目录 1直线(段) 1直线（段） (977) 多边形 (984) 1.1点和直线 (977) 4.2 正多边形 (985) 1.1点和直线 1.2相交线和平行线…… (977) 4.3 圆的基本性质 1.对体、面、线、点的认识 1.3成比例线段 (978) 与有关角 (986) 各方面都有限界的空间部分称为体，空间相邻两区域的公共部分称为面，一个 2三角形 (978) 4.4 直线与圆、圆与圆…… (987) 面上相邻两区域的公共部分称为线，一线上相邻两部分所公有的称为点点、线、 2.1三角形中的主要线段 4.5 圆的度量计算公式 面体的任何集合，称为图形 (978) 988) 2.直线（段）的性质（公理） 2.2 三角形中的边与角 5 轨迹与作图 989) °两点决定一条直线 的关系 (979) 5.1轨迹 989) 2所有连结两点的线中，线段最短 2.3 特殊三角形的性质 5.2作图 990) 3经过已知直线外的一点，有且仅有一条直线和已知直线平行 与判定 (979) 6 直线与平面 991) 4经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 2.4 两个三角形的全等 6.1平面 (991) 5°从直线外一点到这条直线上各点所连结的线段中,和这条直线垂直的线段 与相似 (979) 6.2 直线和平面的 最短 2.5三角形度量计算公式 位置关系 (992) (980) 6.3 直线和平面的 1.2相交线和平行线 3四边形 (981) 度量关系 993) 1.角的性质 3.1平行四边形、矩形、 7 多面体与曲面体 (994) 角平分线上任意一点到两边等距 菱形与正方形 (981) 7.1多面体 (994) 2若一角的两边分别平行于另一角的两边，则两角相等或互补 3.2 梯形 (981) 7.2曲面体 (998) 3同角的余（补）角相等 3.3 四边形度量计算公式 8 希尔伯特公理系统 (1002) 2.对顶角的性质与判定 (982) 8.1结合公理 (1002) 1对顶角的性质对顶角相等；对顶角相邻两角互补；对顶角相邻两角的平 3.4圆内接四边形与圆外 8.2顺序公理 (1002) 分线互相垂直 切四边形 (984) 8.3合同公理 (1003) 2对顶角的判定若一角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则这两个 4多边形与圆 (984) 8.4平行公理 (1003) 角是对顶角 4.1多边形的性质与相似 8.5连续公理 (1003 3.线段垂直平分线的性质与判定 I线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2线段垂直平分线的判定距线段两端有等距离的点的集合，是线段的垂直 平分线 4.平行线的性质与判定 (1)性质 1两平行线的内错角相等；同位角相等；同旁内角互补 2两平行线间的平行线段相等，且距离处处相等。 (2)判定 IP若两直线被第三直线所截，内错角相等，或同位角相等，或同旁内角互补
附录3欧氏几何 2三角形 则两直线平行 22三角形中的边与角的关系 3若a⊥c,b⊥c,则a∥b 1.3条边的关系 1.3成比例线段 三角形任意两边的和大于第三边 2三角形任意两边的差小于第三边 1.比例的性质定理 2.内角与外角 设a,b,c,d,…,P,q为线段,则有如下的定理 °三角形3个内角的和等于180 °基本定理 2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2=,则d=b 3.边与角的关系 2合比、分比、合分比定理 °三角形中较大的边所对的角较大 2三角形中较大的角所对的边较大 若1=,则 4.中位线 a+bctd a-b + c+ °三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半 2过三角形一边的中点面与另一边平行的直线平分第三边 3等比定理 23特殊三角形的性质与判定 1.等腰三角形 2.成比例线段 卩°等腰三角形的性质两底角相等;顶角平分线即底边上的中线和高 平行线分线段成比例定理两直线被一组平行线所截得的线段对应成比 2等腰三角形的判定有两个角相等的三角形是等腰三角形;高、中线角平 分线中有两者相重的三角形是等腰三角形, 2分线段成比例的两直线定理若两条相交直线被另外两条直线所截,截得 2.