第二节 第九章 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章
、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知,当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时,若D为ⅹ-型区域 yy=p2(x) D.01(x)≤ys2(x) D a<x<b 则「0(x,y)dxdy= 2(x) y=0,Grb x f(, y)dy D dx 1(x) 若D为Y型区域D:1(y)≤x≤v2(y) V2(y) C≤y 则nf(x,y)dxdy=d (y) f(x, ydx ol XX D 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o b x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d o c y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于 f(, y) f(x,y)+f(x, y) f(x,y)-f(x,y) 2 fi(x, y) f2(x,y)均非负 J,S(x, y)dxdy=J,M(x,y)dxd f2(r, y)dxd 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:(1)若积分区域既是X型区域又是γ-型区域 则有∫/(xy)ddy y三2(x) d f(x, y)dy x=vy P1 D y彐0 d f(x, y)dx v1(y) b 为计算方便可选择积分序,必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂,可将它分成若干y X型域或Y型域,则 D D D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1计算=xyda其中D是直线y=1,x=2,及 D y=x所围的闭区域 1≤y≤x 解法1.将D看作X型区域,则D 1≤x≤2 1=∫ddy=x2rax Y=X ∫[x3-x1d 8 01x2x 解法2.将D看作Y型区域,则D y≤x 1≤y≤2 2 i=Ldyl xydx 1x2y1y=-y=y31 8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2计算∫Dy,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域 解:为计算简便先对x后对y积分 x D y≤x≤y+2 4x y y=x-2 +2 xydo=d xvax D y+ yl dy =2J_Ly(+2)-y]d 1+3+249123 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y x y + −1 y 2 2 y y + 2 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.计算 dxdy,其中D是直线y=x,y=0 D x x=丌所围成的闭区域 解:由被积函数可知,先对x积分不行, 因此取D为X-型域 Dx=兀 O D ∫0≤y≤x 0<x<丌 sinx dxd 丌sinx y dxd X 0 X sin xdx=[cos x I 0 0 说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 计算 d d , sin D x y x x 其中D 是直线 所围成的闭区域. o x y D x = y = x 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : x y x D 0 0 : D x y x x d d sin x y 0 d = 0 sin xdx = 2 = 0 d sin x x x 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.交换下列积分顺序 √2 1=J dx 2/(x, y)dy+ dx] f(x, y)d 解:积分域由两部分组成 y Dy 0≤y D 0≤y≤v8 0<x<2 2<x<2√2 将D=D1+D2视为y型区城,则 022√2x y≤x√8-y D 0≤y≤2 y I=J,S(x, y)dxdy= orf(x,y)dx 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
例4. 交换下列积分顺序 − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1 x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 y o 2 x D1 2 2 1 y = x 2 − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D = D1 + D2 D : 视为Y–型区域 , 则 2 2y x 8 − y 0 y 2 = D I f (x, y)d xd y − 2 8 2 ( , )d y y f x y x = 2 0 dy 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.计算Ⅰ=nxln(+1+y2dxdy,其中D由 D y=4-x2,y=-3x,x=1所围成 解:令f(x,y)=xlm(y+√1+y y=4-x2 D=D1+D2(如图所示) 显然,在D1上,f(-x,y)=-f(x,y) D O 在D2上,f(x2-y)=-f(x,y) x=1 xIn(y+1+y)dxdy Dy xn(y+√1+y2dxdy=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 计算 其中D 由 4 , 2 y = − x y = −3x, x =1 所围成. o y 1 x 2 y = 4 − x y = −3x D2 D1 x =1 解: 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y = x y + + y D = D1 + D2 (如图所示) 显然, , 在D1上 f (−x, y) = − f (x, y) , 在D2上 f (x,−y) = − f (x, y) I x y y x y D ln( 1 )d d 1 2 = + + x y y x y = 0 D ln( 1 )d d 2 2 + + + 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、利用极坐标计算二重积分 =0+△ 在极坐标系下,用同心圆r=常数 6=6 及射线θ=常数,分划区域D为 △ △Ok(k=1, O 则除包含边界点的小区域外小区域的面积 k +△ △n k △k [rk+(k+Av)AkAk7△ △ k △1 △n 在△ak内取点(k,O对应有 Sk=k Cos k, nk =k sin e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y o k k k = r r k k k k k k = r cos , = r sin 对应有 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 k (k 1,2, ,n) k = 在 k ( , ), k k r = k = k + k k r = r k k k − r 2 2 1 内取点 k k k = r + r 2 2 1 ( ) 及射线 =常数, 分划区域D 为 k r k r k k k r 机动 目录 上页 下页 返回 结束