山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第二章 解析函数（2.2）函数解析的充要条件

6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 2.2函数解析的充要条件 问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征,再推证具备此特征的函数是否解析 f(=)在点=解析→f(=0)在=0点可导 W=f(=)在点=可微 △w=f(二0+△)-f(=0) =f"(=0)A+p(△)△((△)→0)

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.2 函数解析的充要条件 一、问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征，再推证具备此特征的函数是否解析 在点 可微 在点 解析 在 点可导 0 0 0 0 w f ( z) z f ( z ) z f ( z ) z  =  ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) 0 0 0 =   +    →  = +  − f z z z z z w f z z f z  

复变画数与 1901 ex Ana 令f(=0)=a+i,A=Ax+1△y,△M=△+v )=p+in2,则 △+i△v=(a+ib)(Ax+iAy)+(1+12)Ax+i△ aAx-bAy+ p,Ax-P2 y+(bAx+aly+p,Ax+ p,Ay) 复数相等条件 △M=a△x-by+p△x-P24y △y=bx+a△y+2△x+pAy

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) @ u i v a ib x i y i x i y a x b y x y i b x a y x y u a x b y x y v b x a y x y            +  = +  +  + +  +  =  −  +  − +  +  +  +   =  −  +  −     =  +  +  +  复数相等条件 则 令 ( z ) i , f ( z ) a ib , z x i y , w u i v , 1 2 0   =  +   = +  =  +   =  + 

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 又24x △ 尸△x △y △z (△x)2+(△y) △x △ +|O (△x)2+(△y)2 (△x)2+(△y) ≤|1|+|P2 当A→>O时,p(△)=P1+iP2→>0等价于 Ax→>0,4→O时,p1→>0,P2→>0 故Ax-p24y(同理P2Ax+p2y)是比|△z 更高阶的无穷小

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 | | | | ( ) ( ) | | | | | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | x y x y z x y x y x y x y          −   −  =   +     +  +   +   + 又 1 2 1 2 1 2 2 1 0 ( ) 0 0 , 0 0 , 0 ( ) | | z z i x y x y x y z           →  = + →  →  → → →  −   +   当 时, 等价于 时, 故 同理 是比 更高阶的无穷小

6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 由二元实函数微分的定义知,@式等价于(x,y) 和v(x,y)在点(x0,y)处可微且在该点处有 b 此即为函数f(z)=t+i在点可导的 必要条件(也是点解析的必要条件)

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 和 在点 处可微且在该点处有 由二元实函数微分的定义知 式等价于 ( , ) ( , ) @ ( , ) 0 0 v x y x y ， u x y , x y y x u v a u v b     = = = − = − 此即为函数f z u iv ( ) = + 在点可导的 必要条件（也是点解析的必要条件）

复变画数与 1901 ex Ana o u 方程 ax称为柯西 黎曼( Cauchy- Nieman)方程(简称CB方程) 反之,我们自然要问是否满足以上条件的 函数必在点可导呢?事实上,该条件也是充 分的,于是有

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 方程 称为 柯西 ——黎曼(Cauchy—Riemann)方程(简称C-R方程) , u v u v x y y x     = = −     反之，我们自然要问是否满足以上条件的 函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充 分的，于是有---

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 定理22*函数f(二)=(x,y)+iv(x,y)在点=可导 台二元函数(x,y)和v(x,y)在=0=x+ 点处处可导且满足C-R方程。 且此时: f(=0) ax wo xo, Vo

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) | | | | x y x y x y x y u v u u f z i i x x x y      = + = −     0 0 0 0 2.2.1* ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y z u x y v x y z x iy C R = +  = + − 定理 函数 在点 可导 二元函数 和 在 点处处可导且满足 方程。 且此时： , u v u v x y y x     = = −

复变画数与 1901 ex Ana 证明: 必要性前面已经证明,下证充分性(将P2证明中的换即可)。 由(x,y)和v(x,y)在z0=x0+iy可微可知 a1+EAx+E,△ △=Ax+-△1 △ △x+-△y+E2x+EA 40k=0 (k=1,2,3,4) △1→

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform P25 0 z z 证明： 必要性前面已经证明，下证充分性（将 证明中的 换 即可）。 0 0 0 由u x y v x y z x iy ( , ) ( , ) 和 在 = + 可微可知 1 2 3 4 0 0 , , lim 0 ( 1,2,3,4) k x y u u u x y x y x y v v v x y x y x y k       →  →    =  +  +  +       =  +  +  +    = =

复变画数与 1901 plex Ana 因此f(=0+4=)-f(=0)=△+iv +i)Ax+(+i)Ay+(G+iE3)x+(E2+iE4)Ay ox 根据C-R方程 au Ov v a ax ax OK 所以f(=0+△)-f(=0) au av +i∞)Ax+iy)+(61+i3)Ax+(62+i4)△ ax ax f(=0+△-)-f(=0)a,On △ i+(E1+it3)+(E2+iE4) ax

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 0 0 1 3 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f z z f z u i v u v u v i x i y i x i y x x y y C R u v v v u i y x x y x     +  − =  +      = +  + +  + +  + +      −      = − = =      因此 根据 方程 0 0 1 3 2 4 0 0 1 3 2 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z u v i x i y i x i y x x f z z f z u v x y i i i z x x z z         +  −   = +  +  + +  + +    +  −     = + + + + +      所以

复变画数与 1901 ex Ana 人/≤1,~1故当Δ趋于零时,上式右端的最后两项都趋于零。 于是f(=0)=lim f(=0+A)-f(0)an,0v ↑→0 ax ax 即f()在=点可导,此时 f(=0)=2+m=y-y2=n1-my=vy+n 注:f(=)在D内任一点z可导分→l,v在D内任一点可微且C-R方程成立 分→f()在D内任一点z解析(见教材P3定理2,2.1

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 0 ( ) x x y y x y y x f z u iv v iu u iu v iv          = + = − = − = + 0 0 0 0 0 1 , 1, ( ) ( ) ( ) lim ( ) z x y z z z f z z f z u v f z i z x x f z z  →        +  −    = = +    故当 趋于零时，上式右端的最后两项都趋于零。 于是 即 在 点可导，此时： 35 ( ) D z , D C-R ( ) z ......( 2.2.1) f z u v f z D P   注： 在 内任一点 可导 在 内任一点可微且 方程成立 在 内任一点 解析 见教材 定理

复变画数与 1901 plex Ana 、举例-两种判别法(定义法,C-R条件判可导) 例3试证明函数f(=)=zRe(=)仅在点z=0可导? 并求f'(O) 证因为f(z)=(x+1y)x=x2+xy,即 u(x,y)=x, v(x, y)=xy -y. v=d 显然lu,处处可微,而C-R方程仅在x=y=0即z=0处成立,所以 f(二)=zRe(=)仅在点=0可导,且有f(0)=n(0,0)+mv,(0,0)=0 事实上,该题也可用导数的定义求证,留给读者练习

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、举例---两种判别法(定义法，C— R条件判可导） 3 ( ) Re( ) 0 (0). f z z z z f = =  例 试证明函数 仅在点 可导？ 并求 2 2 ( ) ( ) , ( , ) , ( , ) , 2 , 0, , . x y x y f z x iy x x xyi u x y x v x y xy u x u v y v x = + = + = = = = = =     证 因为 即 0 0 ( ) Re( ) 0 (0) (0,0) (0,0) 0 x x u v C R x y z f z z z z f u iv − = = = = = = + =    显然 ， 处处可微，而 方程仅在 即 处成立,所以 仅在点 可导，且有 事实上，该题也可用导数的定义求证，留给读者练习