山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第二章 解析函数（2.3）初等函数（一）

复变画数与 1901 ex Ana 例6.证明:如果f(=)=u(xy)+i(xy)在区域D内解析, 且满足下列条件之一,则f(z)是常数 (1).f(=)=0 (2)Re[f(z)为常数 (3).argf(=)为常数;(4)ul=v 证明:(1)由导数表达式知 du du f(=)=0→ Ox Oy =0,ax 所以,v为常数。故f(=)为常数

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 (3). arg ( ) ; (4). (1). ( ) 0 ; (2). Re[ ( )] ( ) 6. ( ) ( , ) ( , ) f z u v f z f z ， f z 。 ： f z u x y iv x y D ， =  = = + 为常数 为常数 且满足下列条件之一 则 是常数 例 证明 如果 在区域 内解析 (1) ( ) 0 0, 0, , ( ) u u v v f z x y x y u v f z      =  = = = =     证明： 由导数表达式知 所以 为常数。故 为常数

复变画数与 1901 ex Ana (2)Re[f(x)为常数,即n=c1→ auau 0 Ox f(=)解析,C-R方程成立 0,故v=c2(常数,即f(=)为常数 (3)已矧f(=)解析,且argf(=)=k,证f(=)=C 需证f()=l(x,y)+iv(x,y)中的l,n均为常数 即证=l=0, 0

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 (2) Re[ ( )] 0 ( ) 0 , ( ), ( ) u u f z u c x y f z C R v v v c f z y x   =  = =   −    = = =   为常数，即 解析， 方程成立 故 常数 即 为常数。 (3)已知f (z)解析， 且arg f (z) = k,证f (z) =C ( ) ( , ) ( , ) , 0, 0 x y x y f z u x y iv x y u v u u v v = +     = = = = 需证 中的 均为常数 即证

复变画数与 1901 ex Ana 由agf(z)= arctan"=k→v=t·tank tan k utan h 叉f(=)解析,故M=v 消v u=u tank y==ultan k =u=-u' k, (1+tank)u=0 0(k为实数,+tan2k≥1) 代入,得n=0,v=ν=0,即f(2)≡C

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( ) , tan , tan x y y x x y y x f z u v u v v u u k u u k     = = −      = = − 又 解析，故 消 2 2 2 tan ,(1 tan ) 0 0 ( 1 tan 1) x x x x u u k k u u k k  = − + =     = +   为实数， 代入，得u  y = 0 ，v  x = v  y = 0 ,即f ( z)  C v u k v u k k v u k u v f z x x y y tan , tan arg ( ) arctan tan  =   =  由 = =  = 

复变画数与 1901 ex Ana (4)u=γ2两端分别对x和y求偏导数并由C-R条件得 2v -2v y →(1+42)一=0 0→如=0→ν是常数 ax 从而 0,即也为常数,故f(z)为常数 OX

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform y v v y u x v x v v x u y v u v x y C R   = −   = −     =   =   = − 2 , 2 (4) 2 两端分别对 和 求偏导数并由 条件得 u ， f z 。 y u x u ， v x v y v y v v 从而 即 也为常数 故 为常数 是常数 0, ( ) (1 4 ) 0 0 0 2 =   =   =    =    =     +

6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 例7若f(z)=u+n是z的解析函数,而且 l-v=(x-y)(x2+4xy+y2),试求(x,y)与v(x,y 解(分析)欲求,v,需再列出l,w另一个方程 或先求u,u’,v,v’,再积分而得 -V=(x-y)(x2+4xy+y2) l-=x2+4xy+y2+(x-y)(2x+4y) uy-vy=-x-4xy-y4+(x-y(4x+2y)

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 7 ( ) ( )( 4 ) ( , ) ( , ). f z u iv z u v x y x xy y u x y v x y = + − = − + + 例 若 是 的解析函数，而且 ，试求 与 2 2 2 2 x 2 2 ( , , , , , , ( )( 4 ) 4 ( )(2 4 ) 4 ( )(4 2 ) x y x y x y y u v u v u u v v u v x y x xy y u v x xy y x y x y u v x xy y x y x y     − = − + +   − = + + + − +   − = − − − + − + 解 分析) 欲求 需再列出 的另一个方程 或先求 ， 再积分而得

