湘潭大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 矩阵特征值问题的解法

第六章矩阵特征值问题的解法 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

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给出A=(a)n.若有元使得: Ax=x,x≠0 则称λ为矩阵A的特征值,x为相应的特征向量。 特征值为特征方程的根 det(a-10=0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

2 上一页 下一页 给出 A = (aij) nn .若有  使得： Ax = x, x  0 det(A− I) = 0 则称 为矩阵 的特征值, 为相应的特征向量。 特征值 为特征方程的根。  A  x

若干结果 OC copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

3 上一页 下一页 若干结果: 第六章1.doc

特征值的估计与扰动问题 >特征值的估计 D(4)={z∈c:z-an|∑|an=A},i=1,2,…,n 称之为 Gerschgorin圆盘(盖尔圆) 定理( Gerschgorin圆盘定理) 设A=(an)mx为n阶实方阵,则A的任一特征值必落 在的某个 gerschgorin圆盘之中 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

4 上一页 下一页 特征值的估计与扰动问题 ➢ 特征值的估计 ( ) { :| | | | },  =  −  =  j i i ai i ai j i D A z c z i = 1,2,  ,n 称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）. （Gerschgorin 圆盘定理） 设A = (aij)nn 为n阶实方阵,则 在的某个Gerschgorin圆盘之中. A 的任一特征值必落 定理

定理(第二圆盘定理) 设A为n阶实方阵,如果A的k个 Gerschgorin 圆盘与其他圆盘不相连,则恰好有A的k个特征 值落在该k个圆盘的并集之中,即: k S=∪D.,T=∪D j=1 j=k+1 19k ,k+1,…,in}为{1,2,…,}的一个重新排 列,S∩T=①,则S中含有A的k个特征值 特别地:孤立圆盘仅含有一个特征值 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

5 上一页 下一页 定理（第二圆盘定理） 设 为 阶实方阵，如果 的 个Gerschgorin 圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 的 个特征 值落在该 个圆盘的并集之中，即： A A n A k k k , 1 j i k j S D = =  j i n j k T D = +1 =  特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值. 为 的一个重新排 列, , 则 中含有 的 个特征值. {1,2,  ,n} S T =  S A k { , , , , , } 1 k k 1 n i  i i  i +

>关于实对称矩阵的极大一极小定理 定义设A为n阶实矩阵,x=(x1,…,xn)≠0,x∈R 我们称R (以s(Ax,x)xAx飞y =2∑ax∑x 为矩阵A关于向量x的 Rayleigh(雷利)商 A为n阶实对称矩阵,则其特征值皆为实数, 记做:41≤2≤…≤几 并且存在规范正交特征向量系满足: An1=1l2,i=1,2,…,n,(n1,u)=bn,i,j=1,2,…, copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

6 上一页 下一页 ➢ 关于实对称矩阵的极大—极小定理：   = = = = = = n i n j n i T i j i j i T a x x x x x x Ax x x Ax x R x 1 1 1 2 / ( , ) ( , ) ( ) 为矩阵 A 关于向量 x 的Rayleigh（雷利）商. 为 阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数， 记做： A n 1  2   n 并且存在规范正交特征向量系满足： Au u , i 1,2, ,n, i = i i =  (ui ,uj ) =  i j , i, j = 1,2,  ,n 设 为 阶实矩阵， . 我们称 A n T n 定义 x = (x1 ,  , xn )  0, x  R

定理设A为n阶实对称矩阵,其特征值 为A1≤a2≤…≤An,则 n=min r(x)=min(ax, x) x≠0 n=max r(x)=max(Ax,,x x≠0 由于R(ax)=R(x),对于任意x,可以取a,使 得:a|2=1 证明:假设4,2,…,4为A的规范正交特征向量 组,则对任何向量x∈R",有 x=∑ i=1 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

7 上一页 下一页 min ( ) min( , ) 0 1 1 2 R x Ax x x x =  = = max ( ) max( ,, ) 0 1 2 R x Ax x x x n  =  = = 由于 ，对于任意 ，可以取 ，使 得： . R(x) = R(x) x  ||x ||2 = 1 证明: 假设 为 的规范正交特征向量 组，则对任何向量 ，有 u u un , , , 1 2  A n x  R = = n i x i ui 1  设 为 阶实对称矩阵，其特征值 为 ，则 A n 1  2   n 定理

于是 (4x,x) ∑4a1,∑ au R(x)= (x,x) a. ∑λa2/∑a, i=1 因而≤1≤n,特别地,若取x=1,这时 (A1,1 =(1u1,u1)=x1 从而x1=minR(x)同理可证,=maxR(x) x≠0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

8 上一页 下一页 于是 / , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1       = = = = = = = = = n i i i n i i n i n i i i i i n i n i i i i i i u u u u x x Ax x R x         因而 n ,特别地，若取 ，这时 x x Ax x     ( , ) ( , ) 1 x = u1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) =  u u =  u u Au u 从而 1 = min x0 R(x).同理可证 max ( ) 0 R x X n   =

特征值的扰动问题 4→ 讨论:元-2的大小 A+E→见 例 A+e 特征方程 det(-(4+E) 0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

9 上一页 下一页 ➢ 特征值的扰动问题 A→  A+ E →  ~ 例：             = a a a A 1 1   讨论：  −  的大小. ~             + = a a a A E  1 1   特征方程 0 ~ 1 ~ 1 ~ ( )) ~ det( =               − − − − − − − + = a a a I A E       

(x-a)”+(-1)+1(-)(-1)n=0,(x-a)2=E 刀 (E)=a+E"e",j=1,2,,n A△λ|=()-a|=6",j=1,2,…,n 设g=10 20 20,则 E"=10 若E在A+E 的上角,则特征值并无扰动 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真

10 上一页 下一页 ) ( 1) ( ) ( 1) 0, ~ ( 1 1 − + − −  − = n n+ n−  a   − =  n a) ~ ( a e j n n j i n j ( ) , 1,,2, , 1 2 = + =      a j n n j j | | ( ) | , 1,2, , 1  =   − =  =  设 则 .若 在 的上角，则特征值并无扰动. 10 , 20, 20 = = −  n 1 1 10− = n   A+ E