直角三角形 的对应线段成比例,则另外两条直线平行 P°直角三角形的性质两锐角互为余角;斜边上的中线等于斜边的一半;两 直角边平方的和等于斜边的平方(勾股定理);一锐角是3°,则此角的对边是斜边 的一半,反之,若一角的对边是斜边的一半,则对角为30 2三角形 2直角三角形的判定两个角互为余角的三角形是直角三角形;有一条边上 的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;两边的平方和等于第三边的平方 21三角形中的主要线段 的三角形(勾股定理的逆定理)是直角三角形 垂直平分线和外心 24两个三角形的全等与相似 三角形的3条边的垂直平分线相交于一点,这一点到三角形各顶点的距离都 1.两个三角形全等 相等,这点叫三角形的外心(即外接圆的圆心) P全等三角形的性质对应角相等;对应线段(边、高、中线角平分线、…)相 2.三角形的角平分线和内心 等;周长相等;面积相等 角形的3个内角的平分线相交于一点这一点到三角形各边的距离相等这 2全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等(SAS)的两个三角形是全 点叫三角形的内心(即内切圆的圆心) 等三角形两角和它们的夹边对应相等(A4)的两个三角形是全等三角形;三边对 3.三角形的中线和重心 应相等(S5)的两个三角形是全等三角形;有斜边和一条直角边对应相等的两个直 三角形的3条中线相交于一点,这点到各边中点的距离等于这边上中线的 角三角形(HL)是全等三角形 1/3,这点叫三角形的重心 2.两个三角形相似 4.三角形的高和垂心 相似三角形的性质对应角相等;对应线段(边高、中线角平分线、…)成 三角形的三条高相交于一点,这点叫三角形的垂心 比例周长比等于相似比;面积比等于相似比(对应边之比)的平方
附录3欧氏几何 3四边形 2相似三角形的判定两角对应相等的两个三角形是相似三角形;两边对应 2中线m 成比例,夹角相等的两个三角形是相似三角形;三边对应成比例的两个三角形是相 似三角形 吗=√2b+可)-a=B+2+2km 3角平分线 2.5三角形度量计算公式 直角三角形 2b+k(+-2)=2m 设直角三角形如图21所示,则 4外接圆半径R 1°周长l R 2sinA 2sin B l=a+6+c=a+6+ √a+b2 5内切圈半径r 2面积S r2s./(p-a()p-o) 其中p=2(a+b+c) 6°面积S 2m4BmC=3== 2.等边三角形 设等边三角形如图22所示,则 3四边形 °周长l I=3a 高h 3.1平行四边形、矩形、菱形与正方形 F平行四边形的性质对边相等;对角相等;对角线互相平分 2矩形的性质具有平行四边形的一切性质;四个角都是直角;对角线相等 y外接圆半径R与内切圈半径r y菱形的性质具有平行四边形的一切性质;四条边都相等;对角线互相垂 直且每一条对角线平分一组对角 正方形的性质具有平行四边形矩形菱形的一切性质;对角 4面积S 3.2梯形 3.一般三角形 教梯形的性质一组对边平行,另一组对边不平行中位线平行于底边 设一般三角形如图23所示,则 且等于两底和的一半 高h 2等腰梯形的性质具有一般梯形的性质;两腰相等:两底角相等;对角互 图2-3 补;对角线相等;以两底的中点连线为对称轴的对称图形 3直角梯形的性质具有一般梯形的性质
附录3欧氏几何 3.3四边形度量计算公式 1.平行四边形 设平行四边形如图3-1所示 P周长 =2(a+b) 2对角线d1,d2 +的=2(a2+b2 图3-3 3边长 (3)正方形设正方形如图3-4所示,则 °周长 =4 4面积S 2对角线d S=ah= asina=a d dosing d=2a 3边长 3.梯形 图3-1 图3-2 设梯形如图3-5所示,则 P周长l 2.矩形、菱形与正方形 )矩形设矩形如图32所示,则 I=a+b+ctd 2边长a,c P°周长l sin(a+ P) 2对角线d c=(a-b) 3面积S 3面积S S=ab=ads (2)菱形设菱形如图33所示,则 任意四边形 F周长l 设任意四边形如图36所示,则 l= 周长 对角线d,d2 2面积S d= tacos sin, dy d 2=2a sing 予面积S d dosing=5 d2(h,+h2)
附录3欧氏几何 4多边形与周 P°n边形的内角和等于(n-2)l8; 2n边形的外角和等于360 边形有Cn-n条对角线 P相似多边形的性质相似多边形周长的比等于相似比;相似多边形面积的 比等于相似比的平方;从两个相似多边形一对对应顶点所作的各对角线把两个多 边形分成个数相同的排列顺序相同的相似三角形 3-5 图36 2正多边形 其中p=(a+b+c+d),a=1(∠A+∠C)或a=(∠B+∠D 正多边形的性质 °各边相等,各角也相等 3.4圆内接四边形与圆外切四边形 2凡边数相同的正多边形都相似 3每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆且两圆同心(此心即正多边 圆内接四边形 圆内接四边形如图37所示 °圆内接四边形的性质对角互补;外角等于其内对角;两条对角线被其交 4正n边形的一个内角a=(n-218,中心角为3 点所分成的两条线段之积相等 5正n边形的边长 圆内接四边形的判定对角互补的四边形是圆内接四边形;外角等于它的 内对角的四边形是圆内接四边形;四顶点到某定点有等距离的四边形是圆内接四边 形;两条对角线被其交点所分成的两条线段的积相等的四边形是圆内接四边形 其中R、r分别为外接圆内切圆的半径,内切圆半径又称为正多边形的边心距 6°正n边形的面积 正多边形外接圆半径与各量间关系如表41所示 表41 心角 3 2R·2.5987621 图3-7 图38 ≈1,20902 2.