山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第二章 解析函数（2.1）解析函数的概念

复变画数与 1901 ex Ana 第二章解析函数 2.1解析函数的概念 函数解析的充要条件 2.3初等函数

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 2.2 函数解析的充要条件 2.3 初等函数

复变画数与 1901 ex Ana 21解析函数的概念 复变函数的导数 1.导数定义一一形式上与一元实函数相同(见教材P21); 2.求导举例—一关键是复变函数的理解、掌握和计算; 3.求导法则——类似一元函数(见P22) 4.可导与连续的关系——可导 连续

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.1 解析函数的概念 一.复变函数的导数 1.导数定义——形式上与一元实函数相同(见教材P21)； 2.求导举例——关键是复变函数的理解、掌握和计算； 3.求导法则——类似一元函数(见P22)； 4.可导与连续的关系——可导 连续

复变画数与 1901 ex Ana 复变函数的微分 定义 2、微分与导数的区别与联系 “同生死,共存亡”。 6 可微可导连体x极限存在 一有定义

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 可微 可导 连续 有定义 极限存在 二.复变函数的微分 1、定义 2、微分与导数的区别与联系— “同生死，共存亡

复变画数与 1901 ex Ana 三、解析函数的概念 定义(见教材H 若∫()在区域D内每一点都解析时,简称它在区域D内解析 或称f(=)是D的一个解析函数(全纯函数或正则函数) 2、奇点-—f(=)的非解析点 3、函数解析与可导的关系 区别一一概念不同 联系一—解析点必是可导点,反之不然。 区域内的等价性一一当∫(=)在某区域D内处处可导时,可导解析

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 ( ) ( ) f z D D f z D 、定义（见教材 23 P ） 若 在区域 内每一点都解析时，简称它在区域 内解析 或称 是 的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 三、解析函数的概念 3、函数解析与可导的关系 区别——概念不同 联系——解析点必是可导点，反之不然。 2 ( ) 、奇点－－f z 的非解析点 区域D f z D 内的等价性－－当 ( )在某区域 内处处可导时，可导解析

复变画数与 1901 ex Ana 四、求导举例 例1讨论函数f()=m()的可导性 解∴∫(=)=lin f(z+△)-f(=) Im(二+△z)-Im(=) m △=→>0 △z △=→>0 △z y +△ lm Im △z→>0 △z △x+i 当4→>0(△x→>0,4=0)时,lim4y Ax0△x+iy △y 当△>0(Ax=0,△y→>0)时,lin ≠0 A→0△x+i1 △ m 0△x+i 不存在,即处处不可导

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 四、求导举例 0 0 ( ) ( ) Im( ) Im( ) ( ) lim lim z z f z z f z z z z f z  →  → z z +  − +  −  = =   0 0 lim lim z z y y y y  →  → z x i y +  −  = =   +  解 ∵ 当  →  →  = z x y 0( 0, 0) 时， 0 lim 0 z y  → x i y  =  +  例1 ( ) Im( ) 讨论函数f z z = 的可导性 ∴ lim z 0 不存在，即处处不可导。 y  → x i y   +  0 1 lim 0 z y x i y i  →  =   +  当  →  =  → z x y 0( 0, 0) 时

复变画数与 1901 ex Ana 例2判断下列命题正确性 (1)若函数在某点不可导,则该点必为函数的奇点。 (2)若点为函数的奇点,则点必为函数的不可导点 (×) (3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件 ×

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例2 判断下列命题正确性 (1)若函数在某点不可导，则该点必为函数的奇点。 ( ) (2)若点为函数的奇点，则点必为函数的不可导点。 ( ) (3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件。 ( ) × √ ×

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 五、解析函数的运算性质 解析函数的+、一、×、÷及复合函数 仍为解析函数

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 五、解析函数的运算性质—— 解析函数的＋、－、×、÷及复合函数 仍为解析函数

6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 2.2函数解析的充要条件 问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征,再推证具备此特征的函数是否解析 f(=)在点=解析→f(=0)在=0点可导 W=f(=)在点=可微 △w=f(二0+△)-f(=0) =f"(=0)A+p(△)△((△)→0)

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.2 函数解析的充要条件 一、问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征，再推证具备此特征的函数是否解析 在点 可微 在点 解析 在 点可导 0 0 0 0 w f ( z) z f ( z ) z f ( z ) z  =  ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) 0 0 0 =   +    →  = +  − f z z z z z w f z z f z  

复变画数与 1901 ex Ana 令f(=0)=a+i,A=Ax+1△y,△M=△+v )=p+in2,则 △+i△v=(a+ib)(Ax+iAy)+(1+12)Ax+i△ aAx-bAy+ p,Ax-P2 y+(bAx+aly+p,Ax+ p,Ay) 复数相等条件 △M=a△x-by+p△x-P24y △y=bx+a△y+2△x+pAy

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) @ u i v a ib x i y i x i y a x b y x y i b x a y x y u a x b y x y v b x a y x y            +  = +  +  + +  +  =  −  +  − +  +  +  +   =  −  +  −     =  +  +  +  复数相等条件 则 令 ( z ) i , f ( z ) a ib , z x i y , w u i v , 1 2 0   =  +   = +  =  +   =  + 

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 又24x △ 尸△x △y △z (△x)2+(△y) △x △ +|O (△x)2+(△y)2 (△x)2+(△y) ≤|1|+|P2 当A→>O时,p(△)=P1+iP2→>0等价于 Ax→>0,4→O时,p1→>0,P2→>0 故Ax-p24y(同理P2Ax+p2y)是比|△z 更高阶的无穷小

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 | | | | ( ) ( ) | | | | | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | x y x y z x y x y x y x y          −   −  =   +     +  +   +   + 又 1 2 1 2 1 2 2 1 0 ( ) 0 0 , 0 0 , 0 ( ) | | z z i x y x y x y z           →  = + →  →  → → →  −   +   当 时, 等价于 时, 故 同理 是比 更高阶的无穷小