复变画数与 1901 ex Ana 2.3初等函数 指数函数 f(x)=e,f"(x)=f(x), f(x)f(x2)=f(x1+x2) f(z=e cosy+ie sin y f(z)=o(e cos y)+i(e sin y OX e cos y+ie sin y=f(z)
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.3 初等函数 一 、 指数函数f z e y ie y x x ( ) = cos + sin 1 2 1 2 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x f x e f x f x f x f x f x x = = = + cos sin ( ) ( ) ( cos ) ( sin ) e y ie y f z e y x e y i x f z x x x x = + = + =
复变画数与 1901 ex Ana f(=1)·f(=2) (e cos y t ie" sin y(e cos y2+ie sin y2) =e cosyie-sin y, sin y2 +i(et cos y, sin y2+e12 sin y, sin y2) =e-t cos(y1+y2)+ie*t2 sin (y, +y2) =f(=1+2) 特别地,当m(z)=0即z=时f(z)=e
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( ) cos( ) sin( ) ( cos sin sin sin ) cos sin sin ( cos sin )( cos sin ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 f z z e y y ie y y i e y y e y y e y e y y e y ie y e y ie y f z f z x x x x x x x x x x x x x x x x = + = + + + + + = − = + + + + + − + − Im( ) 0 ( ) x 特别地,当 z z x f z e = = = 即 时
复变画数与 1901 ex Ana 1、定义 f(z)=e cos y+ie sin y=e(cosy+isin y) 称为z的指数函数( Exponential unction)记作 类似一元实函数,记指数函数f(=)为 w=e=e(cos y+isin y)ai exp(z)=e(cos y+isin y) 注|e|=ex,Arg(e)=y+2k,e2≠0 当Re(z)=x=0即z=时,变为欧拉公式 e cos y+ sin y
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 ( ) cos sin (cos sin ) ( ) x x x f z e y ie y e y i y z Exponentialf unction = + = + 、定义 称为 的指数函数 记作 ( ) (cos sin ) exp( ) (cos sin ) z x x f z w e e y i y z e y i y = = + = + 类似一元实函数，记指数函数 为 或 e y i y z x z iy ， e e Arg e y k e i y z x z z cos sin Re( ) 0 | | , ( ) 2 , 0 = + = = = = = + 当 即 时 变为欧拉公式 注
复变画数与 1901 ex Ana 2.性质 (1)周期性=e-41,7=2mio与实指数函数的区别之 2) 丌 但(e)2=e,未必成立,如e)2≠e2 即e无乘幂的意义,且lime不存在,与实指数函数的区别之二 2→)00 (3)解析性一一全平面处处解析且,=(e)y=e
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.性质 2 (1) , 2 z z k i e e T i + 周期性 = = 。与实指数函数的区别之一 1 1 2 1 2 1 2 2 (2) , , z z z z z z z z e e e e e e + − = = 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) i z z z z i e e e e − − 但 = ，未必成立，如 lim z z z e e → 即 无乘幂的意义，且 不存在，与实指数函数的区别之二 3 ( ) dw z z e e dz （ ）解析性－－全平面处处解析且 = =
复变画数与 1901 ex Ana 、对数函数 指数函数的反函数 1、定义称满足方程e"=z(z≠0)的为 复数的对数( Logarithm函数 推导 记作w=Lnz=ln|z|+iarg(=)+2kzi 2、主值对数一k=0的分支 In z=In z +iarg (z), Lnz=In z+2kzti
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、 对数函数— — 指数函数的反函数 1、定义 ( 0) ( ) n ln | | arg( ) 2 w e z z w z Logarithm w L z z i z k i = = + + = 推导 称满足方程 的 为 复数 的对数 函数 记作 2、主值对数— k = 0的分支 ln ln ( ) ln i z | z | iarg z , Lnz z 2k = + = + π
复变画数与 1901 ex Ana 3、解析性一lnz及(Lnz)k均在 除去原点和负实轴的复平面内解析 4、运算性质 Ln(=22)=Lnz +Lnz,, ln()=Lne, -Lnz, 但ln=nx-lnz2,ln(2)=ln+lz2未必成立
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 3 ln ( )k 、解析性－ z Lnz 及 均在 除去原点和负实轴的复平面内解析 1 1 2 1 2 1 2 2 ln ln ln , ln( ) ln ln z z z z z z z z 但 = − = + 未必成立 4、运算性质 1 1 2 1 2 1 2 2 n( ) n n , n( ) n n z L z z L z L z L L z L z z = + = −
复变画数与 1901 计算举例 e y +2xyi 22 (2)Re)=Ree)2+ x/x-+1 COS 2 X+ (3)ezi= cos kI+isin kI=(1) (4)Ln(-3+41)=1n5+(- arctan)+2kni (5)In(ie)=In ie| +iarg(ie)=1+i (6)In(e ')=In|e +i arg(e)=i
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 计算举例 2 (1) | | z e = 2 2 2 2 | | x y 2xyi x y e e − + − = 1 (2) Re( )z e = 2 2 2 2 ( ) ) Re[ ] cos 2 2 x iy x y x x y y e e x y − + + = + 3 k i e （ ） = k cos k +isin k = (−1) (4) n( 3 4 ) L i − + = 4 ln5 ( arctan ) 2 3 + − + i k i (5) ln( ) ie = ln | | arg( ) 1 2 ie i ie i + = + (6) ln( )i e = ln | | arg( ) i i e i e i + =
6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 幂函数 1、定义 对任意复数α及z≠0,定义幂函数v=z为 ?√ alnz a(ln=+iarg (z) +2kri) 仅在α为正实数的情形,补充规定:当z=0时有z=0 多值性讨论 (1)当a=n为正整数时,za=z"是单值函数 (2)当a=-n时,z=也是单值函数
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 三、 幂函数 1、 定义 对任意复数及z 0， 定义幂函数w = z 为 z z 0 0 仅在为正实数的情形,补充规定:当 = = 时有 L z l z i z k i n ( n| | arg( ) 2 ) w z e e + + = = = 2、 多值性讨论 (1)当 = n为正整数时，z = z n 是单值函数 当 时 n 也是单值函数 z n ， z 1 (2) = − =
2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform (3)当a=-时 zIn larg(=)+2kzl/n (4)当a="(m和n为互质的整数,n>0)时, a-z sim[arg(=)+2kz/n 多值—n个分支 (5)当a为无理数或虚数(非实复数时 a-e a(n:+2kri) (z≠O,k为整数 多值一无穷多个
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( 0) m m n n n (4)当 和 为互质的整数， 时， = 多值— n个分支 (ln 2 ) (5) ( ) ( 0, ) z k i z e z k + = 当 为无理数或虚数 非实复数 时， 为整数 多值— 无穷多个 [arg( ) 2 ]/ | | m n im z k n z z e + = n n i z k n ， z z z e n [arg( ) 2 ] 1 | | 1 (3) + 当 = 时 = =
6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 3、解析性 z“的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析, 且(=“)=a=a1 计算举例: 1的任何次幂均为吗?
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 3、解析性— 1 ( ) z z z − = 的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析， 且 计算举例： 1的任何次幂均为1吗？