圆外切四边形 2R 2R2.8284272 圆外切四边形如图3-8所示 P圆外切四边形的性质两组对边之和相等 10-25R2R2.93892626 2圆外切四边形的判定两组对边之和相等的四边形是圆外切四边形 R 4多边形与圆 2-2R 2R·3.06146746 2R22=2,828%4R2 4.1多边形的性质与相似多边形 15-812.0148-25-29 1.多边形的性质
附录3欧氏几何 4多边形与 987 续表 3在弦和弦心距这两组量中,任何一组量的一个量较大,则另一组的对应量 圆心角 反而较小 4.愿的有关角 √2-5R R·3.1084 °圆心角的度数等于它所对的弧的度数 sR1+5-√3 2圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 52x√1-5-√0-652R3S 3半圆上的圆周角是直角 =3.0805F2 4同弧所对的圆周角相等 62x√2-√2+R283.24554F√2l-306F 5弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 6弦切角等于同弧上的圆周角 35/7=0.367404 2R3.12748 =3.0706R 7圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半 8圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半 2R3 √6-2.5-3.00F 4.4直线与圆、圆与圆 xp√2-√2.5.283.moey2-3mwe 1.位置关系及其性质 √24 直线与圆、圆与位置关系如表42所示 2.圆幂定理 表42 4.3圆的基本性质与有关角 位置关系 直线与国 圆与圆 在平面上与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆 内1.dr) 1.國的确定与对称性 含2.d4=0,两圈同心 F过不在同一直线上的3个点可以确定一个圆 d >R 1.d2>R+r 2圆是轴对称图形经过圆心的任一直线都是对称轴;圆也是中心对称图形 2.有两外公切线,且长相等 园心是对称中心 3.有两内公切线,且长相等 2.直径弦与弧之间的关系 (1)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 d= r 1.d2=R+r (2)一条直线如果它具有: 2.切线垂直于过切点的半径 外2.连心线过切点 F经过圆心; 相3过心垂直于切线的直线过切切3.有两外公切线且长相等有 内公切线 2垂直于弦; 4从圆外一点引的两切线其长相 3平分弦 等这点与医心的连线平分两切1.4=R-(R>) 4平分弦所对的劣弧 线的夹角 内2连心线过切点 平分弦所对的优弧 5过半径的外端垂直于半轻的直切3有一外公胡线 等5个性质中的任何两个性质时这条直线就具有其余的3个性质 线是切线 3.弦弧愿心角与弦心距之间的关系 P在同圆或等圆中两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距 过圆心垂直于弦的直线平分这.R-) 这4组量中如果其中任意一组量相等,其他3组也都相等;如果其中任意一组不 条弦及其所对的两条弧 2.连心线垂直平分公共弦 等其他3组也不等 交|2弦的垂直平分线过属心 3.有两外公切线,其长相等 2在弧(指劣弧)、弦和圆心角3组量中如果任何一组量的一个量较大其他 3.两平行直线之间所夹的弦相等 两组的对应量也较大 注:R,r为半径;d为心到直线的距离,d为两风园心之问的距离
