第四章习题 1试证(4-2-2对应关系是同构。解 2试证对于有限群G的任一元素a,存在 整数r,使得aT=e 而且r必能整除g,g是群G的阶。解 3试证下列函数对于运算fg=f(g(x)是 群 fi(x)=x, f(x)=x, f(x=1-x, fa(x-x, fs(x)=xx, f6(x)=x=r H
第四章习题 • 1.试证(4-2-2)对应关系是同构。 解 • 2.试证对于有限群G的任一元素a , 存在一 整数r , 使得a =e. 而且r必能整除g，g是群G的阶。 解 • 3.试证下列函数对于运算f·g=f(g(x))是一 个群。 f1(x)=x, f2(x)=—, f3(x)=1-x, f4(x)=——, f5(x)=——, f6(x)=——. 解 1 x 1 1－x x－1 x x x－1 r
4.一正立方体的六个面用gr,b,y四种颜色 涂染,求其中两个面用色g两个面用色y 其余一面用b,面用r的方案数。解 5对一正六面体的八个顶点,用y和r两种 颜色染色,使其中有5个顶点用色y,其余3 个顶点用色r,求其方案数 解 6由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆 环,共有几种不同的方案? 解
• 4.一正立方体的六个面用g,r,b,y四种颜色 涂染，求其中两个面用色g,两个面用色y, 其余一面用b,一面用r的方案数。 解 • 5.对一正六面体的八个顶点，用y和r两种 颜色染色，使其中有5个顶点用色y,其余3 个顶点用色r,求其方案数。 解 • 6.由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆 环，共有几种不同的方案? 解
7.一个圆圈上有n个珠,用n种颜色对这n 个珠子着色,要求颜色数目不少于n的方 案数 解 8若已给两个色的球,两个b色的球,用 它装在正六面体的顶点,试问有多少不 同的方案? 解 9试说明S群的不同格式及其个数。解 10.图4-1-1用两种颜色着色的问题,若考 虑互换颜色使之一致的方案属同一类, 问有多少不同的图象?
• 7.一个圆圈上有n个珠，用n种颜色对这n 个珠子着色，要求颜色数目不少于n的方 案数。 解 • 8.若已给两个r色的球，两个b色的球，用 它装在正六面体的顶点，试问有多少不 同的方案? 解 • 9.试说明S5群的不同格式及其个数。解 • 10.图4-1-1用两种颜色着色的问题，若考 虑互换颜色使之一致的方案属同一类， 问有多少不同的图象？ 解
11正四面体的每个面上都任意引一条高,有 多少方案? 解 12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大 6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多少种 贴法? 13凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与 2π的差称为该顶点的欠角,证明凸多面体各顶 点欠角之和为4兀 解 14足球由正5边形与正6边形相嵌而成 (a)个足球由多少块正5边形与正6边形组成? (b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色,正5 边形则着以其它各色,每个5边形的着色都不 同,有多少种方案? 艉
• 11.在正四面体的每个面上都任意引一条高，有 多少方案？ 解 • 12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大， 6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多少种 贴法？ 解 • 13.凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与 2π的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶 点欠角之和为4π. 解 • 14.足球由正5边形与正6边形相嵌而成。 (a)一个足球由多少块正5边形与正6边形组成？ (b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色，正5 边形则着以其它各色，每个5边形的着色都不 同，有多少种方案？ 解
15(a)本质上有多少种确实是2个输入端 的布尔电路?写出其布尔表达式。 (b)本质上有多少种确实是3个输入端 的布尔电路? 解 16用8个相同的骰子垛成一个正6面体, 有多少方案? 解 17正六面体的6个面和8个顶点分别用红 蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种 不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作 是相同的)
• 15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端 的布尔电路？写出其布尔表达式。 (b)本质上有多少种确实是3个输入端 的布尔电路？ 解 • 16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体， 有多少方案？ 解 • 17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、 蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种 不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作 是相同的). 解