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 又n=v,l=-v,联立得u=6xy,l=3x2-3y2 故=3x2y+0)=3x2+01(y)=3x2-3y得 (y)=-3y2,(y)=-y3+C故u=3x2y-y3+C 同理可得ν=3xy2-x3+C 由已知等式可知:C1=C,=C

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 又u v u v u xy u x y       x y y x x y = = − = = − , , 6 , 3 3 联立得 2 2 2 2 3 ( ) 3 ( ) 3 3 y 故 u x y y u x y x y = + = + = −   由   得 ' 2 3 2 3 ( ) 3 , ( ) 3   y y y y C u x y y C = − = − + = − + 故 v = xy − x +C 2 3 同理可得 3 由已知等式可知：C1 = C2 = C

复变画数与 1901 ex Ana 注若求()则/(=)=3xy-y2+C1+(3x2-x3+C2) 2解析函数f(=)可化为单独变量z表示 如何验证这一结论 3化归技巧一—令y=0,则z=x f(x)=C1+C2-ix32=C-x3 故f(=)=C-3

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( ) ( ) 3 3 1 2 3 3. 0, y z x f x C iC ix C ix f z C iz = = = + − = − = − 化归技巧－－令 则 故 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 2 注：1. 3 3 若求f z f z x y y C i xy x C 则 = − + + − + 2. ( ) 解析函数f z z 可化为单独变量 表示 如何验证这一结论?

复变画数与 1901 ex Ana 拓展练习 证明柯西一黎曼方程的极坐标形式是 ov a 解x=10、“0(=平面取极坐标,w平面取直角坐标) 060 y=rsin 8,u=u(x,y),v=v(x,y) 由复合函数的求导法则与直角坐标下C-R条件可得 Ouou ox ou ay cos 6-+ sine Ov ai 一Sin6一+ rose 06ox06

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( ) — 1 1 , u v v u z w r r r r       = = −     证明 柯西 黎曼方程的极坐标形式是 平面取极坐标, 平面取直角坐标 。 拓展练习 x r y r u u x y v v x y cos , sin , ( , ) , ( , ) C R = = = =   − 解 设 由复合函数的求导法则与直角坐标下 条件可得 y u r cos x u r sin y y x u x u u y u sin x u cos r y y u r x x u r u   +   = −     +     =     +   =     +     =         

复变画数与 1901 ex Ana ay ay ax oy ar Cose ou +sine- avav ax ov ay r sindar arcos e 80 ax 06 0y86 比较第一、四式,第二、三式,得 i au ar rae 拓展思考: 1、函数在一点可导与解析有何不同,在区域D内呢 2、判别函数可导与解析有哪些方法?

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform x u r cos y u r sin y y x v x v v x u sin y u cos r y y v r x x v r v   +   =     +     =     +   = −     +     =             = −     =   u r r v , v r r u 、 ， 、 ， 1 1 比较第一 四 式 第 二 三 式 得 、 ？ 、 ， D ？ ： 判别函数可导与解析有哪些方法 函数在一点可导与解析有何不同 在区域 内 呢 拓展思考 2 1

复变画数与 1901 ex Ana 2.3初等函数 指数函数 f(x)=e,f"(x)=f(x), f(x)f(x2)=f(x1+x2) f(z=e cosy+ie sin y f(z)=o(e cos y)+i(e sin y OX e cos y+ie sin y=f(z)

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.3 初等函数 一 、 指数函数f z e y ie y x x ( ) = cos + sin 1 2 1 2 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x f x e f x f x f x f x f x x = =   = + cos sin ( ) ( ) ( cos ) ( sin ) e y ie y f z e y x e y i x f z x x x x = + =   +    =