附录3欧氏几何 5轨迹与作图 相交弦定理圆的两弦AB和CD相交于P,则PA·PB=P℃·PD(见图4-1) 2割线定理从圆外点P向园引两条割线分别与圆相交于A、B和C、D r20 则P·PB=PCPD(见图42) +162 3切割线定理从圆外一点P引圆的切线PT和割线PAB,则PP=PA·PB (见图43) 其中S是扇形面积,0和6分别表示以弧度和度为单位的 2弓形(见图46) (2) 图45 =2(0-sin 图4-1 图42 图43 其中S是弓形面积 4.5圆的度量计算公式 3月牙形(见图47) 设半径为r,直径为d周长为c,面积为S,弧长为s弦长为l圆心角为0,拱 S=x(x-m+s如m 高为h. 其中S为月牙形面积 1.圆与圆弧 °圆(见图44) c=2rr=πd 其中S为圆面积. 图46 弦PA=P,0以弧度计则 图47 图48 环形 图44 环形如图48所示 8,-(当0=π时,误差小于125%) S=x(R2-r)=2xR8 1=22h-R2或1=2sm 其中S为环形面积R为大圆半径,为小圆半径,R=2(R+),6=R-r 4h2+21 5轨迹与作图 A-2(当0≤时用-号,当0x时用号), 其中l为弦PQ的长,h为弓形PQ的高 5.1轨迹 2.扇形、弓形与月牙形 扇形(见图45
附录3欧氏几何 6直线与平面 具有某种性质的点的集合,叫做具有这种性质的点的轨迹 2.作图的步骤 轨迹上所有的点都具有这种性质;具有这种性质的点都在轨迹上 分析先假定图形或图形上的点已经作出,寻求或发现作图方法同时也 2.基本轨迹定理 可以求得作图可能的必要条件 °和已知线段的两个端点的距离相等的点的轨迹,是这线段的垂直平分线 2作法根据分析结果在掌握基本作图的基础上,按作图规定正确作图并 2和已知角的两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 叙述作图步骤 y和一个已知点的距离等于已知长的点的轨迹是以已知点为圆心,已知长 3证明证明所作图形为要求作的图形,并满足所有条件 为半径的圆 4讨论讨论适合题意的解数以及无解或无限多解的情况 3.求轨迹的一般步骤 3.常见的作图法 °解探求轨迹的形状和位置;按所探求的轨迹形状和位置确定所求轨迹 P轨迹交截法为了求得某一合符条件的点的位置往往是先找出合符部分 2证明证明所求出的图形上任意点,即轨迹上的任意点具有所要求的性 条件的点的轨迹再求出合符另一部分条件的点的轨迹两个轨迹的交点就是所求 质;证明具有所要求的性质的点都在图形上 的点这种方法多用于求点的作图 y讨论补足与已求出轨迹同类的轨迹或去掉不合要求的点;当条件特殊 2平移法在作图分析中可利用平行四边形的性质将某一线段、某一部分 化时研究轨迹的形状和位置的变化 图形平移到某一位置,构成作图的条件这种作图方法称为平移法此法常用于等 5.2作图 长或定长线段的作图 3对称法与2一样,也是一种移动法这种移动主要是利用图形的对称性, 1.基本作图 便能找到作图的方法此法常用于等长等角与最大最小问题的作图 基本作图如表51所示 4旋转法在进行几何作图时,当直接作图发生困难时可以先在适当位置 作出其全同图形然后再将所作全同图形旋转某一角度从而得到所求图形此法 基本作图 作法 常用于等长、等角等形方面的作图 F放缩法在几何作图时,当所求图形直接作图不太方便时,可以先在适当 1.a等分已知线段 位置作出图形的相似形然后再经放大或缩小得到所作的图形此法常用于图形 的内接形作图 6代数解析法在某些几何作图中常借助于代数式的求解来辅助作图任务 2已知两直角边求作 6直线与平面 3.已知斜边、一直角 边,求作另一直角边 x=√2-a2 1.平面的概念 4.求作两线段的比例 平面通常用一个平行四边形来表示它是平坦无厚度,可通向各方无限延伸 2.平面的基本性质 求作三线段的第四 (1)三条公理 比例项 °如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个 平面内 2如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共直
附录3欧氏几何 6直线与平面 993 3不共线的3点确定一个平面 P平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)确定平面的条件 y如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那 过不在同一直线上的3点 么这条直线就和交线平行 2过一直线和此直线外的一点 如果两条直线同时垂直于一个平面那么这两条直线平行 3过两相交直线 如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行 4过两平行直线 y3个平面两相交于3条直线,如果其中两条平行那么第三条也和它们行 3.两直线垂直的判定法 62直线和平面的位置关系 若一条直线垂直于一个平面,则必和平面内的任何一条直线垂直 1.