第3章多维随机变量及其分布 典型例题分析 求离散型分布 例1一袋内装有5个白球,3个红球第一次从袋中任意取一个球不放回;第二次又从 袋中任取两个球,x表示第i次取到的百球数,i=1,2求 1)(X,X2)的分布及边缘分布:(2)P{X1=0,X2≠0},P{X1=X2}, P{XX2=0} 分析这是一个根据实际的实验结果求随机向量分布的问题,解这类问题第一步是确定 其所有可能取值,然后对每个可能取值,求相应事件的概率,一旦确定了分布,便可求其他 事件的概率 解(1)X1的可能取值为0,1;X2的可能取值为0,1,2由乘法公式可得: P{X1=0,X2=0} 3 P(X1=0,X2=l P{X=0x2=2}s3 28 PX=1x=0}=5 P{X1=1X2=} 5CC1_5 P{H1=1k2=2} 858 即得联合分布表为: X X2 4 28 边缘分布为
第 3 章 多维随机变量及其分布 典型例题分析 一、 求离散型分布 例 1 一袋内装有 5 个白球，3 个红球.第一次从袋中任意取一个球不放回；第二次又从 袋中任取两个球， Xi 表示第 i 次取到的百球数， i =1，2.求 （1）（ X1 ， X2 ）的分布及边缘分布；（2） P X X 1 2 = 0, 0 ， P X X 1 2 = ， P X X 1 2 = 0. 分析 这是一个根据实际的实验结果求随机向量分布的问题，解这类问题第一步是确定 其所有可能取值，然后对每个可能取值，求相应事件的概率，一旦确定了分布，便可求其他 事件的概率. 解 （1） X1 的可能取值为 0，1； X2 的可能取值为 0，1，2.由乘法公式可得： P X X 1 2 = = 0, 0 = 3 8 2 7 1 C = 1 56 ， P X X 1 2 = = 0, 1 = 3 8 1 1 5 2 2 7 CC C = 5 28 ， P X X 1 2 = = 0, 2 = 3 8 2 5 2 7 C C = 5 28 ， P X X 1 2 = = 1, 0 = 5 8 2 3 2 7 C C = 5 56 ， P X X 1 2 = = 1, 1 = 5 8 1 1 4 3 2 7 C C C = 5 14 ， P X X 1 2 = = 1, 2 = 5 8 2 4 2 7 C C = 5 28 . 即得联合分布表为： X1 X2 0 1 2 0 1 1 56 5 28 5 28 5 56 5 14 5 28 边缘分布为：
P{X1=0}= 213 {X1= 5+5+5=35=5 56142856 PX、=0153 565628 5515 P{X2=l}=?+ 5515 282814 即x1的边缘概率分布为 X X2的边缘概率分布为 28 14 PX1=X2}=PX1=0,X2=0}+P{x1=1X2=l}=15中× (2)P{X1=0,X2≠0}=P{X1=0,X2=1}+P{X1=0,X2=2} 2814 56148 P{X1X2=0}=P{X1=0,X2=0}+P{X1=0,X2=1}+P{X1=0,X2=2}+P{X1=1,X2=0} =Px=0+P(x1=1,x2=01=3+5=13 例2已知随机变量x1与X2的概率分布分别为 X 且P{X1X2=0}=1 (1)求X1和x2的联合分布; (2)判断X1和X2是否独立 分析一般情况下,由边缘分布不能导出联合分布,本题也不例外,可见要确定联合分
1 1 5 5 21 3 0 56 28 28 56 8 P X = = + + = = ， 1 5 5 5 35 5 1 56 14 28 56 8 P X = = + + = = ， 2 1 5 3 0 56 56 28 P X = = + = ， 2 5 5 15 1 28 14 28 P X = = + = ， 2 5 5 15 2 28 28 14 P X = = + = . 即 X1 的边缘概率分布为： X1 0 1 P 3 8 5 8 X2 的边缘概率分布为： X2 0 1 2 P 3 28 15 28 5 14 （2） 1 2 1 2 1 2 5 5 5 { 0, 0} { 0, 1} { 0, 2} 28 28 14 P X X P X X P X X = = = = + = = = + = ， 1 2 1 2 1 2 1 5 3 { } { 0, 0} { 1, 1} 56 14 8 P X X P X X P X X = = = = + = = = + = ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 { 0} { 0, 0} { 0, 1} { 0, 2} { 1, 0} 3 5 13 { 0} { 1, 0} . 8 56 28 P X X P X X P X X P X X P X X P X P X X = = = = + = = + = = + = = = = + = = = + = 例 2 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布分别为： 且 1 2 P X X { 0} = = 1. （1） 求 X1 和 X2 的联合分布； （2） 判断 X1 和 X2 是否独立. 分析 一般情况下，由边缘分布不能导出联合分布，本题也不例外，可见要确定联合分 X1 −1 0 1 P 1 4 1 2 1 4 X2 0 1 P 1 2 1 2