习题解答 1证:设G-{al,a2,an}指定G中任一元 任意a∈G,Pi aai,则Pi是G上 的一个置换,即以G为目标集。 P=(aa.a:2),G的右正则表示 ai-(a)=Pi。堤是单射:aa,则PPj al a2 f(aiaj=( an al(aiaj a2(aiaj).. an(aiaj al a2 an al a2 an alizai…ai(aaai(aa)a….(ana)a )=faif(aj) 证毕
习题解答 • 1.证：设G={a1,a2,…,an},指定G中任一元 ai, 任意aj∈G，Pi：aj → ajai ，则Pi是G上 的一个置换，即以G为目标集。 Pi=( )， G的右正则表示f： ai→( )=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj f(aiaj) = ( ) =( )( )=f(ai)f(aj) 证毕。 题 a1 a2 … an a1ai a2ai … anai ai aai a1 a2 … an a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) a1 a2 … an a1ai a2ai … anai a1 a2 … an (a1ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj
2证:设G|g,则a,a2,a3,aap中必有相 同元。=a,1k<l-g+1 1-kg对于给定的a,存在最小的正 整数r,a=e.于是H-{a,a,a(=e)}是G的 子群,若H圻G,则存在a不属于H,显然 H∩Hal=qH+Ha=2r 若 H+Ha=G,则2rg,rg 否贝 存在a2不属于H+Ha Han(H+hal=(p 于是 H+Hal+Ha2+. +Hak=G r(k+1)=g rlg 证毕 题
• 2.证：设|G|=g,则a,a ,a ,…,a ,a 中必有相 同元。a = a , 1≤k＜l≤g+1 a =e. 1≤l-k≤g 对于给定的a，存在最小的正 整数r,a =e .于是 H={a ,a ,…,a (=e)}是G的 子群，若H≠G,则存在a1不属于H, 显然， H∩Ha1=φ,|H+Ha1|=2r 若 H+Ha1=G,则2r=g,r|g 否则 存在a2不属于H+Ha1, Ha2∩(H+Ha1)=φ 于是 H+Ha1+Ha2+…+Hak=G, r(k+1)=g,r|g. 证毕。 题 2 3 g g+1 k l l-k r 2 r . . . . . . .
3证:(a)封闭性:frf-f(f(x)f(x) f2:f3=f2(f(x)=2(1-x)=1(1-x)=f4(x) 同理一一列举可得任意都属于G, (b)结合律成立:运算相当于把前面的计 算结果带入到后面的函数中,对于该数 学运算,运算的先后顺序与结果无关。 结合律成立。 (c)存在单位元:e=fi; (d)存在逆元素:f=e;ff=e;f,f=e f4f5=f5f=e;f6·f6=e; 满足群的条件,得证。 题
• 3.证：(a)封闭性：f1·fi=f1(fi(x))=fi(x); f2·f3=f2(f3(x))=f2(1-x)=1/(1-x)=f4(x); 同理一一列举可得任意fi都属于G; (b)结合律成立：运算相当于把前面的计 算结果带入到后面的函数中，对于该数 学运算，运算的先后顺序与结果无关。 结合律成立。 (c)存在单位元：e=f1; (d)存在逆元素： f1=e; f2·f2=e; f3·f3=e; f4·f5=f5·f4=e; f6·f6=e; 满足群的条件，得证。 题
4解:正6面体的转动群用面的置换表示: 面心面心±90 (1)(4),6个 180 (1)(2)3个顶点顶点 土120 3) 8个梭中-棱中 180 2 6个不动 (g+r+b+y)+46(g+r+b+y) (g+r+b+y)6(g+r+b+y)+3(gr+6+y) (g+2+b24y+8(g+r+b+y)124222 33332其中gybr的系数为 (C(6,2足4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)24-8题
• 4.解：正6面体的转动群用面的置换表示： 面心-面心 ±90 (1) (4) 6个 180 (1) (2) 3个 顶点-顶点 ±120 (3) 8个 棱中-棱中 180 (2) 6个不动 (1) 1个 P=[(g+r+b+y) +6(g+r+b+y) (g +r +b +y ) +6(g + r + b + y ) +3(g+r+b+y) (g +r +b +y ) +8(g +r +b +y ) ]/24 其中g y br的系数为 [C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)]/24=8 题 。 。 。 。 2 2 2 2 3 6 6 2 4 4 4 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2
5解:相当于47节中例2中求b的系数, 为[C(8,5)+8C(2,1)/24-3 6.解:正5边形的运动群 题题 绕心转±72(5) 2个 144(5) 个翻转 180(1)(2)5个2不动 个不同方案数为m=(3 +43+53)10=395 7解:使重合的运动包括绕中心旋转和绕 水平对称轴翻转共产生2n个置换群
• 5.解：相当于4.7节中例2中求b r 的系数， 为[C(8,5)+8C(2,1)]/24=3 题 • 6.解：正5边形的运动群 题 绕心转 ±72 (5) 2个 ±144 (5) 2个 翻转 180 (1)(2) 5个 不动 (1) 1个 不同方案数为m=(3 +4·3 +5·3 )/10=39 • 7.解：使重合的运动包括绕中心旋转和绕 水平对称轴翻转共产生2n个置换群。 5 3 。 。 。 1 1 2 5 5 1 3