直线和平面的位置关系 2如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直那么也和另一条垂直 直线和平面的位置关系如表61所示 y如果一条直线平行于个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直 2.两直线平行的判定法 4三垂线定理在平面内的一条直线,如果和 们这个平面的一条斜线的射影垂 表6 直那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 位置关系 直线和直线 直线和平面 平面和平面 垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直 4.直线和平面平行与垂直的判定法 如果平面外一条直线和平面内条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 重合(或直线在 4o06 La7 2两个平行平面中的一个平面内的直线,一定平行于另一个平面 平面内 y如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线垂直于 这个平面 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面那么另一条也垂直于这个平面 米8 5如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 6如果两个相交的平面都垂直于第三个平面那么它们的交线也垂f 个平面 5.平面和平面平行与垂直的判定法 P如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行 2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直 63直线和平面的度量关系 1.夹角 r两条异面直线所成的角过空间任一点,分别作两条异面直线的平行线 所得两相交直线夹的角叫做这两条异面直线所成的角 2直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角 3二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线这两条射线所成的角称作二面角的平面角,二面角的大小,可 以用它的平面角度量
附录3欧氏几何 7多面体与曲面体 2.距离 续表 °两条异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线称为两条异面 2楔体 直线的公垂线两异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度称作两条 V=2(2a +anbh 异面直线的距离 2直线和与它平行平面的距离一条直线和一个平面平行,这条直线上任意 点到平面的距离称作这条直线和与它平行平面的距离 3两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线称作两个平行平 面 的公垂线;它夹在这两个平行平面间的部分称作这两个平行平面的公垂线段 公垂线段的长度称作两个平行平面的距离 7多面体与曲面体 3截头棱柱体 截头多边形棱柱体(左图) E为两端多边形的重心,DE距 离为lv=A 7.1多面体 截头三角形棱柱体(右图) 符号:A为全面积,A为侧面积,A4为底面积,V为体积. 6+c)xA 1.棱柱体 A,为正交截面积 P棱柱体的概念有两个面互相平行其余各面都是四边形,并且每相邻两 个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体称作棱柱体 2棱柱体的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面 的截面是全等的多边形 3棱柱体的分类以底面多边形的边数为标准分类棱柱体可分为三棱柱 四棱柱、五棱柱、……以侧棱与底面是否垂直为标准分类棱柱体可分为直棱柱 4.平行六面体正六面体,立方体 平行六面体 斜棱柱底面为正多边形的直棱柱称作正棱柱 A=2(arsine +briny+ asina) 4棱柱体的面积与体积公式 V= Agh= arcsine sinp 棱柱体的面积与体积公式如表71所示 正六面体 V=abc,f=42+62+22. 1.一般棱柱体 斜棱柱体(左图) 立方体(a=b=c的正六面体) a+b+c+…)h V=a,A=6a2,d2=3a2 棱柱体(右图) 2.楼锥体 棱锥体的概念只有一个面是多边形其余各面为共顶点的三角形所围成 的几何体称作棱锥体 2棱锥体的性质若棱锥被平行于底面的平面所截,则截面与底面是相似多 边形;截面与底面的面积之比等于截得棱锥的高与原棱锥的高的比