布,关键要使用附加条件P{X2=0}=1.一旦求出联合分布,判断独立性依据离散型随 机变量的独立的等价条件,看是否联合概率等于边缘概率的乘积 解(1)由题设知P{x1≠0,X2≠0}=0,于是 P{X=-1,X2=1}=P(X1=1,X2=l}=0 由已知的边缘分布可得联合分布及边缘分布表为 PI P1 P13 P2 由联合分布与边缘分布的关系得: P1+0=,从而P1 Pr 从而p 0+B2+07 ,从而P2= n22,从而P2=0 于是X1和x2的联合分布为: X2 P 0 21-2 P (2)由于P{X1=0,X2=0}=0≠P{x1=0P{X2=0}=x 故x1与X2不 独立 例3已知X与Y独立,其联合分布和边缘分布如下表,其中部分概率给出了已知值
布，关键要使用附加条件 1 2 P X X { 0} = =1.一旦求出联合分布，判断独立性依据离散型随 机变量的独立的等价条件，看是否联合概率等于边缘概率的乘积. 解 （1）由题设知 P X X 1 2 = 0, 0 0 ，于是 P X X P X X 1 2 1 2 = − = = = = = 1, 1 1, 1 0 . 由已知的边缘分布可得联合分布及边缘分布表为： X1 X2 -1 0 1 2 x j p 0 1 11 p 12 p 13 p 0 22 p 0 1 2 1 2 1 x i p 1 4 1 2 1 4 由联合分布与边缘分布的关系得： 11 1 0 4 p + = ，从而 11 1 4 p = ， 13 1 0 4 p + = ，从而 13 1 4 p = ， 22 1 0 0 2 + + = p ，从而 22 1 2 p = ， 12 22 1 2 p p + = ，从而 12 p = 0 . 于是 X1 和 X2 的联合分布为： X1 X2 -1 0 1 2 x j p 0 1 1 4 0 1 4 0 1 2 0 1 2 1 2 1 x i p 1 4 1 2 1 4 （2）由于 1 2 1 2 1 1 1 0, 0 0 0 0 2 2 4 P X X P X P X = = = = = = = ，故 X1 与 X2 不 独立. 例 3 已知 X 与 Y 独立，其联合分布和边缘分布如下表，其中部分概率给出了已知值
将其余概率计算出来 VI y2 x2 P22 P P2 P3 分析利用联合分布与边缘分布的关系,并利用独立性可计算余下的未知概率 首先,由P1+=6得P1=6-=24由独立性知:PP=P,从而 Xp=1,得p=4 继而由p1++P3=P2,知++P13=,从m12 248 由p1p2 得P2 2 由nP3=P 即XP3-12 1得P33 由p13+p23=p,即,+P23=,得P2 最后由p+p2=1即+p2=1,得p2 、求连续型分布 例4设(X1,H1)及(x2,Y2)的密度函数f(x,y),f(x,y)分别为 1(1)=1e x>0,y>0, 0, 其他; f2(3,v)=kerdy, x>y>0 其他. 求(1)常数k,k2;(2)边缘密度;(3)条件密度函数 分析本题显然需由联合密度函数的性质 f(, y)dxdy=l 先确定常数k1,k2,涉及到重积分的计算问题
将其余概率计算出来. Y X 1 y 2 y 3 y X i p 1 x 11 p 1 8 13 p 1 X p 2 x 1 8 22 p 23 p 2 X p Y j p 1 6 2 Y p 3 Y p 分析 利用联合分布与边缘分布的关系，并利用独立性.可计算余下的未知概率. 解 首 先 ， 由 11 1 1 8 6 p + = 得 11 1 1 1 6 8 24 p = − = . 由 独 立 性 知 ： Y X j i ij p p p = ，从而 1 1 6 24 X i = p ，得 1 1 4 X p = .继而由 11 13 1 1 8 X p p p + + = ，知 13 1 1 1 24 8 4 + + = p ，从而 13 1 12 p = . 由 1 2 1 8 X Y p p = ，即 2 1 1 4 8 Y = p ，得 2 1 2 Y p = . 由 1 3 13 X Y p p p = ，即 3 1 1 4 12 Y = p ，得 3 1 3 Y p = . 由 13 23 3 Y p p p + = ，即 23 1 1 12 3 + = p ，得 23 1 4 p = . 