3.有理函数的原函数(379) 4,B(cogx,inx)dx型的原函数(384) 5.R(z,y(x)dz型的原函数(387) 习题与练习(391)
第 章 一些通用的数学概念与记号 §1.逻辑符号 1.关系与括号本书的语言像大多数数学教科书那样,由普 通的语言及一串用以阐明理论的专用符号构成,除了这些按照需 要而引入的专用符号之外,我们还要利用①通用的数学逻辑符号 ,∧,V,→>、<>,它们分别表示否定词《非》,《并且》,《或 蕴含》,等价》这些词. 作为例子我们举出代表三种不同旨趣的意见: L如果采用适合于发现的记号………那么,思考的劳动就能 大大地缩减, 莱布尼兹②) P数学是把不同实体统一命名的艺术 (庞加莱③) a自然界这部巨者是用数学语言写成的 ①在逻辑学中常使用符号&,而不用∧、蕴含符号一>常写成,而笭价关 系写做←→或←→但是为了不更换分析中传统的极限记号→,在木教程中、仍使 用上画给出的记号 ② Leibniz(1646-1716)是杰出的德国学者哲学家和数学家,他与牛顿一起 享有发现无穷小分析基础的荣誉 ⑧ Poincare(1857-1912)是法国数学家,他的卓越思想革新了数学的许多部 门井在数学暂理中得到应用