最后由 1 2 1 X X p p + = 即 2 1 1 4 X + = p ，得 2 X p = 3 4 . 二、求连续型分布 例 4 设（ X1 ，Y1 ）及（ X2 ，Y2 ）的密度函数 f x y 1 ( , ) ， f x y 2 ( , ) 分别为 ( ) 3 4 1 1 , 0, 0, , 0, x y k e x y f x y − − = 其他; ( ) 3 4 2 2 , 0, , 0, x y k e x y f x y − − = 其他. 求（1）常数 1 k , 2 k ; (2) 边缘密度；（3）条件密度函数. 分析 本题显然需由联合密度函数的性质 f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = 先确定常数 1 k , 2 k ，涉及到重积分的计算问题
解(1)由□xy)th="JDke-+dd dx k 得k1= ∫(x,y)dh=ke-1dhy, 其中D={(x,y)|x>y>0 先将上述重积分化为累次积分: ∫ekJe"h=k k, 得k,=21 从而有 f(r, =2e-dr-4 0,y>0 0 其他 f2(,y) 2le3,x>y>0, 0 其他 (2)f(x)=f(x,y) 显然,当x 当x≥0时,f(x,y)= 其他 从而 综上 x≥0 fx, (x) x<0 同理可得 ≥0 fr ()
解 （1）由 3 4 1 0 0 ( , ) x y f x y dxdy k e dxdy + + + + − − − − = = 3 4 1 1 0 0 1 12 x y k k e dx e dy + + − − = = ，得 1 k = 12. 由 3 4 2 2 ( , ) x y D f x y dxdy k e dxdy + + − − − − = ， 其中 D={（x , y） x > y > 0}. 先将上述重积分化为累次积分： 3 4 3 4 2 2 0 0 0 1 [ 1] 4 x x y x x k e dx e dy k e e dx + + − − − − = − − = 2 7 3 0 0 [ ] 4 k x x e dx e dx + + − − − − = 2 1 12 k = ， 得 2 k =21. 从而有 ( ) 3 4 1 12 , 0, 0, , 0, x y e x y f x y − − = 其他; ( ) 3 4 2 21 , 0, , 0, x y e x y f x y − − = 其他. （2） 1 1 fx x f x y dy ( ) ( , ) + − = . 显然，当 x<0 时， 1 f x y ( , ) 0 = ，故 1 fx x( ) 0 = ； 当 x 0 时， ( ) 3 4 1 12 , 0, , 0, x y e y f x y − − = 其他. 从而 ( ) 1 3 4 0 12 x y X f x e dy + − − = 3 3 x e − = . 综上 ( ) 1 3 3 , 0, 0, 0. x X e x f x x − = 同理可得 ( ) 1 4 4 , 0, 0, 0. y Y e y f y y − =
由于 fx2(x)=/(x 显然,当x<0时,f2(x,y)=0,从而fx2(x)=0 2le 0≤ 当x≥0时,f2(x,y)= y≤x, 0 其他. 故 2(x)=2l2+=22-e7 ],x≥0, 4 0. 其他 由于 f2()=_f(x 显然,当y(0时,f2(x,y)=0,故f2(y) f(,y) x≥y 0 其他 M2(x)=2le -i-4ydr 综上 y≥0 f2(y) 其他 (3)当y≥0时 fxix(xy) f(r,y) x≥0 f1()10 x<0 当y(0时 fx(x1y)=0.,x∈(-O,+∞) 当x≥0时 f(x,y)_ 0 当ⅹ(0时 f1(yx)=0 y∈(-0,+
由于 2 2 ( ) ( , ) X f x f x y dy + − = . 显然，当 x 0 时， f x y 2 ( , ) =0，从而 f x X 2 ( ) =0； 当 x 0 时， ( ) 3 4 2 21 , 0 , , 0, x y e y x f x y − − = 其他. 故 ( ) 3 4 2 0 21 x x y X f x e dy − − = 21 3 7 [ ] 4 x x e e − − = − 综上 ( ) 2 21 3 7 [ ], 0, 4 0, x x X e e x f x − − − = 其他. 由于 2 2 ( ) ( , ) Y f y f x y dx + − = . 显然，当 y〈0 时， 2 f x y ( , ) =0，故 f y Y 2 ( ) =0； 当 y 0 时， ( ) 3 4 2 21 , , , 0, x y e x y f x y − − = 其他. 故 ( ) 3 4 7 2 21 7 x y y Y y f y e dx e + − − − = = 综上 ( ) 2 7 7 , 0, 0, Y Y e y f y − = 其他. （3）当 y 0 时， ( ) 1 1 3 1 1 ( , ) 3 , 0, ( ) 0, 0; x X Y Y f x y e x f x y f y x − = = 当 y〈0 时， 1 1 ( ) 0, X Y f x y = x − + ( , ). 当 x 0 时， ( ) 1 1 4 1 1 ( , ) 4 , 0, ( ) 0, 0; y Y X X f x y e y f y x f x y − = = 当 x〈0 时， 1 1 ( ) 0, ( , ). Y X f y x y = − +
当y≥0时, 的(x)=5(x=2-,x≥y f2(y)(0 f(xy)=0.,x∈(-∞,+∞) 当x≥0时, f2(x,y) 02 且X与Y相互独立 (1)求(X,Y)的分布函数F(x,y) (2)令E=X2,n=y2,求(GE,m)的分布函数G(x,y) (3)求PX 分析本题主要由边缘分布及独立性来确定联合分布函数F(x,y),继而由于X2与 Y2也独立,从而如能确定X2的分布函数和y2的分布函数,便也可由独立性确定(E,n)的 分布函数 解(1)由于X与Y独立,故有 F(x,y)=Fr(xFy() 首先,只要Fx(x),F(y)有一个为0,则有F(x,y) 于是 x<0或y<1时,F(x,y)=0
当 y 0 时， ( ) 2 2 2 3 3 2 ( , ) 3 , , ( ) 0, ; x y X Y Y f x y e x y f x y f y x y − + = = 当 y〈0 时， 2 2 ( ) 0, X Y f x y = x − + ( , ). 当 x 0 时， ( ) 2 2 2 4 2 4 4 ( , ) , 0 , ( ) 1 0, ; y x Y X X e f x y y x f y x e f x − − = = − 其他 当 x〈0 时， 2 2 ( ) 0, Y X f y x = y − + ( , ). 例 5 已知 X 和 Y 的分布函数 F（X x）， F（Y y） 分别为 0, 0, ( ) , 0 2, 2 1, 2; X x x F x x x = 0, 1, ( ) 1, 1 2, 1, 2. Y y F y y y y = − 且 X 与 Y 相互独立. （1） 求（X，Y）的分布函数 F x y ( , ) ； （2） 令 2 = X ， 2 = Y ，求 ( , ) 的分布函数 G x y ( , ) ； （3） 求 3 1, 2 P X Y . 分析 本题主要由边缘分布及独立性来确定联合分布函数 F x y ( , ) ，继而由于 2 X 与 2 Y 也独立，从而如能确定 2 X 的分布函数和 2 Y 的分布函数，便也可由独立性确定 ( , ) 的 分布函数. 解 （1）由于 X 与 Y 独立，故有 ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = X Y . 首先，只要 ( ) F x X ， ( ) F y Y 有一个为 0，则有 F x y ( , ) =0. 于是，当 x 0 或 y 1 时， F x y ( , ) = 0
其次,当0≤x≤2时,Fx(x)=,当1≤y≤2时,F(jy)=y 那么,当0≤x≤2且1≤y≤2时,F(x.x(y-1) 同理当0≤x≤2且y>2时,F(x,y)= 当x≥2且1≤y≤2时,F(x,y)=y-1 当x≥2且y>2时,F(x,y)=1 (2)由于F()=P{x2≤x 当x 综上 x<0, F(x)={~,0≤x≤4 1, 4 同理 F,()=P(rsy 当y<0时,FnOy)=0 当y≥0时,F()=P{V5Ys列=F(√)-F(V F(√y)
其次，当 0 2 x 时， ( ) 2 X x F x = ，当 1 2 y 时， ( ) 1 F y y Y = − . 那么，当 0 2 x 且 1 2 y 时， ( , ) ( 1) 2 x F x y y = − . 同理当 0 2 x 且 y 2 时， ( , ) 2 x F x y = ； 当 x 2 且 1 2 y 时， F x y y ( , ) 1 = − ； 当 x 2 且 y 2 时， F x y ( , ) 1 = . （2）由于 2 F x P X x ( ) = ， 当 x 0 时，显然 F x( ) = 0 ； 当 x 0 时， 2 ( ) ( ) P X x P x X x F x F x = − = − − X X ( ) = F x X , 0 2, 2 1, 2 x x x = , 0 4, 2 1, 4. x x x = 综上 0, 0, ( ) , 0 4, 2 1, 4. x x F x x x = 同理 2 F y P Y y ( ) = ， 当 y 0 时， F y( ) = 0 ； 当 y 0 时， F y P y Y y F y F y ( ) ( ) ( ) = − = − − Y Y ( ) = F y Y
0, 1,1≤≤2 0. 04 2 x>4且1≤y≤4 (3)由于X与Y独立,有 =P(X3X2>3 分析由于X,X2的分布已知,因而P{X1>3},P{X2>3}等事件的概率是已知 的,于是为计算P{X1>3X2>3}的概率,关键要利用这些事件之间的关系及概率的计算 公式 解注意到 P{X1>3X2>3}=P{X1>3+P{X2>3}-P{X1>3yU{X2>3y
0, 1, 1, 1 2, 1, 2 y y y y = − 0, 0 1, 1, 1 4, 1, 4. y y y y = − 于是由于 X 与 Y 独立，必有 2 X 与 2 Y 独立，从而 G x y F x F y ( , ) ( ) ( ) = 0, 0 1, 1 , 0 4 1 4 2 , 0 4 2 1, 4 1 4, 1, 4 4. x y y x y x x y x y x y − = − 或 （x ） 且 ， 且y>4, 且 且 （3）由于 X 与 Y 独立，有 3 1, 2 P X Y 3 1 2 P X P Y = 3 (1) ( ) 2 = F F X Y = 1 3( 1) 2 2 − 1 4 = . 三、求区域上的概率 例 8 设 X1 ， X2 均 服从 [0， 4] 上的 均匀 分布 ， 且 1 2 9 3, 3 16 P X X = ， P X X 1 2 3, 3 分析 由于 X1 ， X2 的分布已知，因而 P X 1 3， P X 2 3 等事件的概率是已知 的，于是为计算 P X X 1 2 3, 3 的概率，关键要利用这些事件之间的关系及概率的计算 公式. 解 注意到 P X X P X P X 1 2 1 2 = + 3, 3 3 3 − P X X 1 2 3 3
又由于 P({X1>3}U{X2>3})=1-P{X1≤3,X2≤3}= 616 根据X1,x2服从[0,4]上的均匀分布可知 P{X1>3} P{X2>3y} 故得: 117 P{X1>3,X2>3}=+ 441616 四、随机向量的函数的分布 例1l设(X,Y)概率分布如下表 2 2-92-90 (1)求=X+Y和n=X-各自的概率分布 (2)求(5,)的分布 分析这是一个求离散型随机向量函数分布的例子,解法与随机变量的函数类似,先确 函数的所有可能取值,对每个取值的事件,将其由自变量(X,)的取值来表示 解(1)5=X+Y的所有可能取值为0,1,2.且有 P{5=0}=P{X=0Y=0}= 5=l=P{X=0.y=l+P{X=1Y=0} 242=4 P{=2}=PX=0.y=2)+P(x=1y=1}+P(x=2y=0)=1+2+1=4 7=X-Y的所有可能取值有-2,-1,0,1,2,且 {=-2}=P{X=0,Y=2} P{m=-l}=P{X=0,y=l}= P{m=0}=P({X=0,=0)}+P{X=1Y=l}=
又由于 1 2 1 2 9 7 ( 3 3 ) 1 3, 3 1 16 16 P X X P X X = − = − = . 根据 X1 ， X2 服从[0，4]上的均匀分布可知 1 1 3 4 P X = ， 2 1 3 4 P X = 故得： 1 2 1 1 7 1 3, 3 4 4 16 16 P X X = + − = . 四、 随机向量的函数的分布 例 11 设 ( , ) X Y 概率分布如下表 Y X 0 1 2 0 1 2 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 0 1 9 0 0 （1） 求 = + X Y 和 = − X Y 各自的概率分布； （2） 求 ( , ) 的分布. 分析 这是一个求离散型随机向量函数分布的例子，解法与随机变量的函数类似，先确 函数的所有可能取值，对每个取值的事件，将其由自变量 ( , ) X Y 的取值来表示. 解 （1） = + X Y 的所有可能取值为 0，1，2.且有 1 0 0, 0 9 P P X Y = = = = = 2 2 4 1 0, 1 1, 0 9 9 9 P P X Y P X Y = = = = + = = = + = ， 1 2 1 4 2 0, 2 1, 1 2, 0 9 9 9 9 P P X Y P X Y P X Y = = = = + = = + = = = + + = . = − X Y 的所有可能取值有-2，-1，0，1，2，且 1 2 0, 2 9 P P X Y = − = = = = ， 2 1 0, 1 9 P P X Y = − = = = = ， 1 2 1 0 0, 0 1, 1 9 9 3 P P X Y P X Y = = = = + = = = + =